CHUONG 5 KHONG GIAN EUCLIDE VA DANG TOAN PHUONG (LOI GIAI)

CHUONG 5 KHONG GIAN EUCLIDE VA DANG TOAN PHUONG (LOI GIAI) tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài...

Bài tập

1 Trong không gian 3 cho cơ sở e1 =(1,2,3 ,e) 2 =(0,2,0 ,e) 3 = (0,0,3) Hãy trực chuẩn hóa cơ sở này

ĐS: Dùng phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt, ta xây dựng cơ sở trực giao

( )v xác định bởi k v1 = e1 và k k k 1 k i i

i 1 i i

e , v

v , v

−

=

= − ∑ , với k 2,3, =

Ta có v1 = e1 =(1,2,3); 2 1 ( ) (2 ) ( 2 10 6)

1 1

e , v

v , v

e , v e , v

v , v v , v

Suy ra cơ sở trực chuẩn ( )uk , với

1

1

u = = 1,2,3 ;

2

2

2 v 140 7 7 7 2 35

u = = − , ,− = −2,10, 6−

3

u = = − ,0,− = −1,0, 3−

2 Trong không gian 4 cho cơ sở e1 =(1,0,1,2), e2 = −( 1,0,1,2), e3 =(0,0,2,1),

4

e = 0,1,1,1 Hãy trực chuẩn hóa cơ sở này

ĐS: v1 = e1 =(1,0,1,2); 2 1 ( ) (4 ) ( 5 1 2)

1 1

e , v

v , v

22 1

15 15

e , v e , v

v , v v , v

0,0, ,

758

4 80 80

e , v e , v e , v

v , v v , v v , v

0,1,1,1 1,0,1,2 5,0,1,2 0,0,22, 1

,1, ,

Suy ra cơ sở trực chuẩn ( )u , với k

1

1

v 1

u = = 1,0,1,2 ;

v

( ) ( )

3

3

u = = 0,0, ,− = 0,0,22, 1−

4

4 v 575.406 4 80 80 575.406

3 Tìm ma trận trực giao đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc

a) 5x12 +9x22 +9x23 −12x x1 2 −6x x1 3

b) 5x12 +x22 −x23 +2x x1 2 −2x x1 3 −4x x2 3

c) 3x12 +3x22 +3x23 +2x x1 2 −4x x1 3 +4x x2 3

3

x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

2

2

= − λ ⎣ − λ − λ − ⎦ = − λ λ − λ

cho các trị riêng λ = 0, λ = 9 và λ =14

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

6 5

2 : 2 1 9 18 3 : 3 2 2

18 36

5 5

cho nghiệm (3m,2m, m) và vectơ riêng (3,2,1)

9

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

9 4

3 : 3 1

9 9

2 4

=

= −

cho nghiệm (0, m, 2m− ) và vectơ riêng (0,1, 2− )

14

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 5 1 5

3 : 3 3 1

3 : 3 2

2 : 2

= −

= −

= −

=

∼

3m,2m, m

3,2,1

− hay (−5,6,3)

Với cơ sở {u1 =(3,2,1 ,u) 2 =(0,1, 2 ,u− ) 3 = −( 5,6,3) } Chéo hóa cơ sở này, ta nhận được cơ sở trực chuẩn các vectơ riêng và suy ra ma trận trực giao đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

3

x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜− − − ⎟

= −λ + λ + λ −

3

x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

3

4 Dùng thuật toán Lagrange, đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc

a) x12 +2x22 +2x x1 2 +4x x2 3

b) x12 +4x22 + x23 −4x x1 2 +2x x2 3

c) x12 + x22 +x23 −2x x1 2 +2x x1 3 +2x x2 3

d) 2x12 + x22 +3x23 −4x x1 2 −4x x2 3

e) x x1 2 +3x x1 3 −8x x2 3

f) −5x x1 2 +4x x1 3 −2x x2 3

ĐS: a)

2 2

2 2 2 2 2

x +2x +2x x +4x x = y + y −4y

b)

2 2

Đặt y1 = x1 + x2; y2 = x2; y3 = x2 +x3 Ta được dạng chính tắc

x +4x +x −4x x +2x x = y −y + y

c)

2

Đặt x2′ =x2 +x3; x3′ = x2 −x3; Ta có x x 2 3

x = ′+ ′ ; x x 2 3

x = ′− ′ và

1

Đặt y1 = x1 −x2 +x3; y2 = x′2 = x2 +x3; y3 = x′3 = x2 −x3 Ta được dạng chính tắc

x +x + x −2x x +2x x +2x x = y + y − y

d)

Đặt y1 = x1 −x2 +x3; y2 = x2 +2x3; y3 = x3 Ta được dạng chính tắc

2x + x +3x −4x x −4x x =2y −y +7y

e) Đặt x1′ = x1 +x2; x′ =2 x1 −x2; Ta có x x 1 2

x = ′+ ′ ; x x 1 2

x = ′− ′ và

( ) ( )

1 2 2 1 3 2 2 3 1 3 2 3

1 2 2 1 3 2 2 3

1 2 1 3 2 2 2 3

1 4 3 16 3 2 2 2 3

2 25

2 3 16 3

Đặt y1 = x1′ − 54x3 = x1 +x2 − 54x3; 11 11

y = x′ − x = x −x − x ; y3 = x3 Ta được dạng chính tắc

2 2 96 2

1 2 1 3 2 3 1 2 16 3

x x +3x x −8x x = y −y + y

f) Đặt x1′ = x1 +x2; x′ =2 x1 −x2; Ta có x x 1 2

x = ′+ ′ ; x x 1 2

x = ′− ′ và

1 10 3 100 3 2 2 3

2 1

1 10 3

′

2 5 2 3 20 3

1

1 10 3 2 10 3 100 3 16 3

1 1 10 3 1 2 10 3

2 2 10 3 1 2 10 3

y = x′ + x = x −x + x ; y3 = x3 Ta được dạng chính tắc

2 2 111 2