Tài liệu Toán 12 ôn tập hệ thống phương trình mũ - lôgarit doc

Tốn 12 Ơn tập hệ thống phương trình mũ-lơgarit CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH MŨ-PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT I.. PHƯƠNG TRÌNH MŨ Kiến thức cần nhớ 1 – Các tính chất của lũy thừa... Hãy chuyển các

Tốn 12 Ơn tập hệ thống phương trình mũ-lơgarit

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH MŨ-PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Kiến thức cần nhớ

1 – Các tính chất của lũy thừa

n

1

m

n

a

a

 

n n

n

n n

n

m

m n

n

2 –Các tính chất của hàm số mũ

Cho hàm số =y a x (0 a 1 < ≠ )

2.1 Tập xác định D = R

2.2 Tập giá trị : T = (0; +∞)

2.3 Hàm số =y a đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1 x

2.4 ax =at ⇔x t =

2.5  > ⇒ >  < < ⇒ <

Lý thuyết

Phương trình mũ đơn giản nhất cĩ dạng

(1) af(x) =ag(x) ⇔ f(x) g(x)= (0 a 1 < ≠ )

(2) af(x) =b ⇔ f(x) log b= a (0 a 1, b 0 < ≠ > )

Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản:

1 Phương pháp đưa (biến đổi) về cùng một cơ số

Dạng 1.1: Biến đổi về dạng :af(x) =ag(x)

x

y

a

 

x x

x

x x

x

b

x

1

a Bài tập: Giải các phương trình sau:

−

 

2 2

x 2x

5

− −

x

2

3

−

    7)2 5x x− 1 0, 2.102 −x

= 2 6 2 6 ( 1)4

5

1

6

=  

 

1

=

    10)5x− 1 10 2 5x −x x+ 1

=

2 1

2

11)5x− +x =5 5

12)32 0, 25.128

− = − 12) 45 2 0, 2( ) 42 125 0, 04( ) 24

x x

−

−

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit

1

13)4+ x 7.4+ x 4 0

− − = 14)4 5x x+ 1 5.202 −x

15) 2x 4 0.125x x 4 2

=

−

 

=

 

 

2x 7

1 1 6

6x x

1

2

Dạng 1.2 Biến đổi về dạng :af(x) =b ⇔ f(x) log b= a (0 a 1, b 0 < ≠ > )

Bài tập : Giải các phương trình sau

4

x

+

3)2 3x x−3x−.3x− =192

2

x

Dạng 1.3 Biến đổi về dạng: f x( ) g x( )

m a =n b ( ,m n∈R) Sau đó đưa về dạng

( ) ( )

( )

f x

f x

g x

 

 

Lưu ý nhận dạng: Loại này có hai cơ số khác nhau Hãy chuyển các số hạng chứa lũy thừa với cơ số bằng

nhau về cùng một vế , sau đó biến đổi cho số mũ của các lũy thừa đó bằng nhau ,giải như dạng 1,2

Bài tập: Giải các phương trình sau

1)3x+ 5x+ 3x 3x+

− = − 2)7.3x+1 5x+2 3x+4 5x+3

− = − 3)22lg 4x−1 3.4lg 4x 7lg 4x−1 3.4lg 4x

+ = − 5)2x2−1 3x2 3x2−1 2x2+2

− = − 6)9x 2x+0,5 2x+3,5 32x−1

Dạng 1.4 Biến đổi về phương trình tích

Bài tập : Giải các phương trình sau

5)3x + 3.2x = 24 + 6 6)12.3x + 3.15x – 5x + 1 = 20

2.Phương pháp đặt ẩn phụ (đưa về phương trình đại số bậc2,3 theo ẩn phụ)

Dạng 1.Biến đổi phương trình về dạng 2 ( )f x f x( ) 0

m a +n x +p= (1)

Lưu ý: Khi giải cần chú ý đến điều kiện xác định của (1)

Bước 1: Đặt t=a f x( )

,t>0 Ta có t2=(a f x( )

)2=a2 ( )f x

PT đã cho trở thành:

0

t



>



Bước 2: Giải (*) tìm nghiệm t>0

Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình a f x( )

=t để tìm x

Bước 4: Kết luận (nghiệm của (1))

