Hệ phương trình hay và khó thi Dai Hoc

Hệ phương trình hay và khó

1, Hệ phương trình hai ẩn không đối xứng:

Từ đây ta nhận xét rằng, nếu y>2 thì ta sẽ đồng thời suy ra x>2 và x<2 (vô lí) Tương tự y<2 ta

cũng sẽ ra vô lý Như vậy, ta phải có y 2, từ đó suy ra x 2 Như vậy, hệ có nghiệm duy nhất là

là đoạn đường quá dể nếu không nói là sẽ rất lúng túng nếu ta không khéo léo sắp đặt Cụ thể ta thấy

ở phương trình thứ nhất trong hệ nếu để nguyên như nguyên thủy thì sẽ chẳng tìm được ý đồ để giải Bây giờ ta biến đổi một chút phương trình thứ nhất trong hệ thành như sau

x  xy   x x  xyy x x xy   x y  xy  xy a Ta quan sát thấy vế

trái phương trình ( )a là một phương trình bậc 3 theo biến x và có x  thỏa nên ta bằng việc 1

chia đa thức hoặc sơ đồ Horner ta sẽ được phương trình mới như

sau(x1)(x2y21)2xy y( 1) (1) Tương tự phương trình thứ hai trong hệ ta cũng biến đổi

Chuyên đề II: PT Lượng giác, PT-Hệ PT

Phần 2: Hệ Phương Trình

Coppy right ©: Mobile_lam

2xy x( 1)0x0 y 0 x 1

+ Với x  thì hệ phương trình trở thành 0

2 2

1 0( 1)( 1) 0

P/S Bài toán này còn có một cách khác giải bằng số phức cực kì độc đáo các bạn thử tìm hiểu nhé

Và bài toán này khi giải bằng số phức sẽ tôn thêm vẻ đẹp của hệ này!

Cách 2:

Lời giải độc đáo bằng số phức mà anh Caonguyenbuon nói đến chính là đây :D

Lấy phương trình (1) - phương trình (2) nhân i ta được:

x  x yi  x yi  yi  xyi   i x  xyi  yi  xyix i

Tương đương (xyi)3(xyi)  i 1 (xyi)2i x( yi)2

Đặt z x yi ta viết lại thành phương trình:z3(i1)z2   z 1 i 0

Với z 1 ta có tỏng các hệ số bằng 0 vậy z 1 là một nghiệm Do đó ta viết lại phương trình thành (z1)(z1)(z i 1) 0

Tới đây em xin trình bày tiếp hướng tiếp cận khác như sau:

Ta dễ dàng nhận ra rằng x y là một nghiệm của hệ phương trình 1

Ta xét TH khi: x1;y , khi đó ta đưa hệ về dạng: 1

2 2

2 ( 1)1

1

2 ( 1)1

Xét a 5y thay vào phương trình thứ nhất của hệ (1), ta được 1, (y1)(5y1)7y2y, hay 2

12y 5y 1 0 Phương trình này vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có tất cả ba nghiệm là  2,1 , 0, 1

xy a

40

Xem phương trình thứ hai là một phương trình bậc hai theo y ta có:

hệ

Rõ ràng ta có thể nhận thấy ngay rằng cách xếp đặt ở phương trình thứ hai trong hệ cho ta kiểm tra được khi y  ta thu được hệ phương trình vô nghiệm 0

Vậy câu hỏi đặt ra cho chúng ta liệu rằng khi y 0 ta có thu được gì may mắn không ? Ta thử nháp

nó bằng cách chia cả 2 vế của hai phương trình trong hệ cho y ta thu được gì ??

Đối với phương trình (1) khi chia cho y ta thu được :

- Nhận xét y  hệ phương trình đã cho vô nghiệm 0

- Với y 0 ta chia hai vế của hai phương trình trong hệ ta thu được hệ mới như sau :

2

2 2

14

33

55

12

Ta thấy khi: x y; 4xy y; 2 5x2 đều không thỏa mãn

Do đó khi: x y; 4x y y; 2 5x2, nhân chéo 2 vế của phương trình ta có:

x y  xy y  x x3y3 (4xy y)( 25x2)

Rõ ràng đó là phương trình đẳng cấp bậc 3

  Điều kiện: x 0. Dễ thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình Xét

x>0 Phương trình đã cho tương đương:

f t  Từ đó ta được x1,y2 Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất ( , )x y (1, 2) 

Xét x0,y không phải là nghiệm của hệ Hệ đã cho tương đương: 0

12, Giải hệ phương trình sau:

Thế nhưng không vì thế mà ta nản lòng, hãy cứ bình tĩnh biết đâu lại ngộ ra được một điều gì đó!

