Phương trình vô tỉ

Tài liệu về phương trình vô tỉ giống đề thi ĐH

sin ycos y 2 sin cos ,y y (1) hoặc sin3ycos3 y  2 sin cos (2)y y

Xét phương trình (1), ta có: (1)(sinycos )(1 sin cos )y  y y  2 sin cos y y

Đặt sinycosy thì ta có t

21

thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo vế, ta được a23ax27x100, hay

(a x 5)(a x 2)0 Từ đây suy ra a 5 x hoặc ax2

Với a 5 x, thay vào phương trình thứ nhất của (1), ta được 2

2

x  x  Phương trình này vô nghiệm

Với a x 2, thay vào phương trình thứ nhất của (1), ta có 2

2

6 0

x   x Từ đây ta tìm được x  2 hoặc x 3 Dễ thấy chỉ có x 3 thỏa mãn phương trình

đã cho ban đầu

Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x 3 

2

6202 ·5·31 Ta được phương trình tương đương là

(t 4t20)(t 2t31)0t 2t310  t 1 4 2 Ta loại nghiệm t  1 4 2 và cần giải phương trình x22x 1 4 2 Giải phương trình này, ta thu được các nghiệm của phương trình ban đầu 

dàng kiểm tra):

3 3

Đặt bút tính toán thì ta thấy ngay khi cho x3x28x  thì có ngay nghiệm "xấu" rồiCái này 2 4các bạn tự kiểm tra nhé! và ta tiến hành dùng liên hợp như sau:

Phương trình đã cho tương đương với:

và chỉ tiến hành giải khi x  3 nhỉ?

Thật may, ta dễ dàng chứng minh được phương trình ban đầu vô nghiệm khi x  3.Thật vậy, ta dùng liên hợp và viết nó thành:

Như thế bài toán đã giải quyết xong!

PS: Trên đây chỉ là chỉ là phần suy nghĩ, ý tưởng và như thế không thể coi là một bài giải

được!Các bạn hoàn thiện bài này và trình bày nó một cách logic nhé.Mình tin chắc các bạn sẽ làm tốt!

8, Tìm các nghiệm thực của phương trình sau: 2 ( 2) 3

Dễ thấy f t là hàm liên tục trên ,( )  ngoài ra 2

f t  t    t  nên f t là hàm liên tục ( )

và đồng biến trên  Do đó,

2 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 0 

(x 3) 0 nên điều này chỉ xảy ra khi x 3 Mặt khác, dễ thấy x 3 là một nghiệm của phương trình đã cho Từ đây, ta đi đến kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 3 

(2 3) 1

.(2 3) 1

(1x) (1 2 xx ) ; 2x 4x  1 1 2(2xx )

Đây chính là "ngõ hẻm" của bài toán Điều kiện của bài toán là 02xx2 1 ( )i

Vậy bây giờ ta tiến hành đặt ẩn phụ cho bài toán để làm giảm bớt "tính đắt đỏ " của bài toán nhé Đặt : t 2xx2 , 0  t 1

Lúc đó phương trình đã cho sẽ trở thành một phương trình

mới: 1 t 1 t 2(1t2 2) (1 2 ) t2 (1)

Bây giờ đứng trước một phương trình mới dù đã được trang hoàng khá đẹp nhưng độ rõ nét của nó vẫn chưa hiện rõ

0  t 1 0 1 t  nên ta có một sự thay đổi quan 1trọng sau :2(1t2)(1 2 ) t2 2(1t2 2) 2(1t2) 2 t2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 0

f x  f x  x nên từ đây ta suy ra x 1 37x29x4

23, Giải phương trình sau: 5 (2 x23)(x3)2 2x32x2 1

Bây giờ, ta biến đổi phương trình như sau

Từ đây kết hợp với (1), ta tìm được nghiệm của phương trình là x 1 

P/s: Cách này tương đối phức tạp, mình nghĩ là có cách đơn giản hơn Các bạn thử tìm xem sao nhé :)

