Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 1 ppt

2 Momen quán tính đối với một đường kính của một đĩa tròn bán kính R.. 3 Momen quán tính đối với một đường kính nằm trong mặt phẳng giới hạn bán cầu của một bán cầu bán kính R... Hai tha

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 : CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

BÀI TẬP ÁP DỤNG :

@ Áp dụng 1 (Trang 29) : Chuyển động của thanh

Một thanh AB đồng chất chiều dài 2b, khối tâm G nằm tại điểm

giữa của thanh Thanh tựa trên mặt đất nằm ngang và gối trên

bức tường thẳng đứng Vị trí của thanh được xác định bởi góc

, thay đổi khi thanh trượt tại A và B

(Ox OG, )

α =

x

A

G

B

O

y

⊕

1) Xác định trực tiếp các thành phần của vận tốc v( )G của điểm

G theo α và theo đạo hàm của α

2) Suy ra véctơ quay Ω của thanh

Bài giải :

Câu 1 :

Tam giác OAB vuông : 2

cos sin 0

b

α α

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

⇒

sin

0

b

d OG

dt

−

⎧

⎪

= = ⎨

⎪

⎩

(1)

Câu 2 :

(Cách tìm : Viết biểu thức của vận tốc v( )G theo hai cách khác nhau - đạo hàm trực tiếp và bằng quan hệ vận tốc hai điểm thuộc cùng vật rắn cần tim vectơ quay - và so sánh)

Thanh AB chuyển động song phẳng với vectơ quay Ω = Ωe z

Hai điểm A và G cùng thuộc thanh AB : v( ) v( )G = A + Ω× G A

Trong đó :Ω = Ωe z là vectơ quay của thanh AB

Ta có : OA=2 cosb αe z ⇒

2 sin v( ) 0

0

x

A

−

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩ 0

0

⎧

⎪

Ω = ⎨

⎪Ω

⎩

cos sin 0

b

α α

−

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

⇒

2 sin sin v( ) cos

0

α

⎧

⎪

= − Ω⎨

⎪

⎩

(2)

So sánh (1) và (2) : Ω = −αe z

@ Áp dụng 2 (Trang 30) : Chuyển động của bánh xe trên gía đỡ hình trụ

Bánh xe tâm C, bán kính b lăn không trượt trên giá đỡ hình trụ tâm O, bán kính a, cố định

trong hệ quy chiếu R Tất cả đều nằm trong mặt phẳng thẳng đứng

Xác định véctơ quay Ω của bánh xe theo góc ϕ =(Oy OC, )

11

Bài giải :

(Cách giải : Viết biểu thức của vận tốc v( )C theo hai

cách khác nhau - đạo hàm trực tiếp và bằng quan hệ vận

tốc hai điểm thuộc cùng vật rắn cần tim vectơ quay - và so

sánh)

y

a

O

C

I

r

e

eϕ

⊕

ϕ

b

Xét hệ tọa độR e e e'( , , )r ϕ z (hệ tọa độ R’ quay cùng với

đoạn OC quanh trục Oz của hệ R(O, x, y, z) với vectơ

Ta có : OC=(a+b e) r ⇒

/ /

R R

⇒

/ '

z r R

de

= + ⎢⎜ ⎟ + × ⎥= + ⎣ + ⎦

⎝ ⎠

Gọi IR là điểm của bánh xe trùng với điểm tiếp xúc I Hai điểm C và IR thuộc bánh xe nên :

v( ) v( )C = I R + Ω× C I

Trong đó :Ω = Ωe z là vectơ quay bánh xe

Bánh xe lăn không trượt trên mặt đất nên : v(I R) 0= ⇒ v( )C = Ω×IC= Ωbeϕ (2)

So sánh (1) và (2) : a b e z

+

Ω =

@ Áp dụng 3 (Trang 34) : Tính toán momen quán tính :

∆2

∆1

G H2 H1

∆ A

∆

G

Tính momen quán tính của các vật rắn sau đây, có khối

lượng m phân bố đều bên trong vật rắn :

