Bài giảng hàm số mũ và logarit

Biên soạn Trịnh Đình Triển – Khóa học VD VDC LIMB TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1 Công thức lũy thừa và logarit LŨY THỪA 1 LŨY THỪA ; ,a R n m Z  ta có thua so 1 ; 1;n m m n a a a a a a       + T[.]

TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1 Công thức lũy thừa và logarit

LŨY THỪA

1 LŨY THỪA: aR n m; , Z ta có:

thua so

1

m n

a



     

+ Tính chất lũy thừa:

 

;

m

m n

a

b

  

   

 

;



2 CĂN THỨC :n b a a nb

.

;

m n

n m n n

n

b

LOGARIT

1 LOGARIT:

Định nghĩa : a   b  loga b (a ,b0 ;a 1)

Tính chất : Với 0a b c, , 1 ta có:

log log

log

log 1

c a

a

c b

a a

b

c

b b

a

a

c

c

 

 

 









 

2 CHÚ Ý:

 Logarit Nepe: lnxloge x

Trong đó: lim 1 1 2.71

n

n

e

n



 

    

 

 Logarit thập phân : log10xlogx

2 Hàm số mũ và hàm số logarit

HÀM SỐ MŨ

1 Hàm số ya x với a0 ;a1 được gọi là hàm

số mũ Hàm này có TXD : DR

2 Đao hàm:

 e x  e x;  a x  a xln ;a  a n  a ulna u 

3 Khảo sát: Như KSHS

Đồ thị luôn đi qua: A(0;1) và B(1; )a

HÀM SỐ LOGARIT

1 Hàm số yloga x với a0 ;a1 gọi là hàm

số logarit TXD :D[0;)

Hàm số yloga f x( ) có nghĩa  f x( )0

2 Đao hàm:

u





3 Khảo sát: Như KSHS Chú ý:

0

1: lim ; lim

x x





    ;

0

x x





     

Đồ thị luôn đi qua: A(1;0), ( ;1)B a

3 Phương trình mũ và phương trình logarit

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Phương trình cơ bản

Nếu b0 thì:

* a x   b x loga b

* Tổng quát: a f x( ) b f x( )loga b

Nếu b0 thì các phương trình trên vô nghiệm

2 Cách giải các phương trình đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số:

a a  x b Khi a là hằng số , a 1 ta có :

Tồng quát: a f x( )a g x( ) f x( )g x( )

b) Lấy logarit hai vế hoặc đặt ẩn phụ

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Phương trình cơ bản

* loga x  b x a a b; 0;a1

* Tồng quát: loga f x( ) b f x( )a b

2 Cách giải các phương trình đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số:

loga xloga b x b

Tổng quát:

( ) ( )

( ) 0

g x













b) Lấy logarit hai vế hoặc đặt ẩn phụ

4 Bất phương trình mũ và logarit

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Bpt mũ cơ bản:

 Dạng: a xb a; xb a; xb a; xb;

 Xét bpt: x

a b :

*Nếu b0 bpt có tập nghiệm là : S R

log khi 0 1

a x

a





Tồng quát:

( ) log khi 0 1

a

f x

a





2 Bpt mũ đơn giản:

a Đưa về cùng co số:

khi 0 1



     



*TQ: ( ) ( ) ( ) ( ) khi 1

( ) ( ) khi 0 1





b Đặt ẩn phụ: Đặt a x  t 0, đưa về bất

phương trình đại số hoặc logarit hai vế

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Bpt logarit cơ bản:

+ Dạng: loga xb;loga xb;loga xb;loga xb

 Xét bpt: loga xb

khi 1 log

b

  



Tồng quát:

( ) khi 1 log ( )

b

  



2 Bpt logarit đơn giản:

a Đưa về cùng cơ số



      



* Tổng quát

 

 

l

1 og

0

0

log

khi a

g x

f

f x

x

g x

 





 

 















 

 

l

1

0

log

khi a

f x

g

f x

x

g x

 





 

