CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 25 pot

3i t Như vậy, bất kể E lấy dấu như thế nào, luôn có cùng lúc hai trạng thái, một với năng lượng dương và một với năng lương âm.. Dirac cho rằng, nghiệm với năng lượng âm cũng phải có mộ

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Bài 25 PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO HẠT TỰ DO

Trong bài này, ta tìm phương trình trạng thái ở dạng chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo tọa độ không thời gian

Như đã nói ở bài trước, đây là một trong hai cách đói xứng hóa tương đối tính phương trình Schrödinger.

∂ +

x m

4 3

trong đó β ˆ1, β ˆ2, β ˆ3, β ˆ4 Là những toán tử chưa biết

Tuy nhiên, dể bảo đảm (25.2) chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo các biến số không gian,

ba toán tử βˆ1,βˆ2,βˆ3 không được phép chứa p ˆx, p ˆy, p ˆz

.

thỏa mãn hệ thức năng - xung lượng sau:

(25.3)

Bình phương hai vế đẳng thức (25.2) và so sánh kết quả với (25.3) ta được :

Ta yêu cầu

Đồng thời, để bảo đảm tính bất biến của Hˆ

khi dịch chuyển hệ tọa độ và dịch mốc thời gian,

còn phải thừa nhận rằng β ˆ1, β ˆ2, β ˆ3, β ˆ4 không chứa chính các tọa độ x, y, z, t.

I c m

I c

i k k

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

4 2 2

4

2 2

3

2 2

2 1

β β β

β β

β β

β

Bây giờ nếu đặt β ˆi = c α ˆi với i = 1, 2, 3 và β ˆ4 = mc2α ˆ4

thì: H ˆ = c ( α1 p ˆx + α2 p ˆ y + α3 p ˆz ) + m2c4α ˆ4 (25.5)

đồng thời:

(25.6)

)

(

=

k i

I

i k k

i

i

0 ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ2

α α α

α α

Như vậy, (25.1) được thay thế bởi phương trình:

2

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

c t

Chú ý: muốn cho phương trình Dirac có vẻ ngoài hoàn toàn đối xứng

α α α

α α

α τ

α



imc z

y x

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

3 4 2

4 1

ψ

ψ γ



imc x

ˆ

với x0 = τ = ct , x1 = x , x2 = y , x3 = z

,

) (

1 2 3 ˆ

2

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

c t

2 Dạng ma trận của phương trinhg Dirac

2

c t

)

(

=

k i

I

i k k i

i

0 ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ 2

α α α α α

Vì vậy, có thể coi các toán tử α ˆi

là các ma trận sau (và từ đây chú ý rằng thay cho α ˆi ta sẽ viết đon giản là

i

α

i

α

Còn những phương án khác, nhưng về mặt vật lý, chúng dẫn đễn những kết quả như nhau.

Bây giờ ta sẽ thấy nên thể hiện tác dụng của các toán tử αi lên hàm sóng ra

sao

Phương án chọn này do V Fock đề xuất

Bạn đọc hãy tự kiểm tra để thấy rằng các ma trận này thảo mãn hệ thức

(25.6)

Vì toán tử là ma trậm vuông cấp 4, một cách tự nhiên ta sẽ phải coi rằng hàm

ψ là một cột gồm bốn hàm thành phần, mỗi hàm đều phụ thuộc x, y, z, t và

đều nhận giá trị là các số phức:

(25.8)

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

; 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

; 0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

4 3

2 1

α α

α α

i i i

i

x x

4 3 2 1

ψ ψ ψ

ψ ψ

,

.