Hệ phương trình nhìn thế này chắc chắn ý tưởng đầu tiên trong đầu chúng ta là làm một cách nào đấy cho nó gọn hơn, dễ nhìn hơn rồi, và cách nhanh nhất chính là khai triển ra!Bế tắc quá phải dùng cách nàyThật vậy, ta có:

ab a b a b

ab a b a b a

19, Giải phương trình:

2 2

21, Giải hệ phương trình sau:

23

chính là dấu hiệu để ta nhận thấy hệ phương trình bài toán cho chính là hệ phương trình cơ bản đối xứng loại hai.Về tổng quan hướng giải cho hệ này là ta trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để bắt nhân tử chung

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ :

Vậy phương trình (3) vô nghiệm

Với x y ta thay vào phương trình (1) trở thành :8x328x229x 8 0 (4)

f f  f f   f   f 

Điều này chứng tỏ phương trình f x  có ba nghiệm phân biệt.Dẫn đến hệ phương trình đã cho ( ) 0

có ba nghiệm ( ; )x y phân biệt 

Nên ta thử xem trong phương pháp thế mà ta đang xét bài toán sẽ cho ta con đường thuận lợi nào Với nhận xét ban đầu ta rút

3

2 52

x y

x





Thế kết quả này vào phương trình còn lại trong hệ ta xem thử.Cụ thể:

x y

x



Thế vào phương trình (2) ta được phương trình

Quan sát ta thấy cả 2 phương trình của hệ đã cho đều có dạng bậc 2 , trong đó các phần tử tự do của

x và y đều có dạng bậc nhất Điều này gợi nhớ cho chúng ta tìm cách đưa về hệ phương trình đồng bậc 2 để giải quyết Vậy chúng ta có mẹo nhỏ như sau: Đó là đặt x u a y,   thay vào hệ v b

phương trình Sau đó muốn hệ đồng bậc hai với u, v thì chúng ta cho hệ số bậc nhất của u,v bằng không Từ đó chúng ta tìm được a,b Minh họa bằng bài toán trên như sau:

Đặt xu y,   ta sẽ đưa về hệ phương trình đơn giản như sau: v 1

Cụ thể ở bài toán này ta biến đổi như sau

Quan sát hệ ta thấy ngay được là hệ luôn có nghiệm ( ; )x y (0 ; 0)

Do đó với x  ta chia hai vế phương trình (1) cho 0 x , chia hai vế phương trình (2) cho 2

x ta

được một hệ mới :

2 2

y x x

Lúc đó hệ phương trình đã cho trở thành hệ mới sau:

+)Khi: x y x;8 2y0;x2 3y2  , đều không thỏa mãn hệ phương trình: 0

+) Khi: x y x;8 2y0;x23y2  ,nhân chéo 2 vế phương trình ta được: 0

Thế : x2 3y2 vào phương trình trên ta được:

 để đưa về phương trình theo t : t3t22t 8 0

2a 9a7a a(7a 2a9)0a a( 1)(7a9) 0

Kết luận hệ phương trình có 2 nghiệm: ( 1;5); ( 1; 3)  

Quan sát hệ thì ta thấy ý tưởng đầu tiên sẽ là sử dụng phương pháp cộng đại số!Thật vậy:

Cộng hai phương trình với nhau ta thu được: 2 x4 10x y2 2 5y4

x  x y  xy Tương tự như thế, trừ hai phương trình cho nhau ta có: 5 2 3 4

Đến đây ta có thể giải quyết tiếp như sau:

Các phương trình ở trên làm ta nhớ tới hằng đẳng thức bậc năm, với tư tưởng đó ta tiến hành cộng, trừ hai phương trình cho nhau thì ta thu được hệ:

Vận dụng hằng đẳng thức, ta viết hệ thành:

5 5

+) TH 1: Khi: x2 y2 x y x;   , dễ thấy không phải là nghiệm của hệ y

+) TH 2: Khi: x2  y2, ta nhân chéo 2 phương trình ta được:

Hệ này khá đơn giản, ta sẽ làm như sau:

+) Với: x 0, dễ thấy không thõa mãn

Tới đây các bạn có ngay: ab hay 2

4y 11y  Công việc còn lại đã quá đơn giản, các bạn 2 0hoàn thành nốt nhé!

