bien doi va tinh gia tri bieu thuc mu logarit bieu dien logarit qua cac logarit co so khac nhau

BIẾN ĐỔI & TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ - LÔGARIT BIỂU DIỄN LÔGARIT QUA CÁC LÔGARIT CƠ SỐ KHÁC NHAU PHƯƠNG PHÁP Muốn rút gọn các biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tính logar

Trang 1

BIẾN ĐỔI & TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ - LÔGARIT BIỂU DIỄN LÔGARIT QUA CÁC LÔGARIT CƠ SỐ KHÁC NHAU

PHƯƠNG PHÁP Muốn rút gọn các biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit Ngoài ra, ta còn cần sử dụng các công thức lũy thừa đã học

 a01,a0 

  1

a  a

  a 1

a







  

   

a



 







      a  b   a  

      a  b   a b 

  

b b

b

 

 

  a   a , *

  a   a 

  a    b  logab

 log 1 0, 0a     a 1

 logaa1, 0   a 1

 logaa , 0   a 1

 loga a 1, 0 a 1



 logab .log , ,ab a b 0,a 1

 loga b 1.logab





 loga b .logab





 logablogacloga  bc , b c, 0,a 1

 logab logac loga b , b c, 0,a 1

c

 

 log 1

log a

b

a

 , a b, 0,a 1

Câu 1 Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn alog 7 3 27, blog 11 7 49, clog 25 11  11.Giá trị của biểu

thức T alog 723 blog 1127 clog 25 112 bằng

Lời giải Chọn B

Có   3   7   11   3   7   11

log 25 log 7 log 11 log 25 log 7 log 11

Áp dụng alogab , ta được b

3

7

11 11

11

3 log 7

log 7 3 log 7 3

2 log 11

log 11 2 log 11 2

log 25

log 25 log 25









 

 Vậy T343 121 5 469  

Câu 2 Cho , , a b c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a25b10c Tính T c c

a b

 

10

2

Lời giải Chọn C

Trang 2

Giả sử

4 25 10

log







    

 



Do , , a b c là các số thực khác 0 nên t0,t 1

10 10

log log log 4 log 25

log 4 log 25 log log log 10 log 10

c c T

log 4.25 log 100 2

Câu 3 Cho các số thực dương x y z, , theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực

dương a1 thì log , logax a y, log3a z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Giá trị biểu thức

3x 7y 2020z P

   bằng

A 2029 B 2030 C 2031 D 2033

Theo giả thiết ta có

  3

2

loga log a 2 log a loga loga

xz y

x y z

 





3 7 2020

3 7 2020 2030

P

Câu 4 Cho xlog 32 , ylog 3372 Từ đó hãy tính giá trị của biểu thức

ln ln ln ln

ln1348 P

2

x y P

y

 



1 2

x y P

y

 

2

x y P

y



2

x y P

y

 

 



Lời giải Chọn A

P

2

2 2

1

ln ln 2022 log 2022 log 2.3.337 log 2 log 3 log 337 1

ln1348 ln1348 log 1348 log 2 337 log 2 log 337 2

x y y

Câu 5 Cho ,a b là hai số thực dương thỏa mãn: logb 1011 và log2a4log2b4log loga b Giá

trị của biểu thức

3033 log log

2021 log 9

L

a b



  bằng

2

4

2

L Lời giải

Chọn D

Ta có log2a4 log2b4 log loga b

log2a4log2b4log loga b0  2 2

loga 2logb 0 loga 2logb a b

Trang 3

Vậy

2

3033 log log 3033 log log

2021 log 9 2021 log 9

L

3 1011 log

2022 2log 2 1011 log 2

b b



Câu 6 Cho x y m, , là ba số thực dương khác 1 và x y thỏa mãn log 3 1 2 1 2

m

x y

Khi đó biểu thức

2

4

x xy y P

x y



 có giá trị bằng:

A 25

8

100

50

5

P Lời giải

Chọn C

Ta có: log 3 1 2 1 2

m

x y

4

      x210xy9y2 0 x y x  9y 0

9

x y

  dox y

Như vậy:

