063 đề hsg toán 8 lục nam 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NAM ĐÈ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức với a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức khi 2) Chứng[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NAM

ĐÈ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN 8

NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức

1 2 :

A

     với x0;x1 a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Akhi x 1

2) Chứng minh rằng

3 3

91919 11 91919 11

91919 91908 91919 91908



3) Tìm số tự nhiên nđể n 18và n  41là hai số chính phương

Bài 2 (4,0 điểm)

1) Cho a b c d, , , là các số nguyên dương thỏa mãn a2c2 b2 d2 Chứng minh rằng

a b c d   là hợp số

2) Cho đa thức P x   x2 x4 x6 x82034 Tìm số dư trong phép chia

 

P x

cho đa thức x210x19

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số x y z, , nguyên thỏa mãn : x2y2z2 xy 3x 2z 4 0

2) Cho a b c, , là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn  

Tính giá trị của biểu thức

P

Bài 4 (6,0 điểm)

1 Cho hình chữ nhật ABCD H, và I lần lượt là hình chiếu của B và D trên AC Gọi lần lượt M O K, , là trung điểm của AH HI, và CD

a) Chứng minh : B đối xứng với D qua O

b) Chứng minh BM MK

2 Cho tam giác nhọn ABCcó đường cao AM BN CP, , Gọi H là trực tâm của tam

giác ABC.Chứng minh rằng

AB BC CA



Bài 5 (1,0 điểm) Tìm các nghiệm tự nhiên x y; của phương trình

x24y2282 17x4y414y249

ĐÁP ÁN Bài 1 (5,0 điểm)

4) Cho biểu thức

1 2 :

A

với x0;x1 c) Rút gọn biểu thức

1 2 :

A

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Akhi x 1

Ta có :

x

x    x   x 

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số x  1và

1 1

x  khi x 1

Dấu bằng xảy ra khi  

1

1

x

Vậy Min P 4 x2

5) Chứng minh rằng

3 3

91919 11 91919 11

91919 91908 91919 91908



3 3

2 2

2 2

91919 11 91919 91919.11 11

91919 11

91919 91908 91919 91908 91919 91919.91908 91908

91919 11 91919.11

91919 11

91919 91908 91908 91919 91919 91908

91919 11 91908 91919.11

91919 91908 91908 91919.1











91919 11

1 91919 91908







6) Tìm số tự nhiên nđể n 18và n  41là hai số chính phương

Để n 18và n  41là số chính phương thì :n18p2và n 41q p q2 ,  

Vì 59 là số nguyên tố nên



Thay vào n  41ta được 882 41 841 29   2 q2là số chính phương

Vậy n 882thì n18;n 41là số chính phương

Bài 2 (4,0 điểm)

3) Cho a b c d, , , là các số nguyên dương thỏa mãn a2c2 b2d2 Chứng minh rằng a b c d   là hợp số

Xét a2b2c2d2 a b c d   a a  1b b 1c c 1d d 1

Vì alà số nguyên dương nên a a ; 1là hai số tự nhiên liên tiếp  a a 1 2

Tương tự ta có b b 1 ; c c1 ; d d 1đều là số chia hết cho 2

là số chẵn

Ta có : a2c2 b2d2 a2b2c2d2 2b2d2

là số chẵn

Do đó a b c d   là số chẵn mà a b c d   2, vậy a b c d   là hợp số

4) Cho đa thức P x   x2 x4 x6 x82034 Tìm số dư trong phép chia P x  cho đa thức x210x19

Đặt tx210x19 P x   t 3 t52034 t2 2t2019

Do đó t22t2019chia cho t có số dư là 2019

Vậy P x cho đa thức x210x19có số dư là 2019

Bài 3 (4,0 điểm)

3) Tìm tất cả các số x y z, , nguyên thỏa mãn : x2 y2z2 xy 3x 2z 4 0

 

2

2

3

2 3

; ; 1; 2;1

y

y

y

Vay x y z

                



 

               







4) Cho a b c, , là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn  

a b c  a b c

Tính giá trị của biểu thức

P

a b c  2 a2b2c2  ab bc ca  0

1

P

a b a c b c

a b a c b c

Bài 4 (6,0 điểm)

3 Cho hình chữ nhật ABCD H, và I lần lượt là hình chiếu của B và D trên AC Gọi lần lượt M O K, , là trung điểm của AH HI, và CD

O M

I

H

C

A

D

B

c) Chứng minh : B đối xứng với D qua O

Ta có tứ giác BHDIlà hình bình hành vì

/ /







  



Có O là trung điểm của HI nên O cũng là trung điểm của BD

Vậy B đối xứng với D qua O

d) Chứng minh BM MK

Qua M kẻ đường thẳng song song với ABcắt BH tại N

  và N là trung điểm của BH  MNlà đường trung bình AHB

/ /

1

2





 





Ta có :

/ / / /

1 2

MNCK







  



 là hình bình hành nên CN/ /MK 1

BMC

 có N là trực tâm nên CN BM 2

Từ (1) và (2) suy ra BM MK

4 Cho tam giác nhọn ABCcó đường cao AM BN CP, , Gọi H là trực tâm của tam

giác ABC.Chứng minh rằng

AB BC CA



N

M H A

B

C

Ta có :

/ /

90

AB Cx









ACD

 có Cx vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ACDcân tại C

Ta có tứ giác APCI là hình chữ nhật (vì PAI APC PCI 90 )  AI CP

Mà AD 2AI nên AD2CP

Xét 3 điểm B C D, , ta có : BD BC CD 

ABD

2

AB AD BD  AB AD  BC CD

4AM  AB AC  BC ; 4BN  AB BC  AC

Cộng vế theo vế ta được : 4 AM 2BN2CP2AB BC AC  2

Vậy

AB BC CA



Bài 5 (1,0 điểm) Tìm các nghiệm tự nhiên x y; của phương trình

x24y2282 17x4y414y249

x  y   x y  y   x  y   x  y 

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

x24 y2 7 2 1 24 2x4y272  x24y27 217 x4y272

Dấu bằng xảy ra khi 4x2 y2 7 2x y  2x y 7

Vì

,

x y

x y

  



  

 





Chúng đều có giá trị nguyên nên ta suy được



Vậy phương trình có nghiệm 2;3