24, Giải phương trình hai ẩn: 4y2x  4y x x22

x  y xem thử thỏa hay không rồi kết luận thôi

25, Giải phương trình sau

3

21

26, Giải phương trình sau x22x 3 3x22x 1 2 x2x 2(x21)

x x

Lại để ý rằng f x ( ) 0 vô nghiệm tức là thằng vế trái phải luôn âm hoặc luôn dương Muốn biết

nó luôn âm hay luôn dương cũng không phải chuyện khó Ví dụ ở bài này, chẳng hạn ta thay giá trị 1

x  vào, nhận thấy VT(1) Vậy lời giải sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 0

Từ đó dễ dàng tính được 1 4 1.

x

t  t  Thế t 2x23x1 vào hai phương trình trên và đối

Hướng giải 1 Ta để ý rằng (2x3)(5 2 ) x 16 4 x215 Giờ ta sẽ kéo sự khéo léo về mối quan

hệ "căn thức và đa thức" trong bài toán Cụ thể, ta xét phương trình:

13 4 xa(2x3)b(5 2 ) x 2(a b x ) 3a5 b Cân bằng hệ số hai vế phương trình ta thu

hai vế phương trình ta thu được:

chiếu điều kiện ta có phương trình có nghiệm duy nhất x 2

Hướng giải 2 Ta phân tích lại bài toán dưới hình thức khác: Ta cũng có

2(2x3)(5 2 ) x 16x4x 15 và điều "tuyệt diệu" (2x3) (5 2 )  x 2 Lại có nhận xét:

13 4 x 3 10 4 x 3 2(5 2 ), x 4x 3 4x   3 6 3 2(2x3).Vậy ý đồ giải bài toán cũng

đã hiện lên Lúc đó với cách đặt như trên ta thu được phương trình mới:

2 2

(3 2 u v) (3 2 v u)  2 8uv3(uv)2(uv uv)  2 8uv Tới đây tương tự như hướng giải

1 các bạn tiếp tục nhé

Hướng giải 3 Hướng giải bài toán này dựa trên tính kiểm tra nghiệm của phương trình rồi bằng

những phân tích trên các bạn cũng thu được lời giải tương tự

 Ở lời giải trên các bạn chú ý rằng mình đã sử dụng một "điều kiện rộng" cho t Cụ thể:

Khi đặt t 2x 3 5 2 , x ta chỉ cần t 0 khi giải phương trình

Nhưng trong bài toán này mình đã sử dụng điều kiện tối ưu hơn như bạn thấy trên Để tìm điều kiện đó các bạn có thể dùng hai phương pháp: phương pháp đạo hàm hoặc bất đẳng thức

Để dễ nhớ các bạn có thể nhớ nhanh thế này nếu đặt t anx b nx , ab  t 2(a b )

để ý một chút nhé

Sự xuất hiện của x và 10x của phương trình trong căn thức thứ nhất cho ta hướng nghỉ tích cực 2

về hằng đẳng thức nên ta biến đổi như sau x210x393(x5)2368

Sự xuất hiện của x và 14x của phương trình trong căn thức thứ nhất cho ta hướng nghỉ tích cực 2

về hằng đẳng thức nên ta biến đổi như sau x214x624(x7)2575

Tới đây bài toán lại gợi mở cho ta hướng đi mới bằng một đánh giá khá quan trọng sau: " nếu có

| |u | | |v  u v|

thì u v ,

cùng hướng" Giờ ta nghỉ đến kết quả này thử với bài toán mà ta đang xét Bài toán của chúng ta được viết lại :

35, Giải phương trình sau x x2 1 x x2 1 2(x21)

Với điều kiện đó 2 vế cùng dương, bình phương ta được: 4 | | 2 x  x23x1 (1)

Bây giờ chia làm 2 trường hợp:

TH1: x < 0 (B)

(1) thành: 2x22x  giải và kết hợp với (A) và (B) 3 0

TH2: x 0

(1) thành: 2x24x  giải và kết hợp với (A) và (B) 3 0

37, Giải phương trình sau:   2 2

Giải:

Trước tiên nhìn vào phương trình ta thấy việc mong muốn thoát căn là điều cần thiết Nên ta sẽ đặt

ẩn phụ cho t 2x2 Khi đó ta sẽ để ý tới 3x24x 2 2x24x(x22)2x24x t 2 Điều này gợi ý cho hướng tới giải bài toán bằng phương pháp khử ẩn không hoàn toàn Để sử dụng phương pháp này tốt ta cần và đặc biệt cần đó chính là biệt số  phải là đạt được " bình phương một tổng hoặc hiệu " Nhưng với cách phân tích trên chúng ta đã khử hết hệ số nên điều