P

Câu 7 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2 log 2a 3 log3blog6a b Tính giá trị của 

1 1

a b

Đặt log a x2  , log b3  Ta có y a2 ,x b3y và 2      ; x 3 y y x 1

6

log a b     2 x a b 6  x 36.6x

Khi đó 1 1 36.6 36.61 108.6 108

2 3 2 3 2 3

x y x x x x

a b



Câu 8 Cho log 5 a27  , log 7 b3  , log 3 c2  Tính log 356 theo a, b, c

A 3 

1

a b c c



3 

1

a b c b



3 

1

a b c a



3 

1

b a c c



 Lời giải

Chọn C

Theo giả thiết ta có log 527 1log 53 log 5 33

3

Ta lại có log 5 log 3 log 5 3ac2  2  3  và log 7 log 3 log 7 bc2  2  3 

6

3 log 35 log 5 log 7 3

log 35

a b c

ac bc



Câu 9 Cho , ,a b c0; ,a b Tình 1 Alog ( ).log (a b2 b bc) log ( ) a c

A logac B 1 C logab D logabc

Ta có

Trang 4

2 log ( ).log (a b ) log ( )a

1 2log log log

2

ab b bc a c

  log logab bblogbcloga c

log 1 logab bc logac

   logablog logab bclogac

logab logac logac logab

Câu 10 Cho x, y và z là các số thực lớn hơn 1 và gọi w là số thực dương sao cho logx2 w15,

logzw20 và logxyzw15 Tính logyw

1 60

 Lời giải

Chọn A

Ta có logx2w15logxw30 log 1

30

wx

logzw20 log 1

20

wz

Lại do

logxyzw15

 

1

15 log

1 log log log

15

30 20 w y 15

60

w y

   logyw  60 Câu 11 Cho log 59 a, log 74 b và log 3 c2  Biết log 17524 mb nac

pc q





 với , , ,m n p q và q là số nguyên tố Tính A mnpq

Ta có

log 5 a log 5 2  a

log 7 c log 7 2  b

2

log 3 c

log 5 log 3.log 5 2ac 

24

2

log 175 log 175

log 24

 

2 2 3 2

log 7.5 log 2 3

3

log 7 log 5 log 2 log 3





log 7 2log 5

3 log 3







3

b ac c







Suy ra

2 4 1 3

m n p q





 



 



 



Do đó A m n p q 2.4.1.3 24.

Trang 5

Câu 12 Cho alog 32 , blog 53 và clog 1511 Biết log 12066 mc nac pabc

a c ab ac



   với , ,m n p Tính T   m n p

Ta có log 5 log 3.log 52  2 3 a b

log 11 log 15.log 11 log (3.5) (log 3 log 5)

a ab c



3 2

66

log 2 3.5 log 120 3 log 3 log 5 log 120

log 66 log 2.3.11 1 log 3 log 11

1

a ab c ac abc

a ab a c ab ac a

c

  

3

1 1

m n p





 



 



Vậy T 5

Câu 13 Cho log 527 a,log 73 b,log 32 c, nếu biểu diễn  

6 log 35 xa yb c

m nc





 thì giá trị của biểu thức

2 2 3 2

P x y  m n bằng bao nhiêu?

A .P7 B P8 C P0 D P2

Ta có log 35 log 5 log 76  6  6  

1 log 2 log 3 log 2 log 3

Từ giả thiết: log 5 a27  ; log 3 c2 

3

log 5 3a

  log 5 log 3.log 5 3ac2  2 3  , log 7 log 3.log 7 bc2  2 3 

Do đó,   6

1 log 35

3ac 3a bc b

3 

3

a b c

ac bc



3; 1; 1; 1

Vậy P x 2y23m2 n 8

Câu 14 Cho các số thực ,a b thỏa mãn a b 1 và 1 1 2021

logablogba  Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị biểu thức 2022

