064 đề hsg toán 8 lục ngạn 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (6,0 điểm ) 1) Cho biểu thức với a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị nguyên của để b[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023_MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (6,0 điểm )

1) Cho biểu thức

3 2

P

    với x1;x3 a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Pnhận giá trị nguyên

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình m m  2x  x 8mcó một nghiệm x 3

Bài 2 (4,0 điểm)

1) Gọi Q x là đa thức thương trong phép chia đa thức A x  x43x3 4x2  4x12 cho đa thức B x  x2 x 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q x 

2) Cho các số thực a b, thỏa mãn a2b2ab a b   1 0 Tính giá trị của biểu thức

3 4

Bài 3 (3,0 điểm)

1) Cho số nguyên tố p thỏa mãn p 6cũng là số nguyên tố Chứng minh p 2 2021là hợp số

2) Tìm tất cả các số tự nhiên ađể a23alà số chính phương

Bài 4 (6,0 điểm)

1) Cho tam giác nhọn ABC AB AC   có hai đường cao BM CN, cắt nhau tại H Đường thẳng vuông góc với ACtại C cắt đường thẳng vuông góc với ABtại B ở D a) Chứng minh tứ giác BHCDlà hình bình hành

b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD Qua điểm O kẻ đường thẳng song song với AH cắt BC tại K.Chứng minh K là trung điểm của BC và tính độ daif đoạn thẳng OK biết AH 6cm

2) Cho tam giác ABCcó các đường phân giác BD CE, cắt nhau tại I và

2

BD CE BI CI Tính số đo BAC

Bài 5 (1,0 điểm) Cho S a13a32 a33 a1003 với a a a1, , , ,2 3 a100là các số nguyên thỏa mãn a1 a2  a100  20212022 Chứng minh rằng S  1 6

ĐÁP ÁN Bài 1 (6,0 điểm )

3) Cho biểu thức

3 2

P

    với x1;x3 c) Rút gọn biểu thức P

3 3

2

3 ( 1) 1

P

d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Pnhận giá trị nguyên

1

1 (9) 1; 3; 9 10; 4; 2;0; 2;8

            

4) Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình m m  2x  x 8mcó một nghiệm x 3

Phương trình m m  2x  x 8mcó một nghiệm x 3 m m  2.3  3 8m

3

m

m







Bài 2 (4,0 điểm)

3) Gọi Q x là đa thức thương trong phép chia đa thức

A x x  x  x  x cho đa thức B x  x2 x 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q x 

Thực hiện phép chia, ta có :

Q x x  x  x  x   x 

x  x  x   x

Do đó Q x min 6 x  1 0 x1

4) Cho các số thực a b, thỏa mãn a2b2ab a b    1 0 Tính giá trị của biểu thức M 3a3 2b41

Ta có : a2b2ab a b   1 0

2

1

1 1

a b

a

b b















 

 Vậy giá trị của biểu thức M 0

Bài 3 (3,0 điểm)

3) Cho số nguyên tố p thỏa mãn p 6cũng là số nguyên tố Chứng minh

2 2021

p  là hợp số

p  p  là hợp số (loại)

p  p  là hợp số (loại)

Suy ra p 3mà p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3 Vậy p2chia 3 dư 1 Nên p 2 2021là hợp số

4) Tìm tất cả các số tự nhiên ađể a2 3alà số chính phương

Giả sử

Lập bảng

a b

a b

a

b

Vậy a    2; 4 thì a23alà số chính phương

Bài 4 (6,0 điểm)

3) Cho tam giác nhọn ABC AB AC   có hai đường cao BM CN, cắt nhau tại H Đường thẳng vuông góc với ACtại C cắt đường thẳng vuông góc với ABtại B

ở D

M O

D K

H A

B

C

c) Chứng minh tứ giác BHCDlà hình bình hành

Ta có BDAB gt( )và CH AB gt( ) BD CH/ /  1

Ta có DCAC gt( )và BH AC gt( ) DC BH/ /  2

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCDlà hình bình hành

d) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD Qua điểm O kẻ đường thẳng song song với AH cắt BC tại K.Chứng minh K là trung điểm của BC và tính độ dài đoạn thẳng OK biết AH 6cm

Xét AHDcó OA OD gt ( )và OK/ /AH gt suy ra K là trung điểm của HD 3

Vì tứ giác BHCDlà hình bình hành (cmt) có HD BC, là hai đường chéo (4)

Từ (3) và (4) suy ra K là trung điểm BC (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

4) Cho tam giác ABCcó các đường phân giác BD CE, cắt nhau tại I và

2

BD CE BI CI Tính số đo BAC

D E

A

B

C

Đặt AB c AC b BC a ,  , 

BD là phân giác của ABC

DA

AI là phân giác của

ABD

bc

ID AD BI ID AB AD ID c a b c

c a





Tương tự :





2

BI CE c a a b c

DB CE BI CI

BD CI a b c b a

2 2 2

2 bc ab ac a a b c 2ab 2bc 2ca

a b c

Suy ra ABCvuông tại A Vậy BAC90

Bài 5 (1,0 điểm) Cho S a13a23a33 a1003 với a a a1, , , ,2 3 a100là các số nguyên thỏa mãn a1 a2  a100  20212022 Chứng minh rằng S  1 6

2020

2021 6

S

 





Mà 2021 5 mod 6   1 mod 6  202120201 mod 6 

2020

2021 6k 1 k * S 6k 1 6 S 1 6 6k S 1 6 dfcm