đó đạt được gần như rất hữu hiệu

Ta xem phương trình (1) là một phương trình bậc hai theo t có biệt số

(x 2) 8(x 2 )x (3x 2)

Khi đó phương trình (1) sẽ có hai nghiệm t2x  t 2 x

Tới đây ta trả bài toán về dạng cơ bản AB Mình tin các bạn làm tốt

Tuy nhiên bạn có thể tham khảo theo cách tiếp cận sau :

Biến đổi phương trình về dạng :3x24x 2 (x2) 2x2  0

Ta chia ra hai khoảng:

+) Với:  2 x 1, bất phương trình tương đương với:

Đứng trước phương trình thế này ta luôn đặt ra 2 hướng để giải quyết:

1.Dùng liên hợp để rút nhân tử chung

2.Đặt ẩn phụ

Nếu ta theo đường lối đầu tiên thì chắc chắn phải lần mò được một nghiệm "đẹp" của phương trình

này, nhưng lại không lần mò được bởi nó đâu có nghiệm đẹp Cái này các bạn tự thử nhé! đứng trước tình huống này ta sẽ định hướng đi theo phương án 2!

Như phân tích ở trên thì ta sẽ phải tìm ra ẩn phụ, nhưng ta cũng không dễ dàng tìm ngay được ẩn phụ, vậy chắc hẳn phải có biến đổi gì đây?

Ý tưởng tự nhiên nhất mà ai cũng nghĩ tới có lẽ là chuyển vế và bình phương, ta hãy thử làm xem sao!

Chuyển vế ta được: 3 x24x 5 x3 11x225x2

Với điều kiện x 3 cả hai vế đều dương, bình phương khai triển rút gọn ta được:

3 (x 4x5)(x3)x 6x25

Đến đây ta thấy phương trình sáng sủa hơn rồi và ta bắt đầu công cuộc tìm ẩn phụ!

Ý tưởng đầu tiên là đặt u x24x5,v x với ,3 u v  và ta đi tìm mối liên hệ giữa 02

Bằng việc nhân liên hợp, phương trình sẽ tương đương với: 4x2 x 10 0

41, Giải phương trình sau: x23x 1 x 10 3 x  x 1

Phương trình (1) có thể viết thành f x( )(x2 x 2) 10 3 xx25x 6 0Nếu x<3 thì

Tới đây thì bí! Không biết làm như thế nào nữa!

Theo mình nghĩ ở vế bên phải chi là 2x 1 thôi, chứ 2

32

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là : 1 ; 3

x 

 Hơn thế ta có:

2( 2x 1 3 2 ) x  4 2 (2x1)(3 2 ) x 4

           Vậy trong trường hợp đang xét, giá trị x  4

nghiệm đúng phương trình đã cho

Với x>4 Phương trình đã cho tương đương với:

Dễ thấy x 0 không là nghiệm của phương trình

Với x 0 ta chia cả hai vế cho x , ta được:

Vậy nếu vậy thì cái sai lầm là nó nằm ở đâu ??

Bài toán này nằm ở một bài toán cơ bản :

( ) 0( ) ( ) 0 ( ) 0

Ta có :

2

2 2

x x

Mình nêu ý tưởng thôi đó là xét 2 trường hợp: (x23x2) 3x 1 0 và (x23x2) 3x 1 0rồi giải bình thường thôi

Phương trình x42x37x218x 9 0 ( * ) với điều kiện x x ( 1) 0

Ta có: (*)(x2 x 1)210(x1)2  đến đây thì giản đơn rồi 0

Các bạn hỏi sao mình biết phân tích vậy? Mình đã làm thế này nè

Viết (*) dưới dạng: (x2 x m)2 (2m8)x22(m9)xm2 9

Thế rồi mình tìm m để:(m9)2(2m8)(m29) phương trình này có 1 nghiệm 0 m 1 do đó

ta có phân tích như trên

  , dẽ thấy điều kiện của t là: t 2

Khi đó ta có, phương trình sau: t24t 9 2 t2  5 0(t2)2(1 9 2 ) t2  0

2 2

21

22

x x

x x

Đối chiếu điều kiện của bài toán ta có nghiệm của phương trình là x   1

51, Giải phương trình sau:

