CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 10 potx

Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ... Một trong những mô hình đơn giản nhưng rất điển hình của chuyển động một chiều là dao động tử điều hoà, với hàm thế năn

Trang 1

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Trang 2

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

BÀI 10

DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ

Trang 3

Một trong những mô hình đơn giản nhưng rất điển hình của chuyển động một chiều là dao động tử điều hoà, với hàm thế năng giống như trong Cơ học cổ điển ở đây, ta sẽ dùng hai phương pháp để nghiên cứu chuyển động như vậy: phương pháp giải tích thông thường và phương pháp các toán tử sinh và huỷ.

1.Giải bài toán về dao động tử bằng phương pháp giải tích

Xét chuyển động của một hạt lượng tử trong trường thế năng có dạng:

2 2 ( ) (10.1)

Trang 4

Phương trình cho trạng thái dừng có dạng:

Để phần nào đơn giản hoá phương trình, ta đặt:

(10.2)

ϕ

2 2

(10.3)

λϕ ϕ

ξ ξ

Tiếp theo, đặt

ϕ

Trang 5

Khi đó, (10.3) có dạng:

(10.5)

λξ

Với đủ lớn, ta tìm nghiệm của (10.5) dưới dạng: ξ

ξ ξ

a f

Với f như vậy, ta có:

(10.6)

−

ξ ξ

ξ

c a

d df

Trang 6

trong đó là đại lượng cùng bậc với x khi và: Θ( )x x → 0

( ) 2 ( )

22

2

1

3 2

2 4

2

2 2

2 2 2

++

+

++

+

=

d

c d

b bc

d

a ac

a d

c b

a f

ξξ

ξ

ξξ

++

Trang 7

Suy ra:

a = ±1, b = 0; 2ac + a = -2λ

Như vậy, nếu chọn a = 1, ta có 2c + 1 = -2λ hay c = -λ - 1/2 và

(10.6)







Θ+

λξ

f f

ξ

2

12

ln

2 1

Trang 8

Suy ra:

( ) ξ (10.7) θ

ξ

1 2

Trong đó và nghịch biến theo θ1( ) ξ ≈ 1 ξ

Tương tự, với a = -1, ta có 2c + 1 = 2λ hay c = λ - 1/2 và

(10.8)







 Θ +

λ ξ

f f

Tương ứng ta cũng có

( ) ξ (10.9)

θ ξ

1 2

Trang 9

Trong đó cũng gần với 1 và nghịch biến theo

Nghiệm tổng quát của (10.3) khi đủ lớn là:

1 2

2 1

2

1 2

2 2

1 2

Trang 10

trong đó ngang cấp với F(ξ) 

d

dF e

F

e d

1

ξ

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ

ξ ξ

d

F

d e

d

dF e

d

dF e

F e

F

e d

2 2

ξξ

ξ

ξξ

d

F

d e

d

dF e

F

e d

+

−+

−

=

Trang 11

nên (10.3) trở thành:

ξ

ξ ξ

d

F

d d

hay: ( )2 2 ( ) (2 1) ( ) 0 (10.13)

2

=

− +

ξ

ξξ

ξ

d

dF d

F d

Ta tìm nghiệm của (10.13) dưới dạng chuỗi:

(10.14)

ka d

dF

ξ ξ

ξ

Trang 12

2 0

2 2

2

21

1

k

k k

k

k k k

k

a k

k d

F

d

ξξ

∑∞

k

k k

a k

2

λ

Trang 13

Thay thế trở lại (10.14), ta dược:

