ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN :TOÁN THỜI GIAN : 180 PHÚT
Bài 1 (4đ)
Cho hàm số: y = 2x3 + mx2 - 8x (cm)
1) KS vẽ đồ thị hàm số m = 1 (C1)
2) Tìm m ? hàm số (Cm) đồng biến/ (1,2)
Bài 2:( 6đ)
Cho phương trình: cos2x (2cos x cos3x - 7) = -m
1) GPT: m = -7
2) CMR: không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1n0
[-8
; 8
]
Bài 3( 4đ)
1) Tính I = x
xe x
dx x
1 (
) 1 (
2) A? = lm
x
x
x 1 397 1 3
5
x -> 0
Bài 4( 2đ)
Cho ABC biết pt cạnh BC: 4x - y + 3 = 0 và 2 đường phân giác trong của B, C lần lượt là (dB): x - 2y + 1 = 0 ; (dC): x + y + 3 = 0
Lập pt cạnh AB; AC
Bài 5: ( 2đ)
GPT: 2005log20052006x + log2006(-x+1) =1
Bài 6: (2đ)
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng
5 2 5 5 5 2 5
2
a
d d
c c
b
b
a
d c b
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN - LỚP 12 Bài 1(4đ)
y = 2x3 + mx2 - 8x
1) KS vẽ đt: m = 1
y = 2x3 + x2 - 8x
a) TXĐ: R
b) SBT: * CBT: y/ = 6x2 + 2x - 8
y/ = 0 = x = 1; x = -4/3
(Lập bảng xét dấu y/
KL: HSĐB/ x (- ; - 4/3) U (1, + )
HSĐB/ x (- 4/3, 1)
* Giá trị: xCT = 1 -> yCT = -5
xCĐ = -3/4 -> yCĐ =
27 208
* Giới hạn: Lim y =
x ->
HSK0 có t/c
Y// = 12x + 2
Y// = 0 z x = -1/6
Lập bảng xét dấu y//
Trang 3c) đồ thị
2) m ? hs ĐB/ /(1,2)
y/ = 6x2 + 2mx - 8
NX: / = m2 + 48 > 0 m -> y/ có n0 x1< x2
a = 6 >0
TH1: x1 < x2 1 ->
0 1 2
0 ) 1 (
s af
->
0 1
6
0
1
2
m
m
->
6
1
m
m
-> m 1
TH2: 2 x1 < x2 ->
0 2 2
0 ) 2 (
s
af
->
12
0 4
m m
->
12
4
m
m
->vô nghiệm
KL: m 1 là giá trị cần tìm
Bài 2: (6đ)
cos2x (2cosx cos3x - 7) = -m
2cos32x + cos22x - 8 cos2x + m = 0 (1) 1) m = -7
2cos32x + cos22x - 8 cos2x + 7 = 0
(cos2x + 1) (2cos22x - cos2x - 7) = 0
cos2x = -1 -> x = /2 + k
Trang 42cos22x - cos2x - 7 = 0 ; cos2x =
4
57
1
(loại)
KL: với m = - 7 -> x = /2 + k
CMR: không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1n0
[-8
; 8
]
NX : x
[-8
; 8
] -> 2x
[-4
; 4
] -> cos2x[
2
2
; 2
2
1-> -m = 2t3 +t2 -8t ====f(t)
t= cos2x[
2
2
; 2
2
f’(t) = 6t2 +2t -8
f’(t) = 0 khi t=1 , t= - 4/3 > f’(t) < 0 với mọi t [
2
2
; 2
2
nên mỗi giá trị -m [f( )
2
2 ( );
2
2
f
chỉ có duy nhất t [
2
2
; 2
2
] -> ưngd duy nhất x
[-8
; 8
]
nen không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1 nghiệm x
[-8
; 8
]
Bài 3 (4đ)
a) tính I = ((11) x)
xe x
dx x
đặt t= 1+ xex -> dt = ex(1+ x)dx
xe
xe C
t t
t
dt t
dt t
t
dt
x
x
ln 1 ln ln1
1 )
1 ( b)
Trang 5A= lim
x
x x
x
x( 1 397 1) lim 1 3 1 3
1
x-> 0 x-> 0
Vậy A = 2006/35
Bài 4 (2đ)
Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ
0 1 2
0 3 3 4
y x
y x
<-> B (-5/7 ;1/7)
Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ
0 3
0 3 3 4
y x
y x
<-> C(-6/5 ;-9/5)
Gọi M( 0 ,3) thuộc BC Lờy M1 ,M2 đxứng với M qua dC , dB ->M1thuộc
AB , M2 thuộc AC
( 2 ; 1 )
B
d
n và MM1 qua M (0 ;3) -> MM1 : 2x +y –3 =0
H1 = MM1 x dB -> H1 (1;1) -> M1 (2 ;1)
Từ đó -> AB : 56x + 133y + 21 =0 (chứa B va M1)
AC : 5x – 20y –30 = 0 ( chứa C và M2)
Bài 5 (2đ)
2005log20052006x + log2006(-x+1) = 1
ĐK : x < 1
pt <-> 2006x + log2006(-x+1) = 1
log2006(-x+1) = 1- 2006x (*)
Đặt y= log2006(-x+1) -> -x+ 1=2006y -> x= 1 – 2006y
hàm số y = 1- 2006x với x < 1 là hàm số ngược của hàm
y = log2006(-x+1)
pt (*) <-> 1- 2006x = x <-> x = 0 ( do x < 1)
Trang 6Bài 6
Ad BĐT Cô si cho 5 số dương 5
2
b
a
, 5
2
b
a
, 5
2
b
a
, 13
a ta có:
5 3 3
2
5 2
3
b a
b
a
(1) dấu = xảy ra khi a = b
tuơng tự
5 3 3
2
5 2
3
c b
c
b
(2) dấu = xảy ra khi c = b
5 3 3
2
5 2
3
d c
d
c
(3) dấu = xảy ra khi c = d
5 3 3
2
5 2
3
a d
a
d
(4) dấu = xảy ra khi a = d
cộng (1) ,(2) ,(3) ,(4) theo từng vế ta có BĐT cần chứng minh dấu = xảy ra khi a = b = c = d
[
[