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0 ˆ

3 4 1 2

4 3 2 1

1 1

x

i

x x x

x

i x

i

p x

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ

α ψ

(25.9)

∂

∂ +

∂

∂ +

4 3

4

2 2 3

4 4

3

3 2 2

1 1

2

4 2 1

2 2

1

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

mc z

y

i x c i t

i

mc z

y

i x c i t

i

mc z

y

i x c i t

i

mc z

y

i x c i t

3 Nhận phương trình Klein-Gordon từ phương trình Dirac

Ta hãy viết lại (25.7) dưới dạng:

3 2

t

i p

p p

Tác dụng α4 từ phía trái lên hai vế, ta được:

4 3

4 2

4 1

p p

Lại tác dụng lên hai vế phương trình này (từ phía trái) bởi toán tử

4 3

4 2

4 1

4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

t

i p

p p

∂

∂

− +

2 4

2 2

4 3

4 2

4 1

t

p c c

m t

i p

p p

∂

∂+

α α

(25.6)

)

(

=

k i

I

i k k i

i

0 ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ 2

α α α α α

Do đó, ta thu được phương trình:

(25.10)

0

2

2 2 2

Đây chính là phương trình Klein-Gordon

4 Tính spinor của hàm trạng thái trong phương trình Dirac

Xét phép quay hệ trục tọa độ Oxyz quanh trục Oz một góc φ Khi đó, ta nhận được hệ trục mới Ox’y’z’sao cho:

(25.11)

cos ' sin

'

sin ' cos

'

z z

y x

y

y x

x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Các toán tử α i chỉ cần thỏa mãn (25.6), còn lại là hoàn toàn tùy ý

(25.6)

)

(

=

k i

I

i k k i

i

0 ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ 2

α α α α α

Tuy nhiên, khi đã chọn biểu thức cụ thể cho αi trong một hệ tọa độ Ox’y’z’ ta phải có những biểu thức mới cho chúng Có thể chứng minh rằng, khi đó cần phải thay các αi bởi các ma trận

sau:

3 3

2 1

2

2 1

1

' '

cos sin

'

sin cos

'

α α

α α

ϕ α

ϕ α

α

ϕ α

ϕ α

α

Như vậy, có thể nói ( α1, α2, α3, α4) là vector (hiệp biến) ba chiều

Tương ứng, muốn bảo đảm để phương trình Dirac giữ nguyên dạng

4 3 2

1,ψ ,ψ ,ψψ

(25.12)

2 2

2 2

4 3 2

1

.

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

' ' ' '

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

i i

i i

e e

e e

(25.12) chứng tỏ ψ biến đổi như spinor ba chiều Như vậy, phương trình Dirac mô tả hạt có

spin 1/2

5 Một vài nghiệm đặc biệt của phương trình Dirac

Ta hãy thử tìm một vài nghiệm đặc biệt của phương trình Dirac

Trước hết, ta viết lại hệ phương trình (25.9) trong hệ đơn vị sao cho Khi đó, ta có :

(25.14)

(25.13)

3 2

1 1

2

4 1

2 2

∂

∂ +

ψ ψ

ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

m z

i y x

i t

i

m z

i y x

i t

i











−

∂

∂ +

∂

∂

−

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

−

∂

∂ +

∂

∂

−

=

∂

∂

(25.16)

(25.15)

1 4 3 3 4 2 3 4 4 3 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ m z i y x i t i m z i y x i t i Ta tìm nghiệm dưới dạng ( )Tr 4 3 2 1, ψ , ψ , ψ ψ ψ = ,trong đó: ) ( 1 , 2 , 3 , 4 = = C e−iEt+i p r k k k   ψ Trước hết, xét trường hợp C1 = 0 Khi đó ψ1 = và 0 ψ2, ψ3, ψ thỏa mãn hệ:4

(25.20)

(25.19)

(25.18)

(25.17)

0

























∂

∂ +

∂

∂

−

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

−

∂

∂ +

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

= +

∂

∂ +

∂

∂

z

i y x

i t

i

m z

i y x

i t

i

m z

i t i

m y

t i

4 3

3 4

2 3

4 4

3

3 2

2

4 2

2

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

ψ

Tiếp theo iEt i p r

x k

x



+

−

=

∂

và tương tự ta có

r p i iEt y

k

k iC p e y



+

−

=

∂

r p i iEt z

k

k iC p e z





+

−

=

∂

r p i iEt k

k iC E e t





+

−

−

=

∂

Thế các biểu thức này vào (25.17), (25.18), (25.19), (25.20) rồi rút gọn cho e−iEt+i pr