1 01

đúng phương trình.Vậy ta sẽ đi theo hướng này để làm lộ ra nghiệm x  , muốn vậy điều đâu tiên 1

nó sẽ cho ta rất nhiều điều hữu ích cho kinh nghiệm sau này.Mình tin các bạn sẽ làm tốt

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất : x   1

 2  2

2

2 2

x

x x

là ax b cx2dx e

Khi gặp bài toán này mình thường chọn cách đặt ẩn phụ thật khéo sao cho có thể kéo về được hệ

có tính chất như mình nói trên Muốn vậy mình cần phải đưa phương trình đó về hình thức sau : ax b t mx( n)pq

Trong đó :mat p n; bt q

Khi đó ta sẽ đặt myn ax b

Tất nhiên tất cả các điều kiện của bài toán phải xét đến

Bây giờ ta đi vào bài toán đang xét

x   Vậy x  2 hoặc x 2 Ngoài ra, rõ ràng x  2 là một nghiệm của phương trình nên ta chỉ cần xét x 2 Khi đó phương trình tương đương với

2(x2)(x3) (x2)(x2)2(x2), hay 2(x3) x22 x2 Bình phương hai

vế, ta được 2(x3) ( x2)2 2(x3)(x2)4(x2), tương đương 2 2(x3)(x2)  x 4.Tiếp tục bình phương hai vế thêm một lần nữa, ta có 8(x3)(x2)(x4) 2 Sau khi khai triển

và rút gọn, ta được phương trình 7x 2 64 Giải ra (với chú ý x 2), ta được 8

Tới đây bình phương 2 lần lên nữa là ổn, nhớ chú ý điều kiện

2

x  , bất phương trình tương đương với:

2(1x)(3x) (1x)(1 2 ) x   (1x)

tiêu vì vậy ta có cách giải bình dân nhất như sau:

Bình phương 2 vế phương trình đã cho ta có:

Vậy rõ ràng với cách nhìn nhận như vậy ta có được nhân tử chung là x  2

Muốn như vậy thì đối với hai căn ta cần sử dụng phép nhân liên hợp Do đó ta đưa bất phương trình đã cho thành :

Kết hợp với điều kiện (*), ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 5; 1

2(x  x 1) 2(x  x 1) 1 4x5

Thường suy nghĩ thông thường là ta cố tạo ra một dáng điệu nào đó cho hàm số để chọn cách biểu đạt đặc trưng để giải quyết bài toán Nhưng với bản thân mình thì mình khó có thể tạo ra được điều đó!

Vậy mình sẽ chuyển sang hướng đi khác Với phương trình này về hình thức thì cho ta cảm giác

"kinh nghiệm" là đoán nghiệm trước và ta đoán được x  là nghiệm của phương trình Nhưng 1liệu đó có phải chăng là nghiệm duy nhất ???

Liệu tiên đoán này đưa chúng ta về cách giải nào đây? Khi mà với mình thì bài toán đưa về khảo sát hàm số chứng minh nghiệm duy nhất là vô vọng Và mình nghỉ tới sao ta không tạo ra các nhân

tử chung x  nhỉ? Bây giờ ta tạo ra như thế nào cho đẹp đây Trước tiên là với cái căn thức đã : 1

Phù xem như ta đã thắng lớn trong phân tích này Bây giờ ta đi vào cụ thể bài toán nhé/:)

4

x   x 

Phương trình đã cho được biến đổi thành:

4 5 32( 1) ( 2)( 1)

2 2 2

Phương trình (3) giải đơn giản các bạn tiếp tục nhé!

Ngoài cách đi trên chúng ta cũng có thể giải bài toán này theo phương án hằng số biến thiên tức là

ta hãy tạm quên đi số 11 là cái gì quá cụ thể rồi ta lượt bài toán về phương trình bậc hai theo con

số 11 này Vậy để tiện việc giải quyết bài toán ta có thể xem số 11 t Lúc đó phương trình đã

Cách 2: ( Phương Pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn)

Phương trình đã cho tương đương với:

