h phải thỏa mãn điều kiện gì để , C thuộc cạnh SC khi đó tính diện tích thiết diện.. Tính thể tích hình chóp SAB,C,D,.
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIỎI TỈNH 12
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1: Cho hệ phương trỡnh:
8 3
2
x
a xy y x
Với điều kiện nào của a thỡ hệ cú nghiệm
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn Chứng minh:
tan A tanB tanC
3
1 sin sin sin
3
2
C B A
Bài 3: Tỡm điều kiện của m để phương trỡnh cú nghiệm:
cos4x1 cosx4 m
Bài 4: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD cú cạnh đỏy bằng a, đường cao bằng h
(P) là mặt phẳng đi qua A vuụng gúc với SC, (P) cắt SB,SC,SD lần lượt
,
,
,
,
,C D
1 h phải thỏa mãn điều kiện gì để ,
C thuộc cạnh SC khi đó tính diện tích thiết diện
2 Tính thể tích hình chóp SAB,C,D,
Bài 5: a, b, c là ba số thực 0 chứng minh rằng :
a
c c
b b
a a
c c
b b
a
2 2 2 2
2
Trang 2Sơ lược đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12
Năm học 2008-2009
-
Đáp án
Bài 1 (4 điểm)
8 3
2 2
a xy y x
a xy y x
8
3a y x xy
a xy y x
Đặt
p xy
s y x
điều kiện S2 4P*
8
3a
ps
a
s
p
đưa về phương trình t2 at 3a 8 0 điều kiện để phương trình có nghiệm 0
S1=
2
;
s
a
1/ a 8 s,p 0
2
; 4
p a
thỏa mãn
3
8
2
; 0
p a
thỏa mãn
3
8
a s p khi đó S=
2
; 2
p a
thế vào
p
* 2 (
2
a
2
8
33 13
3
a
Vậy với những giá trị:
8
33 13 3
a hoặc a8
Bài2 (4 điểm) :
tan A tanB tanC
3
1 sin sin
sin
3
2
C B
3
1 sin 3
2
+ 0
tan sin
3
2 tan
3
1
3
2
SinB
Vai trò như nhau
Đăt f(x) = x tanxx
3
1 sin
3
2
2 ,
0
cos 3
1 cos
3
2
2
x x
x
cos
1 cos
2 3
1
x x
Trang 3áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+ 3
cos
1
x f' x 0 f(x) hàm đồng
2
,
0
f(x)f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C A.B,C nhọn do đó f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 vậy bất đẳng thứ được chứng minh Bài 3 (4 điểm )
x 4
4
cos
1
cos
Đặt t =cosx điều kiện t 1 Xét hàm số f(x)= t4 +(1-t)4
Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất trên t 1
f’(x)=4t3 - 4(1-t)3
f’(x)=0 khi t=
2 1
f(1) =1; f(-1) = 17 ; f(
2
1 ) = 8
1 vậy phương trình có nghiệm 17
8
1
m
Mặt phẳng đi qua A vuông góc với SCsẽ cắt (SAC) theo
đường cao AC’ của tam giác SAC muốn cho điểm C’ năm trên SC thi góc SAC nhọn suy
ra HSC <450 Vậy ta có SH>HC
2
2
a h
2 gọi k là giao điểm của đường cao SH của hình chóp với AC’ta có:
P SC
BD
SC
P
//BDVậy (P) cắt (SBD) theo B’D’ đi qua K và //BD Nên (P) cát hình chóp SABCD theo thiết diện là tứ giác AB’C’D’ có 2 đường chéo vuông góc
là AC’ và B’D’ (Do B’D’ vuông góc (SAC vì BD//B’D’)
Vậy diện tích thiết diện AB’C’D’ là
S =
2
1
AC’ B’D’ mà AC’.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy ra
S
B
H
K
C
’
D A
C
Bài 4 (5 điểm)
Trang 4AC’ =
2
2
2
h
ha
=
2 2
2
2
h a
ah
Từ tính chất trực tâm tam giác SAC có : HK.HS = HA.HC
HK =
h
a h SK h
a
2
2 2
2 2 2
theo tính chất 2 tam giác đồng dạng SB’D’ và SBD
2
2 2 2
2
2
2 2 ' ' 2
2 '
'
h
a h a D B h
a h SB
SK BD
D
2 2 2
2 2
2
a h h
a h a
2/ Hình chóp SAB’ C’D’ có chiều cao là SC’ với SC’.SC = SH.SK( vì tứ giác HCC’K nội tiếp được) nên:
SC’ =
) 2
( 2
2
2 2
2 2
a h
a h
Vầy thể tích hình chóp SAB’C’D’
2V = 3
1 SC’.dt(AB”C’D’)
= 3
1
) 2
( 2
2
2 2
2 2
a h
a h
2 2 2
2 2
2
a h h
a h a
2 2 2 2
2 6
2
a h h
a h a
(ĐVTT)
Bài 5( 3 Điểm)
a
c c
b b
a a
c c
b b
a
2 2 2 2
2
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
a
c c
b b
a a
c c
b b
a a
a a
c c
c c
b
b
b
b
a
(1)
2
2
2
b
b
b
a
b
a a
b b
a
2
2
2 2
2
c
c
c
b
c
b c
c c
b
2
2
2 2
2
a
a
a
c
a
c a
a b
c
2
a
c c
b b
a a
c c
b b
a a
a a
c c
c c
b b
b
b
a
2 ) (
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
(*) Mặt khác 2
2 2 2 2
2
a
c c
b b
a
2 2
2 3 2
2
a
c c
b b
a
(**) Cộng vế cho vế ta được (1) điều phải chứng minh