 















b Đặt ẩn phụ Đặt loga xt, đưa về bất phưong trình đại số hoặc logarit hai vế

5 Một vài lưu ý quan trọng về lũy thừa và logarit

* Lưu ý

1 Phương trình mũ

Khi cơ số a có chứa ẩn (aa x( )) thì :

* ( ) ( )

( 1) [ ( ) ( )] 0

f x g x

Một số trường hợp đặc biệt phải xét cả a0

2 Bất phương trình mũ

* a f x( )a g x( )(a1)[ ( )f x g x( )] 0

* a f x( )a g x( )(a1)[ ( )f x g x( )] 0

Với aconst Trường hợp aa x( )( chứa ẩn)

nói chung phức tạp và rườm rà, hầu như không ra

*Lưu ý

Khi cơ số a có chứa ẩn (aa x( )) thì

1 Phương trình logarit

( ) ( ) 0 log ( ) log

0 ; 1

( )

a

a

 



 





2 Bất phương trình logarit

( 1)[ ( ) ( )] 0 log ( ) log ( )

( ) 0; ( ) 0;a 0



 ( 1)[ ( ) ( )] 0 log ( ) log ( )

( ) 0; ( ) 0; 0





LÝ THUYẾT NÂNG CAO I) Các kĩ thuật thường dùng

1 Các bất đẳng thức thường dùng

a) Bất đẳng thức bernoulies

Cho các số thực x r; thỏa mãn x 1 khi đó ta có bất đẳng thức sau :

 (1x)r 1 rx nếu r0 hoặc r1 Dấu " " xẩy ra  x 0 hoặc r0 ,r1

 (1x)r 1 rx nếu 0 r 1 Dấu " " xẩy ra  x 0 hoặc r0 ,r1

b) Bất đẳng thức liên quan hàm mũ và logarit

Ta có một số các bất đẳng thức hay dùng sau đây :

 e x  1 x  x R Dấu " " xẩy ra  x 0 (*)

Hệ quả 1:

2

n

n

      x 0 và nN

Hệ quả 2:

x



         

Chẳng hạn: n1ta có:

x

        

x

      hay ln( 1)

1

x

x

x x

e    x e   x

Hệ quả 4: e xex x R và e1 x 1 x 0

x

   

2 Hàm đặc trưng và các kĩ thuật liên quan

Lý thuyết về kĩ thuật này rất đơn giản nhưng bài tập thì rất đa dạng và khó Bản chất của nó là từ biểu thức gốc đã cho ta biến đổi về phương trình , bất phương trình có dạng f u( )f v( ) hoặc f(u) f v( ) Sau đó khảo sát hàm 1 biến f x( ) và chứng minh f(x) luôn đơn điệu trên khoảng giá trị của u v; từ đó suy ra uv

hoặc uv ; ….Ta đến với các ví dụ sau :

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn 1 x 2020 và xx29y3y ?

A 2020 B 1010 C 6 D 7

Giải:

Phương trình  x x23y9y Hàm đặc trưng : 2

( )

f t  t t có f t'( ) 1 2    t 0 t 0 nên đồng biến trên miền (0;) mà x0 ; 3y0 và ( )f x  f(3 )y suy ra x3y Mà :

3

1 x 2020 1 3y2020  0 y log 2020 , do y  Z y 0;1; ;6 , chọn D

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho với mỗi x đều tồn tại số thực y để 2.2x x sin y2 2cos y2 ?

A 3 B 2 C 1 D 0

Giải:

2x x 2cos y sin y 2x (x 1) 2cos y cos y

Dễ thấy f t'( )2 ln 2 2t    0 t R nên hàm đồng biến trên R Mà ta có :

f x  f y   x y Lại có: 2  

0cos ( ) 1y    x 1;0 , chọn B

Tuy nhiên trong thực tế không phải lúc nào cũng đưa về dạng hàm đặc trưng được ngay hoặc thậm chí không thể đưa được , tuy nhiên ta lại có thể biến đổi “ gần giống” vậy để ra được kết quả

Xét các ví dụ sau đây là làm rõ vấn đề này :

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số thực m  5;5 thỏa mãn 4mZ để phương trình :

x m x  m x x  có đúng 1 nghiệm nghiệm thực ?