52, Giải hệ phương trình:

2 2

23

4

u  v, ta đưa về hệ phương trình : 2

Bài toán này cũng làm ta nhớ đến phương pháp đánh giá, thật vậy:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM thì ta có x2y2 2 |xy| kết hợp với x2y2 2 ta thu được

Hệ này giải bằng phương pháp hàm số

Với: x 0, dễ thấy không phải là nghiệm của hệ phương trình

Với: x 0, ta đưa hệ về dạng:

3 3

1

2 3

32

y x y

Thử lại ta thấy cặp nghiệm ( ; )x y (2; 1) thỏa mãn hệ

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất: (x; y)=(2; 1)

54, Giải hệ phương trình:

3 3

22

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x y 1

Thử lại không thỏa: x2 xyy2  1

Ta thấy y  không phải là nghiệm của hệ 0

Thay: 4x y2 22xy2y2  vào phương trình thứ nhất ta được: 3

xyS xyP và đưa về hệ mới với S; P Làm quái có gì mà giấu đâu! >:)

Nhưng mà nếu để ý thì thấy có thể làm nhanh hơn một tẹo, bạn có thấy mối quan hệ của 2 biểu thức

xy xy x y , nó dẫn lối ta liên kết với biểu thức còn lại là xy

Đem thả phương trình thứ nhất vào phương trình thứ 2 để nhử ta được:

3

(xy) (xy)10xy2 Sau đó quay trở lại ghép với phương trình 1 thì sẽ rất là thú vị, bạn thử xem nhé!

Nếu bạn cần xem đáp số thì xem bên dưới ý :x

Mình tin là bạn có thể tự giải nốt được Mình nghĩ đáp số cuối cùng là (1;1)

60, Giải hệ phương trình sau:  3 3 2 2

Nếu x 0 thì thay vào (1) ta sẽ tìm được nghiệm của hệ

Nếu x 0 thì ta có: 2y thay vào (1) ta sẽ tìm được nghiệm của hệ

Ta co các biến lại bằng phép co: 3ax b;3  y thì hệ đã cho trở thành:

3 3

11

Đáp số của hệ ban đầu: (3; 0), (0;3)

x  không là nghiệm của hệ phương trình nên từ phương trình trên ta rút ra được: y 3 x

Thay vào ta cũng tính được 2 cặp nghiệm trùng với hai nghiệm ở trên

Kết luận: Hệ phương trình có 2 nghiệm là: ( ; )x y ( 1; 0), ( 1; 2)

02

Bài này cứ rút trực tiếp x2yy3 rồi thay vào phương trình thứ nhất và phân tích nhân tử là được (việc này khá đơn giản do ta đã biết chắc sẽ có một nhân tử y rồi)

• Với y   Không thỏa mãn là nghiệm 2

• Với x 0 y Là nghiệm của hệ 5

• Với x0;y5;y  Ta lấy phương trình 2 chia cho phương trình 1 vế theo vế ta được phương 2trình :

Dễ thấy với: ( ; )x y (0; 0) là một nghiệm của hệ phương trình

Với: x 0 ta chia cả 2 vế cho phương trình trên cho x, phương trình dưới cho 2

x ta thu được:

2 2

42

1

y x

y x

Lập luận tương tự cho trường hợp y<2 cũng dẫn đến mâu thuẩn như trên

Vậy hệ có nghiệm khi x y Thử lại ta thấy cặp giá trị này thỏa mãn 2

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất ( ; )x y ( 2; 2)

b y

Với x 0: Thay vào phương trình thứ nhất, ta tìm được y 0 Mặt khác, dễ thấy ( , )x y (0, 0) thỏa mãn hệ nên đây là một nghiệm

