CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 22 ppt

Bài 22 HÀM TRẠNG THÁI CỦA HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT... Do tính chất bất khả phân biệt của các hạt đồng nhất nên việc giải các bài toán về hệ hạt như vậy là phức tạp, đặc biệt khi xét hệ trong tươ

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Bài 22 HÀM TRẠNG THÁI CỦA HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT

Do tính chất bất khả phân biệt của các hạt đồng nhất nên việc giải các bài toán về hệ hạt như vậy là phức tạp, đặc biệt khi xét hệ trong tương tác

với những đối tượng lượng tử khác

Trong bài này, ta sẽ nêu những suy luận cơ bán nhất để xây dựng hàm

trạng thái của hệ qua các hàm trạng thái của một hạt

Điều này đặc biệt lưu ý là, tránh phát biểu những mệnh đề khẳng định

tính cá thể của hạt, ví dụ như: “ψ ( )q k là hàm trạng thái của hạt thứ k, ….”

1.Hệ quả toán học của nguyên lý bất định

Cũng như trong trường hợp hệ N hạt tùy ý, ta sẽ coi rằng hàm trạng

thái của hệ N hạt đồng nhất (hay chính xác hơn: hàm trạng thái của

trường, trong trường hợp trường đó có N lượng tử) cũng là hàm phụ

thuộc vào N bộ tọa độ (nói chung là suy rộng) q1, …, qN, trong đó

mỗi qk là bộ tọa độ của một hạt

Xin nhắc lại: ta tránh nói qk là bộ tọa độ của hạt thứ k, vì nói như vậy

tức là ta đã vô tình coi các lượng tử như những cá thể và có thể đánh số

các cá thể đó

Như vậy, hàm trạng thái của N hạt đồng nhất có dạng Ψ(q1, ,q N ,t)

Tương ứng, hamiltonian Hˆ của hệ cũng phụ thuộc q , ,1 qN

, đồng thời phụ thuộc vào các toán tử đạo hàm theo các biến số tọa độ

Để đơn giản, ta sẽ viết Hˆ = Hˆ (q1, ,q N )

Về mặt toán học, tính đồng nhất cuả các hạt trong hệ được thể hiện

trước hết ở tính đối xứng của hamiltonian:

tất cả các bộ biến q , ,1 q N đều tham gia vào Hˆ với tư cách bình đẳng

Tiếp theo, việc đổi chỗ hai bộ tọa độ q k và q l tuỳ ý (tương ứng với

việc hoán vị hai hạt theo cách hiểu cổ điển), không kéo theo sự thay

đổi trạng thái của hệ hạt

Điều đó có nghĩa là hai hàm ψ ( ,q k ,q l , )

và ψ~( ,q k ,q l , ) =ψ ( ,q l ,q k , ) mô tả cùng một trạng thái của hệ

Dễ thấy rằng hàm ψ~ có thể coi như nhận được từ ψ

qua tác dụng của một toán tử tuyến tính: toán tử Pˆk,l

(phép hoán vị hai bộ tọa độ q k và q l)

Như

vậy: P ˆklψ ( , qk , , ql , ) = ψ ( , ql , , qk , ) (22.1)

Do việc hoán vị hai lần cùng một cặp q k và q l tương đương với việc giữ

nguyên hàm trạng thái, nên ta có

khác một thừa số hằng số, tức là: ψ~( ,q k ,q l, ) = αψ ( ,q l,q k , )

ha

y:

( , , , ) ( , , , )

ˆ

l k l

k

Từ (22.3) ta cũng

có:

( , , , ) ( , , , )

l k l

k

(22.3)

Kết hợp đẳng thức này với (22.1), ta

được ψ ( ,q k ,q l , ) = α 2ψ ( ,q k ,q l , )

Từ đó suy ra α2=1 hay α=±1.

α thay đổi giá trị khi thực hiện phép hoán vị, ta nói nó là hàm trạng

thái đối xứng

Trong trường hợp α=-1, ta các hàm trạng thái phản đối xứng

Thực nghiệm và lý thuyết đều chứng tỏ rằng một hệ hạt đồng nhất với spin nguyên (hệ boson) luôn luôn có hàm trạng thái là hàm đối xứng, còn hệ hạt đồng nhất với spin bán nguyên (hệ fermion) luôn có hàm trạng thái là phản đối xứng