A 24 B 25 C 26 D 27

Giải:

0

t x    m x t m Phương trình  (t 2)(t2 1) x3x22

              (*)

Phân tích : Hàm đặt trưng f t( ) t3 2t2t có f t'( )3t2  4t 1 (3t1)(t 1) chưa biết dấu

Vì t0 còn x   1 m 1 chưa xác định miền Ta không thể dùng hàm đặc trưng khi hai biến

không cùng miền giá trị hoặc tiêu chuẩn đánh giá Vì vậy bài này ta sẽ xử lý theo cách khác :

(*) t 2t  t a 2a   a (t a t)  ta a 2(ta) 1 0

Ta có :

2

t  ta a  ta  a a t  t a     

(*)  t a x    m x 1 m x 3x1 (x1) Từ đó kẻ bảng biến thiên dễ dàng suy ra

Để phương trình có đúng 1 nghiệm thực thì 4m 5 hoặc 4m 4 tổng 25 giá trị , chọn B

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên a0;20 để phương trình ( alogx 3)loga   x 3 vô nghiệm x ?

A 8 B 9 C 10 D 11

Giải:

Nếu chỉ dùng biến đổi thông thường chúng ta khó mà mò ra hàm đặc trưng của bài này Đối với dạng này có một hướng làm rất đặc thù như sau :

 Đặt alogx 3 t sử dụng công thức logb c logb a

a c thì alogx  3 t xloga  3 t xloga t 3 Với a0 thì vế trái không xác định nên phương trình vô nghiệm , được Xét khi a1 ta có :

Kết hợp đề bài cho , ta có hệ :

log

log

3

3

a

a

  



 

Hàm đặc trưng log

f t t  t có f t'( )(log )a tloga1 1 0  a 1;t0 Do đó :

          Khảo sát g x( ) trên 0;

ta suy ra g x( )loga vô nghiệm  0 loga   1 1 a 10 Kết hợp a0 ở trên , chọn D

Ví dụ 5 Cho phương trình : 3 2 2

3

log (a b  ) (a b) 3(a b ) 3 ab a b(   1) 1 Có bao nhiêu cặp số tự nhiên ( ; ) a b thỏa mãn phương trình đã cho ?

A 4 B 3 C 2 D vô số

Giải :

Ta tìm cách đưa về ẩn a b như sau : PTlog (3 a b  ) (a b)33(a b )26ab3ab a b(   1) 1

3

                  

  Hiển nhiên để có nghiệm thì a2b20 và a2ab b 20 Tới đây ta có thể đoán ngay ra a b 3

Tuy nhiên không thể tách thành hàm đặc trưng được mà phải đánh giá :

3

3



       

 

  Dấu " "   a b 3 do đó PT  a b 3 , có 4 cặp Chọn A Nhận xét: Đây là dạng toán đưa về : f(u) f v( )k u v( ; ).g u( )g v( )0 Trong đó k u v( ; ) là hàm vẫn phụ thuộc vào u v; nhưng luôn dương hoặc luôn âm còn và k u v( ; ).f(u)f v( )  g u( )g v( )0 Tức là : f(u)f v( )k u v( ; ).g u( )g v( ) 0 f u( )f v( ) và g u( )g v( ) Tới đây thường uv !!

II) Bài tập vận dụng cao :

Câu 1: Cho hàm số ( ) log2 1 2 17

      

      ?

A 2019

2

T  B T2019 C T2018 D T1019

Câu 2: Cho x y; là các số thực dương thỏa mãn log25 log15 log9

2

y

 

Với a b, là các số nguyên dương , tính a b ?

A a b 14 B a b 3 C a b 21 D a b 34

Câu 3: Cho hai số thực dương a b; thỏa mãn 4loga logblog4alog b108 và bốn số

4

4loga , logb , log a , log b108 là các số nguyên dương , khi đó tích ab bằng ?

A 10125 B 10320 C 10 28 D 10300

Câu 4: Biết alog 10 ;30 blog 15030 và 2000 1 1 1

log 15000 x a y b z

 



  với x y1, 1, z1,x2,y2, z là các 2

số nguyên Tính 1

2

x S x

 ?