logab logab

P

A m 2017 B 2022

2017

m C m 2020 D Đáp án khác

Do a b  1 logab0, logba0, logbalogab

Trang 6

Ta có: 1 1 2021 log log 2021

logbalogab   ab ba

Do đó, P2022mlogba 1 m1 log ab2022mlogbalogab2022 * 

Mặt khác

logbalogab  logbalogab   2021 4 20174   logbalogab 2017

Do vậy,  * 2022 2022 2017

2017 2017

m

Câu 15 Gọi a là số thực sao cho 3 số alog 20213 , alog 20219 , alog 202181 theo thứ tự lập thành

một cấp số nhân Tìm công bội qcủa cấp số nhân đó

A 1

2

3

q Lời giải

Chọn A

Do 3 số alog 2021;3 alog 2021;9 alog 202181 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên

công bội qcủa cấp số nhân là:

9 3

log 2021 log 2021

a q

a







81 9

log 2021 log 2021

a a







log 2021 log 2021 log 2021 log 2021



3

1 log 2021 1 4

1log 2021 2 2





Câu 16 Biết rằng b là số nguyên thỏa mãn

2

3 3

log a b a a a log 4a 4a 8

  



Lời giải Chọn D

Điều kiện : 3

0

b a b













2

3 3

log a b a a a log 4a 4a 8

  



3 3

log a log 4a 4a 8 b a a a

  



 2  2

log a log 4 a a 2 2a a a

log a a log a a 2 a a 2

Nếu tồn tại cặp  a b thỏa mãn đề bài thì ; a 3 0

b

 

Xét hàm số y f t log2t t , là hàm số xác định và đồng biến trên 0 :  1

Trang 7

Do đó  1 3  2 

2

a

b



3

a

b



Phương trình ba2 b 1a2b 3 0 2  có nghiệm khi

1 4 2 3 0

     

7 14 1 0

Vì b,b0 nên b    2; 1

Nếu b 2 thay vào  2 ta có: 1; 1

2

a   

  Nếu b 1 thay vào  2 ta có: a   1 2; 1  2

Vậy có 4 giá trị a thỏa mãn bài toán

Câu 17 Biết rằng a b , là hai số thực dương và thỏa mãn đẳng thức

2021a b   12021a   2 b 1  20213 a   4 b 320211   a b4.20212 a   3 b 2 Tìm giá trị của biểu thức

3 3 2021

a b

T  

A 2022

2021

Từ giả thiết : 2021a b   12021a   2 b 1  20213 a   4 b 320211   a b4.20212 a   3 b 2

20214 a   5 b 420214 a   6 b 42021b 1 4.20212 a   3 b 2

20212 a  2 b  220212 a   3 b 22021  2 b 2 a  22021   2 a 3 b 2 4 1

Áp dụng bất đẳng thức (AM_GM) ta có:

2021a   b 2021   b a 2 2021a   b 2021   b a 2 2021  2

2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2

2021   a b 2021a   b 2 2021   a b 2021a   b  2

Suy ra 20212 a  2 b  420212 a   3 b 42021  2 b 2 a2021  2 a 3 b 4

Đẳng thức  1 xảy ra khi:

2 2 2 2 2 2

2 3 2 2 3 2

1; 0

2021 2021

a b

    

    



Vậy

2021 2021

a b

T   

Câu 18 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn logx logylog xlog y 100 và log x ,

log y , log x , log y là các số nguyên dương Khi đó kết quả xy bằng

A 10164 B 10100 C 10200 D 10144

Trang 8

Đặt log

log

 







2 2

log log

x a

y b







2

10 10

a b

x y

 







2 2

10a b

xy 

Ta có :

2

log log 10

2 log log 10

2

a

b

a x

b y









thỏa điều kiện

2 2

a

và 2 2

b

là các số nguyên dương

Vậy a và 2 b là các số chẵn dương Do đó 2 a và b là các số chẵn dương

Ta có : logx logylog xlog y 100

log 10a log 10b 100

2

a b

a b    a22ab22b200 (*) 0

Ta coi   là phương trình bậc 2, ẩn là a và tham số b

Do đó   có   201b22b

Để   có nghiệm    0  1 b 202 1 (Do b nguyên dương)