27

2

33

.2

23

4.3.2.1

252

12

.1

2

11

5

3 1

4

2 0

ξ

λ

λξ

ξ

λ

λξ

λ

a

a F

Trang 14

=

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ

F F

F

a

F F

=

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ

F F

F a

F F

F a

1 1

0 0

22

Do F( ) ξ , và cùng với nó là F ( ) − ξ , chỉ ngang cấp với 







 − 2

1

λ

ξ

(khi ξ → +∞ ) nên nếu a0 ≠ 0

thi từ (10.19) suy ra F0 ( ) ξ cũng ngang cấp với 







 − 2

1

λ

ξ

Trang 15

Nhưng nếu λ không bán nguyên thi mọi hệ số trong F0( )ξ đều khác 0

và bắt đầu từ một vị trí nào đó sẽ cùng dấu

Nếu vậy, F0( ) ξ sẽ có cấp cao hơn bất kỳ biểu thức nào có dạng ξ n

Vi vậy, phai tồn tại n, λ sao cho

Khẳng định này vẫn đúng nếu giả thiết a1 ≠ 0

Do E =  ωλ nên suy ra E có phổ rời rạc:

(10.20)

E n  ω

Trang 16

Có thể chứng minh rằng các hàm riêng tương ứng của toán tử năng lượng là:

n n

n

Trang 17

2 Phương pháp các toán tử sinh và huỷ

Ký hiệu Qˆ là toán tử nhân hàm trạng thái với biến

Q

[ ] x ˆ p ˆ = i  ; [ ] P ˆ Q ˆ = i

(10.2)

ϕ

2 2



Trang 18

Khi đó hamiltonian (toán tử năng lượng) của dao động tử được viết lại

như sau:

2 2

2

ˆ22

ˆ

ω

ω ξ

=

=+

=

ω

ξ ω

ω

m

m m

m P

x

m m

p H

2 2

22

ˆ2

2

ˆ

(10.23)

)ˆˆ

(2

H = ω +

Biểu diễn tóan tử hamiltonian dưới dạng sau:

Trang 19

ˆ21

ˆˆ

ˆ

ˆ2

1ˆ

ˆ

2 2

++

=+

+

=

=+

−+

=

+

P Q

Q P i P

Q

P P

Q i Q

P i Q

a a

− +

=

− +

=

Trang 20

ˆ+a = Q2 + P2 −

a

Trang 21

Như vậy, với

ˆ a a

1 2

1

H a

ˆ

ˆ2

1ˆ

ˆˆ

ˆ2

1ˆ

ˆˆ

Trang 22

Mặt khác, (10.26) chính là:

(10.27)

Trang 23

Như vậy, nếu ϕε là trạng thái ứng với “nang lượng rút gọn” ε thi

aˆ là toán tử sinh lượng tử nang lượng

hay ngắn gọn hơn ta gọi là toán tử sinh

Trang 24

Theo như vừa nói thi ta có aˆ+ϕε = qϕε+ 1

Gia sử các hàm ϕ ε đã được chuẩn hoá, ta tim hệ số q Vi:

ε ε

1

H a

Trang 25

n:

2

1 2

Trang 26

Bây giờ ta tim mức nang lượng thống nhất Ký hiệu mức nang lượng rút gọn thấp nhất là ε0 Khi đó, ta yêu cầu hàm riêng tương ứng

0

ε

ϕ thoa mãn thêm điều kiện:

(10.31)

0

12

Trang 28

Do đó, trị riêng của Nˆ là số lượng tử nang lượng trong trạng thái

2

1 +

=

n

ε ϕϕ

Dùng các toán tử sinh và huỷ cũng dễ dàng tim được biểu thức của của các hàm riêng

Trang 29

Nhận xét: Ta nhận thấy có một sự tương tự giữa mô hình dao

động tử điều hoà với nguyên tử: đó là phổ năng lượng rời rạc

Điều này có nghĩa là chỉ trong các trạng thái riêng ứng với các

giá trị E = En thì hệ dao động mới tồn tại bền vững Các giá trị khác của năng lượng làm cho dao động tử chuyển sang trạng thái không dừng

Trang 30

BÀI 10

Trang 31

BÀI 10

Trang 32

BÀI 10

Trang 33

BÀI 10

Trang 34

BÀI 10

Tiêu đề	Cơ Học Lượng Tử - Bài 10 Dao Động Tử Điều Hòa
Tác giả	Nguyễn Văn Khiêm
Trường học	Hồng Đức University
Chuyên ngành	Vật Lý
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Thanh Hóa

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	0,94 MB