2

S B S2 C 2

3

S D S1

Câu 5: Tìm m để phương trình log (33 x 2 )m log (35 xm2) có nghiệm ?

A mR B m 1 C m0 D Đáp án khác

Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn log (2 x24y2)log (3 x4 )y ?

A 3 B Vô số C 2 D 4

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại các số thực , y z thỏa mãn điều kiện

log (xy)log x y z ?

A 3 B 5 C 2 D 4

Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên dương z sao cho tồn tại các số thực x,y thỏa mãn :

A 210 B 211 C 212 D 213

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :

4

3

       

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 10: Cho phương trình : 9 4  

x

m



Biết phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực x Gọi T là tổng tất cả các các giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên , T thuộc khoảng nào dưới đây ?

A T2;3 B T0;1 C T 1; 2 D T3

Câu 11 : Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; )a b thỏa mãn 0a b, 20 sao cho đồ thị hai hàm số

x

y

  và y 1x 1

  cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt :

A 340 B 342 C 361 D 324

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của y để phương trình 273x2xy (xy1).279x có nghiệm 1;3

3

 

  ?

A 12 B 27 C 11 D 9

Câu 13: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( ; )m n sao cho m n 14 và ứng với mỗi cặp ( , )m n tồn tại đúng ba số thực a  1;1 thỏa mãn 2a m nlna a21

A 14 B 12 C 11 D 13

Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất 4 số nguyên b  12;12

thỏa mãn 4a2b3b a 65 ?

A 4 B 6 C 5 D 7

Câu 15: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn

2

log (x y)log (xy) ?

A 45 B 89 C 90 D 46

Câu 16 : Có bao nhiêu giá trị nguyên của xsao cho ứng với mỗi xthì mọi giá trị thực của y đều thỏa mãn :

log y 2xy2x   1 1 log y 2y4 log y 4 ?

A 4 B 7 C 5 D 6

Câu 17: Có bao nhiêu số nguyên a2;2021 để tồn tại đúng 5 số nguyên 5x sao cho 1 2 1

2

a

a

A 1892 B 125 C 127 D 1893

Câu 18: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất ?

m

A 4 B 1 C 2 D 3

Câu 19: Có bao nhiêu số nguyên m2021 để có nhiều hơn một cặp ( ; )x y thỏa mãn 4x3y 1 0

và 2 2

4

logx  y (4x2ym) 1 ?

A 2017 B 2019 C 2020 D 2022

Câu 20: Có bao nhiêu số nguyên b để với mỗi b đều tồn tại đúng hai số nguyên a thỏa mãn

bất phương trình :

2

2

1

a

   

A 10 B 4 C 6 D 8

Câu 21: Cho các số thực dương x y thỏa mãn , 3(ex 1) 1 ln(2 )

 Giá trị của biểu thức:

P x y nằm trong khoảng nào ?

A (4;5) B 1;3

2

 

 

  C  0;1 D 3; 2

2

 

 

 

Câu 22: cho các số thực dương x;y thỏa mãn log2021 1 12 1 1 log2021 1 22 1

2

y

Giá trị nhỏ nhất của P x y thuộc khoảng ?

A (40;41) B (46;47) C (42;43) D (44;45)

Câu 23: Xét tất cả các số thực ,x y sao cho 9 2 6 log 2 3

8y a x a với mọi số thực dương a Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px2y26x8y bằng ?

A 25 B 6 C 39 D 21

Câu 24: Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn 2x2 3y2 5z2 6 Biết rằng tồn tại giá trị lớn nhất

của P  x y z là P Giá trị o P nằm trong khoảng nào ? o

A [0;2] B 2;5

2

 

 

  C

5

;3 2

 



  D 3;

Câu 25: Cho hai số thực a b; thỏa mãn 1 1 1 1

e

      

    với mọi k là số nguyên dương Biết giá trị nhỏ nhất của |a b | có dạng

ln

q  n với m n p q, , , Z Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A m n  p q B mqnp C m  p n q D 2 p  m n q