1) Momen quán tính đối với trục đối xứng ∆ của một tấm

phẳng hình vuông cạnh b, bề dày không đáng kể

2) Momen quán tính đối với một đường kính của một đĩa

tròn bán kính R

3) Momen quán tính đối với một đường kính nằm trong mặt

phẳng giới hạn bán cầu của một bán cầu bán kính R

Bài giải :

Câu 1:

Xét phân tố vật rắn nằm tại tọa độ x, y có diện tích bằng dx.dy :

/ 2 2 2 / 2 0

b

m

b

∆

−

2

12

mb

J∆ =

Câu 2:

Xét phân tố vật rắn có vị trí xác định bởi bán kính r và góc ϕ, giới hạn bởi hình vành khăn (r, r+dr) và chắn góc dϕ Ta có :

1 cos 2

R AB

+

⇒

2 4

2

0

sin 2

AB

m R

J

R

π

π

2

4

AB

mR

b

dy

dx

y

x

O

r A

O x

B

ϕ

dϕ

dr

x

x

Phân tố dS, khối lượng dm

Câu 3:

G

Momen quán tính của bán cầu đối với một đường kính ∆ bằng 1/2

momen quán tính của khối cầu đầy đủ, khối lượng 2m đối với một

2

1 2

(2 )

2 5

5

(Ghi chú : Momen quán tính của khối cầu đầy đủ, khối lượng M đối

với một đường kính bằng : 2 2

5

@ Áp dụng 4 (Trang 35) : Trường hợp momen động lượng và véctơ

quay song song với nhau

(∆) z

O A

Một vật rắn S quay xung quanh một trục ∆ song song với trục Oz và cố

định trong hệ quy chiếu R (O; x,y,z) đang xét, với vận tốc góc là Ω

Chứng minh rằng momen động lượng L A của vật rắn S đối với điểm

A cố định trên ∆ song song với Ω nếu như :

∆ là trục đối xứng của S

2) S là một vật rắn phẳng trong mặt phẳng qua A và vuông góc với ∆

Bài giải :

Momen động lượng đối với điểm A gồm hai thành phần (Xem chứng

minh ở phần lý thuyết) :

2 //

( )

A

S

L = Ω∫∫∫HM dm song song với vectơ quay Ω

( )

S

L ⊥ = −Ω∫∫∫ AM e HM dm vuông góc với véctơ quay Ω

Cần chứng minh rằng L A⊥ =0

1) ∆ là trục đối xứng của vật rắn (S) :

Ứng với mỗi điểm M thuộc (S), có thể tìm thấy một điểm M’ đối xứng với M qua ∆

Ta có : HM = −HM' và AM e z = −AM e' z ⇒ HM AM e( )z = −HM AM e'( ' z)

13

⇒ L A⊥ =0 ⇒ L A =L A// = Ω = ΩJ∆ J∆ e z

2) (S) là vật rắn phẳng trong mặt phẳng qua A và vuông góc với ∆ :

Với mọi điểm M thuộc vật rắn (S), ta có : AM e z =0 bởi vì AM ⊥e z ⇒ L A⊥ =0

@ BÀI TẬP CÓ GIẢI (Trang 41) : Con lắc kép

Một con lắc kép gồm hai thanh OA và AB giống nhau, đồng

chất, khối lượng m, chiều dài 2b và được nối nhau bằng khớp

quay tại A Hai thanh cùng chuyển động trong mặt phẳng thẳng

đứng (Oxy) và góc nghiêng của nó được xác định bằng các góc α

và β so với trục (Ox) thẳng đứng hướng xuống

y

B

A β

α

G1

G2 O

Tính momen động lượng đối với điểm O và động năng của con

lắc kép Nhắc lại rằng momen quán tính của một thanh có chiều

dài 2b đối với trung điểm : x

Bài giải :

Momen động lượng đối với điểm O :

OA quay quanh trục Oz cố định, (S) vật rắn phẳng nằm trong mặt phẳng qua O và vuông góc với trục Oz, ta có :

1

L OA = Ω J OA e z

Với : Ω = và 1 α 2 1 2 2 4

3

(Ghi chú : trường hợp vật rắn phẳng quay quang trục ( ) vuông góc với mặt phẳng của vật rắn : L OA O( )=L O⊥(OA))

2

3

K

Định lý Koenig cho ta :

