Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Dạng toàn phương

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Dạng toàn phương. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; phép biến đổi tuyến tính; đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc; dấu của dạng toàn phương; các dạng bài tập chính;... Mời các bạn cùng tham khảo!

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Định nghĩa 1: Một tổng có dạng

𝐹 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑥𝑗 (1)

𝑛

𝑖,𝑗 =1Trong đó 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛 , 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, gọi là một dạng toàn phương của các biến

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 .

1.1 Các khái niệm

Ma trận của dạng toàn phương (1) là

Ví dụ 1: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:

a) 𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥12 + 6𝑥1𝑥2 + 3𝑥22

b) 𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = −𝑥12 + 2𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥22 + 3𝑥32

Định nghĩa 2:

 Hạng của DTP:Hạng của dạng toàn phương là hạng

của ma trận của dạng toàn phương đó

 Dạng toàn phương được gọi là suy biến nếu

hay

 Dạng toàn phương được gọi là không suy biến nếu

𝑟 𝐴 = 𝑛

hay

 Dạng toàn phương chuẩn tắc: Dạng toàn

phương chính tắc được gọi là dạng toàn phương chuẩn tắc nếu chỉ nhận các giá trị

1.2 Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc

Ví dụ 2:

𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥12 − 8𝑥22 + 𝑥32 là dạng toàn phương chính tắc

Ma trận: 𝐴 = 10 −8 00 0

0 0 1

𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥12 − 𝑥22 là dạng toàn phương chuẩn tắc

Ma trận: 𝐴 = 10 −1 00 0

0 0 0

1.3 Phép biến đổi tuyến tính

2.1 Phương pháp giá trị riêng

Xét dạng toàn phương (1)

Định thức gọi là phương

trình đặc trưng (ẩn k) của (1)

Định lý: Giả sử là các nghiệm của phương trình đặc trưng của dạng toàn phương (1) (kể cả nghiệm 0 và nghiệm bội) Khi đó, dạng toàn phương chính tắc của (1)

là

Ví dụ 4: Tìm các giá trị riêng và đưa dạng toàn

phương sau về dạng toàn phương chính tắc

𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 3𝑥12 + 𝑥32 + 2𝑥2𝑥3 + 4𝑥3𝑥4

Định lý Jacobi: Nếu ma trận của một DTP có

thì DTP chính tắc của nó là n i

D i  0   1 , 2 ,

 Định lý Jacobi mở rộng:

Nếu r(A)=k và

0

,0,

Ví dụ 5: Đƣa DTP sau về DTP chính tắc

8,

3,

D

0,

1,

D

Định luật quán tính

Số các hệ số mang dấu dương, số hệ số mang dấu

âm và số hệ số bằng không của dạng toàn phương chính tắc nhận được là không đổi khi ta đưa một DTP về DTP chính tắc bằng các phương pháp khác nhau

Nhận xét:

- Phương pháp lagrang tuy chậm nhưng chắc chắn đưa được

dạng toàn phương về dạng chính tắc

- Trong quá trình biến đổi phải chú ý ở mỗi bước biến đổi tất

cả các tích chéo của 1 biến nào đó sẽ biến mất

- Trong quá trình biến đổi chú ý giữ nguyên số biến

Ví dụ 6: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng

toàn phương chính tắc bằng phương pháp Largange

𝑎)𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 3𝑥12 + 2𝑥1𝑥2 + 𝑥22 + 3𝑥32

b) 𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 2𝑥1𝑥2 − 4𝑥2𝑥3 + 6𝑥1𝑥3

𝑐)𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥12 − 2𝑥22 + 𝑥32 + 2𝑥1𝑥2 +4𝑥1𝑥3 + 2𝑥2𝑥3

3.DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

3.1 Định nghĩa: dạng toàn phương

𝐹 𝑋 = 𝑋′𝐴𝑋 (2) được gọi là:

 Xác định dương nếu

 Xác định âm nếu

 Nửa xác định dương nếu

và tồn tại sao cho F(X) = 0

 Nửa xác định âm nếu và tồn tại sao cho F(X) = 0

 Đổi dấu nếu nó nhận cả giá trị âm và giá trị dương (tức tồn tại sao cho

F(X)F(Y)<0)

 Nửa xác định âm nếu 𝑘𝑖 ≤ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛

 Đổi dấu nếu

 Định lý: Các phép biến đổi tuyến tính không

suy biến không làm thay đổi tính xác định dấu của dạng toàn phương

 Ví dụ 7: xét tính xác định dấu của các DTP

trong các ví dụ 2, ví dụ 3

3.2 Định lý Sylverster

Dạng toàn phương là

 Xác định âm khi và chỉ khi mọi định

thức con chính đầu cấp lẻ đều âm và cấp

chẵn đều dương

 Xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con chính đầu của nó đều dương

 4 Các dạng bài tập chính

âm, nửa xác định dương, nửa xác định âm