Với x2xyy23x4y  : Lúc này ta có 4 0

0(x xyy 3x4y4) ( x xy3xy) y 5y4(y1)(y4), tức y  hoặc 14

y  Thay các kết quả này vào phương trình thứ nhất của hệ, ta tìm được thêm một nghiệm nữa là ( , )x y (1,1)

Vậy hệ đã cho có tất cả hai nghiệm là ( , )x y (0, 0) và ( , )x y (1,1) 

Lấy phương trình dưới nhân 2 rồi cộng vế theo vế ta có:

có:(y24 )x 212(y24 ) 11x  0

2 2

được viết lại như sau:

Đến đây thì ngon rồi nhé Giải tìm x thay vào để tìm y

Trường hợp 2:. Giải như trường hợp 1 Các bạn tự làm nhé Sẽ có một trải nghiệm hay để rèn giải phương trình bậc 4

Nhận thấy có 5x trong phương trình (1) là bậc nhất nên nếu nhân hệ số thích hợp vào (2) và y

phân tích được (5xy)2 thì tốt quá, liếc thấy vừa đúng 10xy thì xác suất càng lớn

(1) 13.(2) ta có:

2

(5xy) 5xy  4 0



Thay vào phương trình (1) của hệ ta thu được:

• Xét với x y không là nghiệm của hệ 0

• Xét với xy  Khi đó hệ đã cho tương đương với hệ sau : 0

a b x

b y

82

Hệ đã cho tương đương với

+) Nhận thấy y  không tồn tại x để là nghiệm của hệ 0

+) Xét với y 0Ta biến đổi hệ thành :

2 2

2

4

26

Từ phương trình thứ nhất, ta suy ra x y hoặc 2xy   x y 7 0.

Với x y: Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta thu được 2

2x 10x120, suy ra

x x Thử lại ta thấy ( , )x y (2, 2) và ( , )x y (3,3) đều thỏa mãn hệ phương tình

Với 2xy   x y 7 0 : Trong trường hợp này, ta có (x2y25x5y12) (2 xy x y7)0,hay (x y)26(xy) 5 0 Từ đây ta suy ra xy hoặc 5 xy1 Đến đây bằng cách xét từng hợp cụ thể và phép thế, ta dễ dàng tìm được tất cả các nghiệm của hệ

Từ hai trường hợp vừa xét, ta thấy rằng x phải bằng 1 Suy ra y  và do đó, ta có 2 1 ( , )x y (1,1)hoặc ( , )x y (1, 1). Thử lại, ta thấy hai bộ này thỏa mãn hệ phương trình :)

1

6

21

x x

x x

Bài này của em anh thấy phương pháp thế là tự nhiên nhất đấy!

Trước tiên ta nhận xét rằng với hệ này thì x0,x không thỏa hệ đã cho 1

Do đó với x  và 0 x  thì từ phương trình thứ nhất trong hệ ta thu được : 1

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được 2

Rõ ràng ta thấy y  không cho nghiệm nào của hệ nên ở đây chỉ cần xét 0 y 0

Khi đó, chia hai vế của từng phương trình cho y và đặt 2 t 1,

2(x txt  1 t ) (2 t1)(x  x 2t 2 )t (x2t2)(2t  1 x) Và do đó, kết hợp với các giả thiết có được từ hệ, ta có x 2t2 hoặc x2t21

Tuy nhiên, trường hợp x2t2 không thể xảy ra vì lúc này 1

thiết của hệ Như vậy, ta phải có x 2t2

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được (2t2)2(2t2) 2 t22t0, hay 2(t 1)2 0 Vậy 1,

t   tức x0,y  Thử lại ta thấy thỏa 1

Tóm lại, hệ phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là ( , )x y (0, 1).