Là một hàm số đồng biến, nên phương trình trên nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Và ta thấy :x 6 là nghiệm của phương trình và nghiệm đó là nghiệm duy nhất

x x

Với phương trình cho hình thức này ở trên diễn đàn của chúng ta cũng đã có khá nhiều và việc giải

nó như thế nào cũng đã được đưa ra thảo luận khá nhiều Với cách cho phương trình dưới hình thức này thì việc nghỉ đến giải hàm số cho nó có lẻ là phương án tối ưu vì khi đó thông thường chúng ta thu lại được một phương có hướng giải cơ bản Nhưng cái điều khó ở đây là chúng ta làm thế nào để biểu đạt nó về được cách xét hàm số đặc trưng là điều quan trọng Với các bạn có khả năng phân tích tốt chắc điều đó không làm khó các bạn nhưng với các bạn có ít kinh nghiệm phân tích chắc sẽ rất lúng túng Và một kinh nghiệm khá quan trọng đó là sự xuất hiện ở vế phải báo hiệu cho chúng ta cái việc xuất hiện biểu thức như vậy giúp chúng ta đưa cái hiểu thức ấy về bậc

ba rồi từ đó đánh giá phân tích Và như nói ở trên sự phân tích khéo không phải ai cũng có thể làm

tốt nên mình sẽ chọn cho các bạn một định hướng quan trọng sau và tất nhiên nó cũng phải bám đúng những điều mình đã phân tích trên

Cụ thể bây giờ ta đi đến điều kiện cho bài toán là 3 1 0 1

3

x  x Cái căn kia bên vế phải sẽ

không giúp nhiều trong việc chúng ta phân tích nên ta sẽ chọn cho nó cái " áo khoác mới" vậy Đặt

3 1 ( 0)

y x y Khi đó ta đưa phương trình đã cho về 2x3 7x25x42y3Ở đây chúng

ta cũng không thấy bóng dáng sự phân tích nào cả nhưng việc thay " áo khoác mới" là để làm đẹp

mà đã đẹp thì phải đẹp tổng thể nên ta sẽ cho nó trở thành tổng thể hệ sau :

2x 7x 8x 3 2y y Tới đây để "tôn lên vẻ đẹp tổng thể" ta hãy tiết chế " sự phức tạp" ở

vế trái phương trình về " sự đơn giản" bên vế phải phương trình để có được sự đồng điệu chung Vì

sự xuất hiện của hệ số 2 trước y và số 3 1 trước y nên mình cũng sẽ đưa về sự đồng điệu ấy 2

như sau:2x36x26x 2 x22x 1 2y3y2 2(x1)3(x1)2 2y3y2 (1)Tới đây thì

sự hài hòa đã có nên ta sẽ lấy sự hài hòa này làm tiêu chuẩn cho một hàm số đặc trưng sau

Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:

x x

Đứng trước phương trình này với những dấu hiệu có thể nhóm hạng tử đưa về phương trình tích thì

ta nên khéo léo kết hợp và đưa bài toán về dấu hiệu đó Nhưng trước hết ta cần đặt điều kiện cho

các căn thức có nghĩa Cụ thể ta có điều kiện của bài toán là

ta khéo léo nhóm hạng tử của phương trình đã cho về phương trình mới

 x2 x6 2x 1 34 (1)Ở phương trình (1) ta nhận thấy rằng với 1

2

x  ta luôn

có x2 x6 0 do đó để giải phương trình (1) ta chỉ còn quan tâm đến đại lượng

2x  1 3 là xem như ta tìm được hướng giải quyết bài toán Thật vậy Với

2x  1 3 0x5 Lúc đó ta có 1 5  2 6 2 1 3 0

này phương trình (1) vô nghiệm Với 2x  1 3 0x5 Lúc này với điều kiện tổng thể là 5

x  thì rõ ràng phương trình (1) hoàn toàn có thể giải quyết nghiệm của nó.Nhưng với đặc thù

vế trái phương trình (1) và vế phải của phương trình (1) thì việc giải phương trình này ta khéo nhất là chọn giải nó bằng " phương pháp sử dụng tính đơn điệu" để giải quyết Cụ thể các bạn sẽ chứng minh minh được hàm sô f x( ) x2 x6 2x 1 3 d?ng bi?n v?i m?i x Nên 5

từ đó nếu phương trình (1) có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất và thử thấy có f(7) 4nên nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là x 7

84, Giải phương trình vô tỷ: 2 3

2x 11x21 3 4 x4  0