*

1

2

Với : 2

2 cos cos

2 sin sin 0

+

⎧

⎪

⎪

⎩

⇒ v( 2

2 sin sin ) 2 cos cos 0

⎪

⎪

⎩ 2

2

1

3

G z

3

(Lưu ý : cos(α β− ) cos cos sin sin= α β + α β

)

O

) Suy ra :

L conlackep =L OA +L OB

⇒ 2 16 4

Ta có : v ( ) 42 G2 = b2α2+b2β2+4b2αβcos(α −β)

2

K

)

K

Tóm lại :

E conlackep =E OA +E AB

K

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN :

@ Bài 1 (Trang 42) : Momen quán tính của một bán cầu

Momen quán tính của một bán cầu đối với đường kính ∆ của nó

bằng : 2 2

5

J = m R Hãy tính momen quán tính J ’ của bán cầu đối

với trục ∆‘ đi qua đỉnh S và song song với ∆ Khoảng cách từ khối

tâm G đến tâm C của quả cầu bằng 3

8

Bài giải :

Định lý Huyghens :

' 20

Bài 2 (Trang 42) :Momen động lượng của một con lắc

@

öng Một con lắc OABC hình chữ T (tiết diện không đáng kể), đô

chất, một đầu được treo ở đầu O và có thể dao động xung quanh

trong mặt phẳng thẳng đứng một trục ∆ nằm ngang Xác định

momen động lượng đối với điểm O theo vận tốc góc θ của con lắc

Biết : OA = 2AB = 2AC = b, OA và OB có cùng khô lượng Nhắc

lại rằng momen quán tính của một thanh có chiều dài b đối với

trung điểm của nó là :

úi

2

1 12

Bài giải :

OABC là vật rắn phẳng nằm trong mặt phẳng qua O và vuông góc với trục quay A :

L = ΩJ e∆ với : Ω =θe z ⇒ L O =θJ e∆ z

⎢ )

17 12

mb

J∆ =

Tóm lại :

2

17 12

mb

@ Bài 3 (Trang 42) : Động năng của một chiếc đu :

O

B

C A

∆ θ

z

e

∆’

∆G

∆

G

S

C

15

Một chiếc đu gồm ba thanh AB, BC và CD giống nhau, có khối

hớp quay tại

, chiều dài 2b, đối với trung điểm

lượng m và chiều dài 2b, được nối với nhau bằng các k

B và C Chúng dịch chuyển trong mặt phẳng thẳng đứng và vị trí

của hệ được xác định bởi góc α

Tính động năng của hệ Nhắc lại rằng momen quán tính của một

thanh đồng chất có khối lượng m

của nó là : 1 2

3

Bài giải :

2

K

1

2

3

2

BC chuyển động tịnh tiến trong R nên BC cố định trong R* : 0

K

C B

α

Tóm lại : 10 2 2

( )

3

K

@ Bài 5 (Trang 42) : Qủa cầu trên đường rây

ột viên bi hình cầu, đồng chất, khối lượng m, bán kính

kính là :

M

R, momen quán tính đối với một đường

2

2

5

J = m R , lăn không trượt trên một đừờng rây hình nhị

ị diện là 2α Hãy tính động năng của quả cầu

c v của tâm cầu C

diện, góc nh

theo vận tố 0

Bài giải :

Động năng của quả cầu : 1 2 *

v ( ) 2

E

Với : * 1 2

2

K

E = JΩ trong đó : Ω là vectơ quay của quả cầu

E

tí : Để tính

(Cần nh Ω Ω cần viết quan hệ vận tốc của hai điểm trên vật rắn)

ø ì I thuộc quả cầu nên :

0

I = üc quả cầu : v C v e

Hai điêm C va qua cau

v C( ) (= v I quacau) + Ω × IC (1)

Với : v( quacau) và vận tốc điểm C thuô ( )= 0 x

hi chú : Do quả cầu lăn không tr quacau 0

(G ượt trên đường rây : v I( quacau) = v L( ) = Mà :

quacau = v L quacau +

v I ( Ω× LI nên : Ω × LI =0 ⇒ Ω// LI ⇒ Ω//e y ⇒ Ω = Ωe y) Biểu thức (1) trở thành : v e0 x = Ω×IC= Ω ×e y IC= ΩRsinαe x