(25.24)

0 (25.23)

0 (25.22)

0 (25.21)

0















=

−

−

=

= +

+ +

=

= +

−

=

= +

+

−

z y

x

z y

x z

y x

p C p

iC p

C E

C

mC p

C p

iC p

C E

C

mC p

C E

C

mC p

iC p

C

4 3

3 4

2 3

4 4

3

3 2

2

4 2

2

2

' 'k = C k eiEt+i pr

ψ

3

i t

Như vậy, bất kể E lấy dấu như thế nào, luôn có cùng lúc hai trạng thái, một với năng lượng

dương và một với năng lương âm Dirac cho rằng, nghiệm với năng lượng âm cũng phải có

một ý nghĩa vật lý nào đó

Vì vậy phổ năng lượng gồm hai khoảng rời nhau: và Theo cơ chế phi lượng tử, năng lượng

của hạt thay đổi liên tục nên hạt đang có năng lượng E > m không thể nào mất năng lượng để

đạt tới giá trị âm

Tuy nhiên, như ta đã biết, trong cơ chế lượng tử thì hạt mất năng lượng một cách gián đoạn, do

đó nếu electron đang có năng lượng E > m, nó có thể mất đi một lượng tử năng lượng sao cho

giá trị mới của năng lượng trở thành E’< -m Nhưng điều này lại mâu thuẫn với việc trên thực

tế không có electron nào có năng lượng âm

P Dirac đã đề xuất một cách lý giải như sau Như ta biết, trong lý thuyết lượng tử thì chân không không phải là vùng không gian mà ở đó tuyệt đối không có gì Trạng thái chân không vẫn có một sự dự trữ năng lượng P Dirac cho rằng, đó là một “môi trường” mà trong đó mọi trạng thái với năng lượng âm đã được chiếm giữ, và do đó, theo nguyên lý Pauli,

electron không thể “chui” vào vùng năng lượng âm được

Tuy nhiên, electron ở vùng năng lượng âm lại có thể nhận một lượng tử năng lượng đủ lớn

để trở thành electron với năng lượng dương Khi đó, chân không sẽ bị “khuyết”, và ở đó

xuất hiện một “lỗ trống” Theo định luật bảo toàn điện tích, lỗ trống này có điện tích e và nó

cũng giống như một hạt mang điện P Dirac gọi lỗ trống này là positron; đó là “đối hạt” hay

“phản hạt” của electron

Khi đã xuất hiện lỗ trống thì sẽ có cơ hội để một electron với năng lượng dương “nhảy vào” và lấp đầy lỗ trống đó, sau khi mất một lượng tử năng lượng thích hợp.

Hiện tượng lỗ trống xuất hiện cùng với việc electron cũng “từ chân không thoát ra” ngày nay được gọi là sự sinh cặp Quá trình này đòi hỏi phải có một lượng tử năng lượng đủ lớn

để đưa chân không vào trạng thái kích thích Quá trình ngược lại được gọi là sự hủy cặp:

lỗ trống và electron đều biến mất, để lại một lượng tử năng lượng

Tất cả những điều nói trên là khá mơ hồ và khó tin Tuy nhiên, nó thể hiện một tư duy lượng tử đỉnh cao và đầy tính lãng mạn !

Mặc dù vậy, toàn bộ những điều mà P Dirac phát biểu vẫn chỉ được coi như sự mơ mộng hão huyền Ý tưởng của ông chỉ được khẳng định sau phát hiện của Anderson vào năm

1936 về positron Bằng thực nghiệm, Anderson đã quan sát thấy một hạt như Dirac đã tiên đoán Ngày nay, người ta đã biết rằng không riêng electron mà bất cứ một hạt vi mô nào cũng có đối hạt

Trong bài sau, ta sẽ quay lại vấn đề về positrron với một cách lý giải chặt chẽ hơn Ở đó cũng sẽ thấy rõ sự bình đẳng giữa electron và positron, và việc coi positron cũng là hạt hệt như electron là hoàn toàn hợp lý