Như vậy b1; 2;3; ;13

Mà b là các số chẵn dương nên b2; 4;6;8;10;12

Vì a là số chẵn , dương với b2; 4;6;8;10;12 , thay vào phương trình (*) ta có 8

10

b a





 

 hoặc 10

8

b

a





 

Vậy xy10a2 b2 10164

Câu 19 Cho các số thực x y z, , thỏa mãn 2x 1 3y 1 4z 1 15 và

2 3 1 3 4 1 4 2 1 30

3x  y  3 y  z  3z  x  3 Giá trị của x y z bằng

Lời giải Chọn D

Điều kiện 1; 1; 1

x  y z

15  2x 1 3y 1 4z1 3 2x 1 3y 1 4z 1 3 2x3y4z3

Suy ra

2 15

3

x y z   Mặt khác, từ giả thiết và chứng minh trên, ta có

3

3 3 x  y  3 y  z  3 z  x  3 3 x  y .3 y  z .3 z  x 

3 2 3 1 3 4 1 4 2 1 3 2 3 4 15 3 72 15 30

3 3 x  y   y  z    z x  3 3 x  y   z 3 3  3

Trang 9

Dấu “=” xảy ra khi 2 3 1 3 4 1 4 2 1

y



Ta được x y z12.8.6 576

Câu 20 Giả sử a, b là các số thực sao cho x3y3a.103 zb.102 z đúng với mọi số thực dương x, y,

z thoả mãn log x y   và z logx2y2  Giá trị của z 1 a b bằng

31 2

25 2

 Lời giải

Chọn A

Ta có: x3y3x y x  2y2xy x y   và 1  2  2 2

2

xy  x y  x  y 

Từ giả thiết, ta có:

10 10 10 10 10

2 10

z

x y



  



 

Vì x3y3a.103 zb.102 z đúng với mọi số thực dương x, y, z nên

2

z z  z z z a b , z

2z 1 1 3z 1 2z 1 3z 2z

1 10 15 10 0, 2

1 0 2

15 0

a b

  



 

  



1 2 15

a b

  



 

 



29 2

a b

  

3

( ) log

      

T  f  f   f 

                

              

3

log

           

Trang 10

1 2 2020

T  f  f   f 

              

3 3 3 3.1010 3030

Câu 22 Biết rằng 2x1x log 142 y2 y1 trong đó x0 Tính giá trị của biểu thức

P x y xy

Ta có:

1

2 2 2x x 4



Lại có: 14y2 y 1 14y1 y 1 3 y1

Đặt t y  1 0

Xét hàm số f t     trên t3 3 14t 0; , ta có 

      0;

t f t f

14 y 2 y 1 16

     log 142 y2 y14  2

Từ  1 và  2 ta có: 2x1x log 142 y2 y1 1 2

0

x

P y





    Câu 23 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

log 2017 1

log 2017 log 2017 log 2017

n

a

i



A n2016 B n2017 C n2018 D n2019

Gọi vế trái và vế phải của hệ thức đề bài cho lần lượt là A và B

Ta có 12 log2 2017 22 log 2017

n a

Do đó log 2017 22log 2017 44log 2017 86log 2017 22 log 2017

n

1 22 44 86 22 log 2017

n a n

      

Ta có : Dãy số 1; 2 4 82; 4; 6; ; 22

n

n lập thành một cấp số nhân với công bội 22 1

q 

1 1

1

1 1

1

2

n

q u q



    

Trang 11

2 1 log 2017

2n a

A  

a

Từ đó 2 1 2 20181 2018

Câu 24 Cho x0 Biết biểu thức  

2

1

4 1

4

x x

a A

b



, với a

b là phân số tối giản Tính giá

trị của S a b 

A 2.3x B 2.3 x C 2 D 32 x

Ta có 1 13 3 2 1 132 2 32  132 2 32  13 3 2

1 

3 3 2

x  x

2

4

x x

x x A



 