(Ghi chú : e y ⎪

= ⎨

0

1 0

⎪

⎩

cos sin

R

α α

⎧

)

⎪

= ⎨

⎪

⎩ Suy ra :

y

z

0

sin

v

Ω =

x 2

0

K

v

Tóm lại :

⇒ 1 20 22

v 1

K

α

ìi 6 (Trang 42) : Hình trụ quay xung quanh mô

n kính R, momen quán tính đối vớ

2

J = M R , người ta gắn thêm ba khối điểm giống nhau A, B, C, có khối lượng

)

h

(hình vẽ) (A, B, C nằm trong cùng một mặt phẳng chứa trục của hình trụ

Hình trụ quay với vận tốc góc ω không đổi xung quanh trục cố định ( )∆ trong hệ quy chiếu

đang xét

2) Các kết qủa trên sẽ bằng bao nhiêu nếu ta bỏ khối điểm gắn tại C ?

1) Tính động lượng và momen động lượng của hệ đối với O

Bài giải :

Động lượng của hệ trong (R) :

Trong (R) : v( )O = ; v( )0 A = −v( )B

⇒ P=m Cv( )

à

hiếu vuông góc RS(O, e , eyS, ezS) gắn liền với vật

ho mặt phă xS, ezS) trùng với mặt phẳng

hệ R , ta có :

rắn va

ABC

0

0

ω

ω

⎧

⎪

⎪

⎩

R OC

⎧

⎪

= ⎨

h

⎪−

⇒

0 ( )

⎧

⎪

⎪

⎩

v C =R eω ⇒ P=m Rωe yS

Momen động lượng của hệ (S) đối với điểm O trong hệ

Mà :

quy chiếu R :

O

O

L =Jω+ OA m× A +OB m B×

17

ω

S

x

x

S

x

y

S

O

S

z

C

2R

2h

C

2R

ω

∆

R OA

h

−

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

0 ( )

0

⎧

⎪

= −⎨

⎪

⎩

Trong RS :

R

0

OB

h

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

0 ( )

0

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

Do đó :

L =J eω + R m eω + Rm heω +R m eω −Rm he ⇒

xS

Khi bỏ qua khối điểm gắn tại C ra thì :

=

P 0

2 ( 2 )

L = J+ mR ωe

Ta thấy L O//e z S//ω (trong trường này vật nhận trục quay (∆) làm trục đối xứng)

@ Bài 7 (Trang 43) Động năng của ổ bi :

Một ổ bi gồm n viên bi hình c

án kính R , cố định Vòng ngoa

Ω ầu đồng chất, khối lượng m Vòng trong,

1 ìi, xem như một hình trụ rỗng có khối

2, quay với vận tốc góc

b

lượng M phân bố đều trên bề mặt bán kínhï R Ω

xung quanh trục của mình Các viên bi lăn không trượt đồng thời trên

vòng trong và trên vòng ngoài Giả sử rằng các viên bi không tiếp xúc

với nhau Cho biết :Momen quán tính của một quả cầu đồng chất, kh

lượng m, bán kính r đối với một đường kính của nó là :

ối 2

2 5

Momen quán tính của vòng ngoài là : I =M R 22

Tính động năng của hệ theo M, m, R2 và vận tốc góc Ω

Bài giải :

O R2

Động năng ổ bi :E K =E Kvongngoai+nE Kbi

+ Động năng vòng ngoài :

2

2

Kvongngoai

E

+ Động năng viên bi :

1

v ( ) 2

Kbi

n bi lăn không trượt trên vòng trong nên :

I2 C

z

e

Ω = Ω

•

1

e

2

e

I1

O

R1

v( )C v( ) v(C = I1bi)+ ×ω I1

⇒ v( )C = ×ω I1C

Trong hệ tọa độ( , , )e e e1 2 3 gắn liền đoạn OC, ta có :

0

ω

ω

⎧

⎪

⎩

ì

0

r

I C

⎧

⎪

⎪

⎪

⎩

2

v( )C

2

e

ω

−

=

Tìm ω

(Cách tìm : Tìm hai điểm trên viên bi mà vận tốc đã biết, viết quan hệ vận tốc giữa hai điểm