Bài tập: Giải phương trình sau

1)3 x+ 3x+

= 2)9x2−1 36.3x2−3 3 0

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit

1

4)27x 13.9x 13.3x+ 27 0

3

5)64x −2+x+12 0=

2

x x

+

( ) ( )5 10 10

9)3 x+ =3x+ + 1 6.3− x+3 x+ 10)4x + 1 -5x +2 = 5x– 4x

11)2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 3x + 3x + 2 + 3x +4 12)4x +2 + 11.22x = 2.3x +3 + 10.3x

Dạng 2.Biến đổi phương trình về dạng f x( ) f x( ) 0

m a +n x− + p= (2) Phương pháp:

Lưu ý: Khi giải cần chú ý đến điều kiện xác định của (2)

Bước 1: Đặt t=a f x( )

,t>0 Ta có f x( ) 1( ) 1

f x

a

−

PT đã cho trở thành:

1

0 (*) 0

t t







 >



⇔

0

t



>



Bước 2: Giải (*) tìm nghiệm t>0

Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình a f x( )

=t để tìm x

Bước 4: Kết luận (nghiệm của (2))

Bài tập: Giải phương trình sau

2

3)2 x 2 −x 15

− = 4)( 5+ 24) (x + 5− 24)x =10 5)( 7+ 48) (x+ 7− 48)x =14

2

6)

x

x−

+

= 7)101+x2 101−x2 99

Dạng 3 : Biến đổi về dạng m.a 2 f ( x ) + n.( a.b ) f ( x) + p.b2 f ( x ) = 0 (m, n, p là các số thực) (1)

Phương pháp:

Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (1)

Bước 1: Chia cả hai vế của pt (1) cho 2 ( )f x

b (hoặc 2 ( )f x

a ) ta được:

Phương trình này đả biết cách giải

Bước 2: Đặt t=

( )

f x

a b

 

 

  ,t>0 Ta có t

2

=

2 ( )f x

a b

 

 

 

PT đã cho trở thành:

0

t



>



Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit

Bước 4: Với t tìm được, giải phương trình

( )

f x

a b

 

 

  =t để tìm x

Bước 5: Kết luận (nghiệm của (1))

Bài tập: Giải phương trình sau

1)3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 2)8 x + 18 x = 2.27 x 3)32x+4 45.6x 9.22x+2 0

4)7.4x 9.14x 2.49x 0

5)10x +25x =4, 25.50x

6)4x 6x 9x

2 1

7)9x 6x 2 x+

+ = 8)32x2−6x+9 4.15x2+3x−5 3.5x2−6x+9

3.Phương pháp lôgarit hóa (lấy lôgarit hai vế với cơ số thích hợp)

Dạng tổng quát: f x( ) g x( ) h x( )

Trong phương trình có chứa cơ số khác nhau và số mũ khác nhau

Cách giải: Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b,hoặc c) hai vế

Ta được

( ) ( ) ( )

( ) ( ) log ( ) log log

=

Biết được log ,log ,loga b a c a d là các số thực Giải phương trình ta thu đượcẩn x

Bài tập: Giải phương trình sau

x

1) 3 7 =1 2) 3 8 + =6 3)2x2 3x−1

= 5)3 2x x2 =1 6)

−

=

x 1

=

x x 1 x

6 x

4.Phương pháp sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Dạng sử dụng tính đơn điệu

Thường biến đổi phương trình về dạng f(x)=g(x) hoặc f(x)=c

Vói trường hợp f(x)=g(x) chúng ta thường gặp x=a là nghiệm của phương trình ,còn với mọi x ≠ a thì f(x)>b

và f(x)<b Nghĩa là với mọi x ≠ a không phải là nghiệm của phương trình f(x)=g(x) Việc chứng minh f(x)>b

và g(x)<b dựa vào tính đơn điệu của hàm sốy=f(x) và y=g(x)

Giải phương trình :

a) 3x2 2x 2 2 2 2

x x

− +

5

x

b   x

 

  Nhận xét: Thông thường để đánh giá các tam thức bậc hai ta thường biến đổi nó về dạng tổng các bình phương Ở đây ta biến đổi x2−2x+2=(x−1)2+1

Giải: Vì (x −1)2≥0nênx2−2x+2=(x−1)2+ ≥1 1.Suy ra 3x2 − 2x+ 2 =3(x− 1 )2+ 1≥31 (1)

