Chương DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Chương DẠNG TOÀN PHƯƠNG... Ánh xạ tuyến tính – Dạng song tuyến tính 3.2.. Dạng toàn phương... Ánh xạ tuyến tính... Khi đó qx=fx,x được gọi là dạng toàn phương... Suy ra là cơ sở của R3 ứ

Chương DẠNG TOÀN PHƯƠNG

1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 2

Chương 4: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

3.1 Ánh xạ tuyến tính – Dạng song tuyến tính

3.2 Dạng toàn phương

Ánh xạ tuyến tính

1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 4

Ví dụ

1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 6

Dạng song tuyến tính

1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 7

1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 8

Định lý: Ánh xạ f là dạng song tuyến tính khi và chỉ khi f

có dạng:

1 1

n m

ij i j

i j

= =

Đặt Khi đó f x y( , ) =  x A y T

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 3

1

3

f x y x y x y x y x y x y x y

y

f x y x x x y

y

Ví dụ:

Dạng toàn phương

1 1

n m

ij i j

i j

f x y a x y xAy q x f x x xAx

= =

Định nghĩa: Cho là dạng song tuyến

tính đối xứng Khi đó q(x)=f(x,x) được gọi là dạng toàn phương

Nhận xét:

: n n

f  ⎯⎯ →

1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 10

Dạng chính tắc của dạng toàn phương

• Giả sử S là một cơ sở của V sao cho dạng toàn

phương q(x) có dạng:

1

2

0

0

T

n







=

nghĩa là nếu thì

1

[ ]S

n

u x

u

 

 

=  

 

 

1 1 2 2

q x =  u +  u + +  u

Đây được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương

Nhận xét

Nếu dạng toàn phương q(x1,x2, ,xn) có dạng chính tắc là

và nếu với P là ma trận vuông khả nghịch cấp n

thì tập hợp các vector cột của ma trận P chính là cơ sở S

trong biểu diễn:

2 2 2

1 1 2 2

q x =  u +  u + +  u

P

  =  

0

0

u u

u







1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 13

1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 14

Suy ra là cơ sở của R3 ứng với dạng chính tắc 2 2 2

( ') ( ') 2( ')

Xác định cơ sở ứng với dạng toàn phương

1

−

−

Cách 2:

( ') ( ') 2( ')

Suy ra là cơ sở của R3 ứng với dạng chính tắc

1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 16

là cơ sở của R3

ứng với dạng chính tắc 2 2 2

( , , ) 4( ") ( ") 3( ")

Đưa DTP về DCT bằng phép biến đổi trực giao

1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 18