:

này)

Ta có : v(I1bi) v(= I2bi)+ ×ω I I2 1

Viên bi lăn không trượt trên vòng trong : v(I1bi) v(= I1vongtrong) 0=

Viên bi lăn không trượt trên vòng ngoài : v(I2bi) v(= I2vongngoai)= Ω×OI2 = ΩR e2 2

2 1 ( 2 1) 2

ω× = −ω − e

Và :

Suy ra : ΩR2 =ω(R2−R1)

⇒ ω= R2 Ω

v( )

−

ó :

Từ đ

2

v ( )

Kbi

−

40

Kbi

K Kvongngoai Kbi

K

nm

ài 8 (Trang 43) : Động năng của m ïo bánh xích

ác định động năng của một máy kéo gồm hai bánh hình trụ và một dây xích, máy kéo

c của nó là :

X

chuyển động với vận tốc v0

Khung máy kéo có khối lượüng M Mỗi bánh có bán kính R, có khối lượng m phân bố đều, có

2 có khối lượng m

J = mR Dây xích (bỏ qua bề dày) là đồng chất,

e

x Khoảng cách giữa các trục của bánh xe bằng b Giả sử rằng dây xích không trượt trên mặt đất cũng như trên các bánh x

Bài giải :

Ta có : E K =E Kkhung +2E Kbanhxe+E Kxich

Khung chuyển động tịnh tiến với vận tốc v0 : 1 20

v 2

Kkhung

Kbanhxe

với ω ω= e y là vận tốc góc của bánh xe

ó :

Bánh xe không trượt trên dây xích, dây xích không trượt trên mặt đất :

Tìm ω :

19

v( )G A =0 Vận tốc tâm bánh xe : v(G O1)=vG0

⇒ v 0eGx =ωReGx ⇒ v0

R

ω=

⇒

2

0

v

Kbanhxe

R

2 0

3 mv 4

Kbanhxe

Động năng của dây xích :

Cách 1 :

Đoạn xích AB tiếp xúc với mặt đất là bất động ⇒ E K(AB)= 0

Tất cả các điểm trên đoạn xích ED có cùng vận tốc :

v( )G E =v( )G D =v(G M ∈ED)

Dây xích không trượt trên bánh xe :

v( )G E =v(G E banhxe)=v( )G A + ×ωG JJJGAE = ×ωG JJJGAE (vì v( )G A =0)

⇒ v( )G E = ×ωG JJJGAE=2R eωGx =2v0eGx

K

µ : khối lượng một đơn vị chiều dài dây xích :

x

m

µ

π

= + Đoạn xích (BCD) và (AFE) có cùng động năng :

2

1

2

π π

−

= ∫ với M là điểm trên đoạn xích AFE Mặc khác, do xích không trượt trên bánh xe : v(G M)xichAFE =v(G M)banhxe

⇒ v(G M)xichAFE =v(G M)banhxe =v(G O1)+ ×ωG O MJJJJJG1 =v 0eGx+ωR(sinϕeGx+cosϕeGz)

⇒ v(G M)xichAFE =(v0+ωRsin ).ϕ eGx+ωRcosϕeGz

R

v (M)xichAFE =v +(ωR) sin ϕ+(ωR) cos ϕeGz +2vω sinϕ

Với : v0 =Rω

Nên : 2 2

v (M)xichAFE =2v +2v sin2 ϕ ⇒ 2 2

0

v (M)xichAFE =2v (1 sin )+ ϕ

2

1

2

K

2

π π

−

x Kxich

m

π

+

⇒ 2

0

v

Kxich x

Cuối cùng : E K =E Kkhung +2E Kbanhxe+E Kxich

0

3

M

Cách 2 :

v ( ) 2

Mà : v( )G G =vG0

Trong hệ quy chiếu khối tâm R* của dây xích, mỗi điểm trên dây xích đều có giá trị vận tốc như nhau và bằng v0 ;

0

1 v 2

0

v

Kxich x

x

z

ωG

y

O

F

A

C

2

O

R

1

O

0

v G

D

z

x

E

1

O

ϕ

dϕ

F

M

1

O M

ωG×JJJJJG

21