Dễ thấy khi x0,y không thỏa hệ Vậy ta viết hệ lại thành: 0

x y

Dạng tổng quát: ( Phương pháp tịnh tiến)

Bạn có thể tham khảo bài viết của anh batigoal

Quan sát ta thấy cả 2 phương trình của hệ đã cho đều có dạng bậc 2 , trong đó các phần tử tự do của

x và y đều có dạng bậc nhất Điều này gợi nhớ cho chúng ta tìm cách đưa về hệ phương trình đồng bậc 2 để giải quyết Vậy chúng ta có mẹo nhỏ như sau: Đó là đặt x u a y,   thay vào hệ v b

phương trình Sau đó muốn hệ đồng bậc hai với u, v thì chúng ta cho hệ số bậc nhất của u,v bằng không Từ đó chúng ta tìm được a,b Minh họa bằng bài toán trên như sau:

Đặt xu y,   ta sẽ đưa về hệ phương trình đơn giản như sau: v 1

Với y 0, ta có ngay x 0 và bộ số ( , )x y (0, 0) là một nghiệm của hệ Xét trường hợp y 0,

khi đó hệ đã cho có thể được viết lại dưới dạng

3

3 3

2

2

61

x

x y

Bài hệ này quen quá: y  không phải là nghiệm 0

Xét y 0 Chia hai phương trình của hệ cho y Sau đó đặt

21

3 k 2y 0 Từ đó kết hợp với trên, ta thu được y  và ( , )0 x y (0, 0).

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có tất cả ba nghiệm là ( , ) (0, 0), ( , ) 3, 3

xy   rút được từ phương trình thứ hai vào và biến đổi phương trình thứ nhất thành

phương trình một ẩn theo x Từ đó tìm được x và cuối cùng là tìm được y

Đối với phương trình (2) thì không cần thế vội, ta cứ biến đổi một chút đã

Bình phương hai vế nó lên ta thu được :

2

(x1) xy3x2y 5 2x x y( 3)  x y 3 2 x y( 3) (x1)[xy 3 2 x y( 3) ]0

2(x 1)[ x y 3] 0

Vì   0 nên y 1 x4y Thử lại thấy nghiệm (4;1) thỏa 4

Vậy hệ có duy nhất 1 nghiệm: (4;1)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( , )x y (2,1) 

x

u x y v y

y y y x

x xy x

.5

Nhân phương trình thứ nhất của hệ với x và nhân phương trình thứ hai cho y rồi cộng hai phương trình cho nhau, ta được

Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là ( , )x y (0, 0), ( , )x y (2, 2) và ( , )x y (1, 2) 

Ngoài cách trên, em còn phát hiện được là

Ta thấy x y là một nghiệm của hệ 0

Xét x 0 chia phương trình (1) cho x , phương trình (2) cho 2

x ta thu được:

Pt (1) Chia cả 2 vế cho xy thu được pt mới là x 1 1 2

y x y  Pt (2) Chia chia 2 vế cho 2

Tới đây là đơn giản rồi

Vậy tóm lại nghiệm là ( , )x y (0, 0);(1, 2); (2, 2)

Từ hệ phương trình, ta thấy y 0 Khi đó, ta viết được hệ dưới dạng

3 2(xy)[(xy) 2(xy) 1] (xy x)( y1)[(xy) (xy) 1]  do 0 xy 1

Đặt ytx, thế vào phương trình trên ta được:x66x t6 2 9x t6 4 8x t6 28x t6 6 (1)

Nhận thấy x 0 không phải là nghiệm của hệ đã cho nên:

Từ giả thiết suy ra

y x y

Hay y {0,1, 1 4,

2 7

}

Với y  x 1: Thay vào (2), ta được (x  x 1)   x ( x 1)3, hay tương đương 2

x  x 

Phương trình này vô nghiệm nên trường hợp này không cho ta nghiệm nào của hệ đã cho

Với y2x2 : Thay kết quả này vào (2), ta được (2x x2) x (2x2)3 Sau khi thu gọn, ta

đều thỏa mãn hệ phương trình

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 3 17 1, 17

3x 4 (4y x3 ).y Giải ra thế là tìm được mối quan hệ giữa x và y

Công việc còn lại chỉ là so với điều kiện rồi thế vào phương trình đầu giải phương trình một biến cái nữa là xong Khỏe re :D

Ta thu được hệ phương trình:

2 2

Hoặc phương trình trên ta có thể biến đổi trở thành:

2

2

01