2 2

3 1

x



    (Vì x0 nên 3 1 0

x  )

Vậy S   a b 2.3x

Câu 25 Cho ,a b là các số thực và hàm số

f x( )alog2021 x2 1 xbsin cos 2020x  x Biết rằng 7 f2020ln 202112 Tính

P f2021ln 2020

Xét hàm số g x  f x  7 alog2021 x2 1 xbsin cos 2020x  x

Do x2     nên hàm số 1 x x x 0 g x có tập xác định   D

Ta có:     x D x D và   2021  2         

g  x a x   x b x x

  log2021 2 1  sin cos 2020 

2

1

 

Trang 12

  log2021 2 1  sin cos 2020 

g x g x

    Vậy hàm số g x là hàm số lẻ  

Lại có: 2020ln 2021 2021ln 2020

2020ln 2021  2021ln 2020

2020ln 2021 7  2021ln 2020 7

       12 7  f2021ln 20207

 2021ln 2020 2 f

Câu 26 Cho hàm số f x  log 1 12

x

   

  Cho biểu thức Scó dạng

S  f 2  f 3   f2020 Biết rằng tổng S được viết dưới dạng log a

b

 

 

  với

a

b là phân

số tối giản và ,a b Khi đó giá trị của 0 b a  bằng

Ta có: f x  log 1 12 f x  log x221 logx 1 logx 1 2logx

  

Suy ra ta có:

 

3 log 4 2log 3

4 log 3 log 5 2lo

0

g 4

5 log 4 log 6 2log 5

2019 log 2018

l

2log 2019

log 2 log 2

log 2020 log 2021 2 lo 2

f



 Suy ra log1 2log 2 log 2 log 2020 log 2021 2 log 2020 log 2021

4040

Như vậy suy ra 2021 4040 2021 2019

4040

a

b a b



 



Câu 27 Cho   2   2

1 1 1 1

e x x

f x

 



 Biết rằng      1 2 3 2017 e

m n

f f f f  với m, n là các số tự nhiên

và m

n tối giản Tính

2

m n

A m n 2  1 B m n 21 C m n 22018 D m n 2  2018

Lời giải

Chọn A

2

1

1 1

1

x x

 

  2   2  

1

x x

x x x x

f x

 

  ,  x 0

Trang 13

Xét dãy số  u : k  

k

k k u

 

   , k *

Ta có 1 1 1

1

1 2

u    , 2 1 1

1

2 3

u    , 3 1 1

1

3 4

u    , …, 2017 1 1

1

2017 2018

      1 2 3 2017 eu u 1 2 u 3 u 2017

2

1 2 3 2017

1 2018 2018

m

n



Vậy m n 2  1

Câu 28 Cho dãy số 11 11 11 

2

log 2.log 3 log 1

2

n

 với số tự nhiên n1 Số hạng nhỏ nhất của dãy số có giá trị làm Hỏi có bao nhiêu số hạng của dãy số cùng đạt giá trị là m

Lời giải

Chọn B

Xét ba số hạng liên tiếp sau đây:

log 2.log 3 log log 2.log 3 log 1 log 2.log 3 log 2

Để số hạng un nhỏ nhất thì

1

log 2.log 3 log log 2.log 3 log 1

;

log 2.log 3 log 1 log 2.log 3 log 2

;











11 2

2

log 1

1

2

n









Suy ra có hai giá trị nguyên dương của n thỏa mãn, ứng với hai số hạng của dãy số cùng đạt

giá trị nhỏ nhất, tương ứng là

4 4

11 1

11 2

n n

  

  

 Câu 29 Lần lượt gọi , , ,a b c d là các số nguyên dương thỏa mãn 3

log

2

ab và 5

log

4

cd ; Khi a c 9

thì b d bằng

Lời giải

Chọn B

Ta có:

3

2 3 2

4

3 log

2 5 log

4

a

c

c d





   



Đặt

  với m n k l Z, , ,





2 3

2 3 6

5

a k

b k

b a k

d l

 







 





Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	885,43 KB