Còn vế phải 2 2+ x−x2 = −3 (x−1)2 ≤3 (2)

2 2 2

2 2

x x

− +





Vậy phương trình đả cho có nghiệm duy nhất x=1

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit b)Nhận xét: Hàm số y= 1

5

x

 

 

  nghich biến trên R, còn y=x+6 đồng biến trên R Nếu dùng đồ thị ta thấy hai đồ thị này cắt nhau tại nhiều nhất một điểm , nên phương trình đả cho có nhiều nhất một nghiệm

Giải: Dể nhận x=-1 là một nghiệm của phương trình Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất

Thật vậy, xét hàm số y= 1

5

x

 

 

  ,ta có f(x) nghịch biến trên R

Do đó :

Với x>-1 thì f(x)<f(-1) hay 1

5

x

 

 

  <5 (1) x+6>-1+6=5 (2)

So sánh (1) và (2) ta thấy x>-1 không thỏa mãn phương trình đã cho ,Nghĩa là x>-1 không phải là nghiệm cuủa phương trình đã cho

Tương tự: Với x<-1 thì f(x)>f(-1) hay 1

5

x

 

 

  >5 ; x+6<5 Nên x<-1 không phải là nghiệm của phương trình đã cho,

Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x=-1

Bài tập: Giải các phương trình sau

5 2

3 2

→VN(a= 3 − 2,b= 3 + 2,c= 5 Ta có a < c < b, xÐt TH x=0, x>0, x<0→ VT>VP )

x x

2 3 2 3









+











x

cos

1

+ +

=

+

−

x x

x x x

4

x

 

 

x

2 x x

x x

−

= + 14)416 2 2x 2 x

15)9x + 2(x - 2)3x + 2x – 5 = 0

5.Một số cách giải khác:

PP: Nếu f(x) liên t ục và đơn điệu trên K thì ∀ x, y ∈ K ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y

Bài tập: Giải các phương trình sau

1)53x+2+x+2 5= 2x 2)2x 1 2x2 x ( 1)2

x

− = − 3)4x2 x 21 x2 ( 1)2

x

( )2

4)4x +x 2−x 2x+

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit

II PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Kiến thức cần nhớ:

Cho a>0,a≠1; x>0, x1>0, x2 >0:

Chú ý:

a

log x x a

Tính chất

1

2

log

log

b a

b

x

x

x

a

α

α

b

a

Lý thuyết:

Đa số phương trình logarit cơ bản đều biến đổi về dạng

( ) ( )

b a

log f x log g x

f x g x



=



Chú ý:Khi không sử dụng công thức tương đường nhớ đặt điều kiện để hàm số lôgarit có nghĩa (cơ số phải

lớn hơn 0 và khác 1, biểu thức lấy lôgarit phải dương)

Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản:

Dạng 1: Biến đổi về dạng log f xa ( )=log g x a ( )

Lưu ý: Tìm điều kiện xác định của phương trình log f xa ( )=log g x a ( )

Cách 1: ĐK của phương trình ( ) 0

( ) 0

f x

g x

>





>

 , sau đó giải phương trình log f xa ( )=log g xa ( ) ⇔f(x) g(x) =

( ) ( )



=



log f x log g x

f x g x

Chú ý: 'Cách 2' thường dể mắc sai lầm nên khuyến khích các em giải theo ''cách 1''

Bài tập: Giải các phương trình sau

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit

( 2 )

3

1) log x +2x =1 2) log x log x 23 + 3( + )=1 3) lg x( 2+2x 3− )=lg x 3( − )

2

1

8

2

6)log3(x2−x−5)=log 23( x+5) 7)log2 x+4 log 2= 2( + x−4)

8)log 23( x−2)+log 23( x+1)=log 23( x+2−6) 9) 2 1( ) 8( )3

2

log x 1 log 3 x log x 1+ − − − − =0

log x 1 log x 1 log− + + − 7 x− =1

12)log x2( 2−3 log 6x 10 1 0)− 2( − )+ = 13) 1( ) 4

4

1 log x 3 1 log

x

3

15)2log 36 log( 1) log( 6) log 3 log 2

3

1

16) (lg lg 2) lg( 2 1) lg 6

+ =

2

18) log 1+x+3log 1−x=log 1−x −2 2

3

19) log (2x −54) log (+ x+3) 2 log (= x−4)

