Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Dạng toàn phương trên RN

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Dạng toàn phương trên ({R^N}). Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: dạng toàn phương; dạng chính tắc của dạng toàn phương; dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương; dạng toàn phương có dấu xác định;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!

Trang 1

Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân

Chương IV

DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRÊN RN

§1 DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Trang 2

Chương IV

DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRÊN RN

§1 DẠNG TOÀN PHƯƠNG

1 Các khái niệm.

Definition 1.1 (Dạng toàn phương)

Trong không gian vectơ Rn cho cơ sở β = {e1, e2, , en} Với mỗivectơ x ∈ Rn ta có (x)β = (x1, x2, , xn) Một ánh xạ q : Rn → R

xác định bởi

Trang 3

Trang 4

Definition 1.2 (Ma trận của dạng toàn phương)

Cho dạng toàn phương (1.1), được xác định như trong Định nghĩa1.1 Ma trận A = (aij)n được xác định bởi

Trang 5

2bij nếu i 6= j

(1.2)

được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1)

Trang 6

2bij nếu i 6= j

(1.2)

được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1)

Nhận xét:

Trang 7

Trang 8

Trang 9

(3) q : Rn → R là một dạng toàn phương khác hằng không trên

Rn khi và chỉ khi q(x1, x2, , xn) là một đa thức đẳng cấp bậc hai

Trang 10

(3) q : Rn → R là một dạng toàn phương khác hằng không trên

Rn khi và chỉ khi q(x1, x2, , xn) là một đa thức đẳng cấp bậc haicủa n biến x1, x2, , xn

(4) Nếu cho một dạng toàn phương mà không nhắc tới cơ sở thì

Trang 11

ta ngầm hiểu dạng toàn phương đó được cho trong cơ sở chínhtắc của Rn

Trang 12

Example 1.1 Cho ánh xạ q : R3 → R xác định bởiq(x, y, z) = 3x2 + 4xy − 2xz + y2 + 6yz − 2z2, ∀(x, y, z) ∈ R3

Vì q(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc hai của ba biến thực

x, y, z nên q là một dạng toàn phương 3 biến thực Theo côngthức (1.2) ta có ma trận của q trong cơ sở chính tắc ζ(3) của R3 là

Trang 13

Example 1.1 Cho ánh xạ q : R3 → R xác định bởiq(x, y, z) = 3x2 + 4xy − 2xz + y2 + 6yz − 2z2, ∀(x, y, z) ∈ R3

Vì q(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc hai của ba biến thực

x, y, z nên q là một dạng toàn phương 3 biến thực Theo côngthức (1.2) ta có ma trận của q trong cơ sở chính tắc ζ(3) của R3 là

Example 1.2 Ánh xạ q : R3 → R, (x, y, z) 7→ xy − xz + yz, cũng

Trang 14

Trang 15

Example 1.3 Ánh xạ f : R3 → R, (x, y, z) 7→ x2 + y − z2,không là một dạng toàn phương ba biến thực vì f (x, y, z) khôngphải là đa thức đẳng cấp bậc hai của ba biến x, y, z Cụ thể nóchứa đơn thức bậc nhất y

Trang 16

2 Sự thay đổi của ma trận và biểu thức toạ độ khi đổi cơ sở.

Trang 17

Giả sử trong không gian vectơ Rn đã cho hai cơ sở

β = {e1, e2, , en} và β0 = {e01, e02, , e0n}, q là một dạng toànphương trên Rn Gọi A, A0 tương ứng là ma trận của q trong β và

β0, C là ma trận chuyể cơ sở từ β sang β0 Công thức đổi toạ độ

từ β sang β0 cho ta[x]β = C[x]β0 ⇒ (x)β = [x]Tβ = (C[x]β0)T = (x)β0CT , ∀x ∈ Rn

Trang 18

từ β sang β0 cho ta[x]β = C[x]β0 ⇒ (x)β = [x]Tβ = (C[x]β0)T = (x)β0CT , ∀x ∈ Rn.Suy ra

q(x) = (x)βA[x]β = (x)β0(CT AC)[x]β0 = (x)β0A0[x]β0

Suy ra A và A0 tương đương với nhau và rankA = rankA0

Trang 19

từ β sang β0 cho ta[x]β = C[x]β0 ⇒ (x)β = [x]Tβ = (C[x]β0)T = (x)β0CT , ∀x ∈ Rn.Suy ra

q(x) = (x)βA[x]β = (x)β0(CT AC)[x]β0 = (x)β0A0[x]β0

Trang 20

Example 2.1 Cho dạng toàn phương ba biến thực

q(x, y, z) = 3x2+12xy −6xz +8y2−28yz −12z2, ∀(x, y, z) ∈ R3.a) Lập ma trận và biểu thức toạ độ của q trong cơ sở

β1 = {(1, 1, 0)(0, 1, 1)(1, 0, 1)};

b) Lập ma trận và biểu thức toạ độ của q trong cơ sở

β2 = {(1, 0, 0), (−2, 1, 0), (5, −2, 1)}

Trang 21

Trang 22

Trang 23

a) Ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc sang β1 là

Trang 24

Trang 25

b) Hoàn toàn tương tự ta có biểu thức toạ độ trong β2 là

q(u) = (u)β2A2[u]β2 = 3x22 − 4y22 + z22

Trang 26

3 Hạng - Tính suy biến và không suy biến.

Trang 27

Definition 3.1 Giả sử q là một dạng toàn phương trên Rn Khi đó

ma trận của q trong các cơ sở khac nhau của Rn đều tươngđương với nhau, nói riêng, hạng của chúng bằng nhau Hạng

chung đó gọi là hạng của dạng toàn phương q và kí hiệu là

rank(q)

Trang 28

Definition 3.1 Giả sử q là một dạng toàn phương trên Rn Khi đó

ma trận của q trong các cơ sở khac nhau của Rn đều tươngđương với nhau, nói riêng, hạng của chúng bằng nhau Hạng

chung đó gọi là hạng của dạng toàn phương q và kí hiệu là

rank(q)

q được gọi là không suy biến nếu rankq = n, ngược lại q đượcgọi là suy biến

Trang 29

Example 3.1 Tìm hạng và xét tính suy biến hay không suy biến

của các dạng toàn phương 3 biến thực sau:

(1) q1(x, y, z) = 2x2 − 3y2 + 5z2;(2) q2(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2λyz;(3) q3(x, y, z) = x2 + 2xy + 6xz + 2y2 + 8yz + λz2;với mọi (x, y, z) ∈ R3, λ ∈ R

Trang 30

Giải: Ma trận của q1, q2, q3 trong cơ sở chính tắc của R3 lần lượt là

Trang 31

(1) Vì detA1 = −30 6= 0 nên rankq1 = 3 và q1 không suy biến;

Trang 32

(1) Vì detA1 = −30 6= 0 nên rankq1 = 3 và q1 không suy biến;

(2) Vì detA2 = 2λ và A2 có một định thức con cấp 2 khác không

Trang 33

0 1

1 0

... class="page_container" data-page="48">

2 Phương pháp đưa dạng toàn phương dạng tắc.

Giả sử cho dạng toàn phương. .. class="page_container" data-page="47">

2 Phương pháp đưa dạng tồn phương dạng tắc.

Giả sử cho dạng toàn phương q... class="page_container" data-page="37">

§2 : DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG

1 Dạng tắc dạng tồn phương.

Định dạng
Số trang	131
Dung lượng	311,77 KB