2

20) log(3x +12x+19) log(3− x+4) 1= 21) log (3 x−5) log 2 log− 3 − 3 3x−20 0=

log(2 19) log(3 20)

l ogx

23) log( 10 25) log( 6 3) 2 log( 5) log 3

24) log x 8 log x 269( + )− 3( + )+2 0=

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn số phụ

( Đưa pt lôgarit về phương trình đại số bậc 2,3 và giải theo ẩn phụ)

Biến đổi và đặt ẩn số phụ thích hợp

Lưu ý: Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức l og f ( ) a x có nghĩa là f(x)>0 Cần chú ý đến đặc điểm chủa phương trình đang xét ( chứa căn bậc hai hoặc chứa ẩn ở mẩu) khi đó cần đặt đk cho phương trình có nghĩa Các phép biến đổi càn chú ý: log 2n 2 log

a x = n a x điều kiện x ≠ 0

Bài tập: Giải các phương trình sau

1)4 l ogx 3 l ogx− = 2)log 422( x)−log 2(2x)=5 3)log22x−3.log2x+2 0=

2

2

2

4) l og x 3l og x l og x 2+ + =

2

2

l og x-log x 2

l og x 1

−

=

x

x

−

=

1

7) log (3x−1) log (3x+ −3) 6= 8) l og x l ogx2 − 6 =log 3 92 −

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit

3

9) log(10 ) log(0,1 ) l ogxx x = −3 10)4 log (42 −x) 2l og x+ 4 2+ =1 0

11) log (100 ) log (10 ) 14 logx x

x

2

6 12) log ( 7) 5 l og x

7

x

x x

+

2 13)(l og x 2log )(3l og x 1) 2 l og x log

x

15) 1 l og x+ + 4l og x 3 4− =

Dạng 3:Phương pháp mũ hóa

Bài tập: Giải các phương trình sau

1) l og x l og x 1+ = 2) log (3 x+1) log (2+ 5 x+1) 2=

3) l og x l og x log15+ = 4) l og x log (2 = 5 x+5)

Dạng 4: Phương trình lôgarit nhiều cấp

Phương pháp:Hạ từng cấp một từ ngoài vào theo tính chất l og f ( ) ( ) c

Bài tập:Giải các phương trình sau

1) log(log(l og(logx))) 0= 2) log (log (log (3 4 32 x −3))) 0=

1 3) log (2log (1 log(1 3l og x)))

2

4) log (l og x 3l og x 5) 0− + =

Dạng 5: Biến đổi về phương trìn tích

Bài tập:Giải các phương trình sau

3

2)2 l og xx +2 4= x+4 l og x

3) log (4 ) log(4 ).log( ) 2 log ( )

6

4) logx 5x −2x− −3 xlog (5x −2x−3)=x +2x

Dạng 6: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu

Chú ý dạng: log a u u− =loga v v− có dạng f(u)=f(v) ⇔ u=v,trong đó f(x) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ của nó và phương pháp đánh giá hai vế của phương trình

Bài tập:Giải các phương trình sau

2

1) l og x 3 x= − 2)x+log(x2− −x 6) 4 log(= + x+2) 1

3

3) log x=x−4

2

2

3

+ +

2

5) log(x − −x 12)+x=log(x+3) 5+

6) log (x +x+1) l og x 2− = x−x

2

2

3

1

+ +

= − +

− +

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit

Gợi ý: 3)Điều kiện xác định: x>0

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình (1) Ta chứng minh nghiệm này duy nhất

Thật vậy ∀ >x 3 ta có

l og x log 3< = −1(do y=log1

3

x là hàm số nghịch biến trên (0; +∞ (*) )

• x-4>3-4=-1 (**)

So sánh (*),(**) suy ra ∀ >x 3 đều không thỏa mãn phương trình 3) nên không phải là nghiệm

Làm tương tự: 0<x<3 củng không phải là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3

Gợi ý: 7) Phương trình được viết lại

Phương trình này có dạng f(u)=f(v) với f(t)= 1

3

log t t− ta có '( ) 1 1 0 (0; )

ln 3

t

= − − < ∀ ∈ +∞ nên f(t) nghịch

2

x

x

=



=

 Vậy x=0,x=2 là nghiệm