07 35 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA ĐIỆN ĐIỆN TỬ BÀI GIẢNG TOÁN KỸ THUẬT GV Nguyễn Cao Trí Bình Dương 2/2016 1 2 1 Tên học phần TOÁN KỸ THUẬT 2 Số tín chỉ 3 (2LT+1 TH) 3 Phân bổ thời gian 60 tiết[.]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ
BÀI GIẢNG:
TOÁN KỸ THUẬT
GV: Nguyễn Cao Trí
Bình Dương 2/2016
1 Tên học phần: TOÁN KỸ THUẬT
2 Số tín chỉ: 3 (2LT+1 TH)
3 Phân bổ thời gian: 60 tiết
- Lý thuyết: 30 tiết;
- Bài tập: 30 tiết
4 Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên:
- Điểm KT giữa học phần: 30%;
- Điểm thi kết thúc học phần: 70%
5 Tài liệu học tập:
5.1 Tài liệu bắt buộc:
Lê Bá Long, “Toán kỹ thuật”
5.2 Tài liệu tham khảo:
[1] Nguyễn Kim Đính, “Hàm phức và ứng
dụng”, Trường Đại Học Kỹ Thuật Tp Hồ Chí
Minh, 1998
[2] Nguyễn Kim Đính, “Phép biến đổi Laplace”,
Trường Đại Học Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh,
1998
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN PHỨC CHƯƠNG 2: THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE
CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG LAPLACE VÀO
GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN CHƯƠNG 5: FOURIER
Trang 2CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN PHỨC
1.1 Số phức
1.2 Hàm biến phức
1.3 Giới hạn và liên tục
1.4 Đạo hàm
1.5 Điều kiện Cauchy- Riémann
1.6 Các tính chất của hàm phức
1.7 Các hàm sơ cấp
1.1 Số phức
♦ Số phức có dạng: z = x + iy
i: số ảo đơn vị; i 2 = -1
x = Re{z): phần thực của z
y = Im{z): phần ảo của z.
♦ Biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức:
6
♦ Biểu diễn số phức dưới dạng tọa độ cực:
Giá trị này được tính từ công thức:
7
♦Số phức liên hợp của z = x + iy là số:
♦ Hai số phức z1 = x1+ iy1 và z2 = x2+ iy2bằng nhau khi:
8
Trang 3♦ Số phức cũng có các tính chất tương tự như trên số
thực như:
- Giao hoán
- Kết hợp
- Phân bố
- Phần tử đơn vị:
0(0,0): Phần tử đơn vị đối với toán cộng;
1(1,0): Phần tử đơn vị đối với toán nhân.
- Số nghịch đảo
Số nghịch đảo cộng: z = (x,y) và -z = (-x,-y)
Số nghịch đảo nhân: z = (x,y)
và
9
♦ Phép cộng, trừ:
z1 ± z2 = (x1± x2) + i(y1± y2)
♦ Phép nhân:
(x1+ iy1).(x2+ iy2) = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1)
♦ Phép chia:
10
♦ Ví dụ 1: Tính
♦ Ví dụ 2: Tính x và y nếu: (x + y +2) + (x2+ y)i= 0
Giải: Viết 0(0,0) và theo định nghĩa 2 số phức bằng
nhau, ta có: x + y +2 = 0 và x2+ y = 0
Suy ra 2 nghiệm: x=2, y= -4 hoặc x= -1,y= -1
♦ Ví dụ 3:
♦ Ví dụ:……
Bài tập: Ví dụ 1.4,1.5,……1.13 quyển 1 (Hàm
phức và ứng dụng”, Trường Đại Học Quôc gia Tp
Hồ Chí Minh)
1.2 Hàm biến phức
Trang 4MỘT SỐ KHÁI NIỆM
♦ Cận (gần nhau): cận ε của điểm z 0 là tập điểm z nằm trong
đường tròn tâm z 0có bán kính ε,
♦ Điểm trong/điểm ngoài: điểm z 0của một tập điểm S được
gọi là nằm bên trong S nếu có một cận của z 0hoàn toàn nằm
trong S và được gọi là điểm ngoài của S nếu có một cận của z 0
không chứa điểm nào của S.
♦ Điểm biên: điểm z0 được gọi là điểm biên của S nếu z0
không phải điểm trong cũng không phải điểm ngoài Viis dụ |z|
= 1 là biên của tập sau: S1: |z| = 1 và S2 : |z| ≤ 1.
♦ Tập hở: S được gọi là một tập điểm hở nếu nó không chứa
điểm biên nào, tất cả các điểm của S đều là các điểm trong.
13
♦Vùng: một tập điểm chứa tất cả các điểm của một
tập mở và không/vài/tất cả các điểm biên của nó được gọi là một vùng, kí hiệuR.
♦Vùng kín ( ): một vùng được gọi là kín nếu nó chứa
tất cả các điểm biên của nó.
♦Vùng có biên: một vùng được gọi là có biên nếu tồn
tại một hằng số M > 0 sao cho tất cả các điểm z của vùng thỏa mãn |z| ≤ M, nghĩa là chúng nằm trong
đường tròn.
♦ Vùng kết hợp: một vùng vừa có biên, vừa kín thì
được gọi là kết hợp Ví dụ, vùng |z| ≤ 1 là vùng kết hợp vì nó vừa kín và vừa có biên Vùng |z| < 1 là vùng
mở và có biên
R
14
♦ Vùng liên thông: giả sử ta có n điểm z1, z2, …, zn trong
mặt phẳng Mặt phẳng đó có một đường gấp khúc gồm (n-1)
đoạn theo trình tự , , …, Một vùng được gọi là
liên thông nếu hai điểm bất kì trong các điểm của nó có thể
được nối bằng đường gấp khúc có trong vùng đó
1 2
z z z z2 3 z z n 1 n
15
♦ Miền: một vùng hở và liên thông được gọi là một miền, kí
hiệu D Ví dụ, là một miền không có biên { : 0 arg 0 }
16
Trang 5Một số miền đơn liên và đa liên thường gặp
17
♦ Hàm biến phức: Nếu với mỗi , có tương ứng duy
nhất một số phức w(z), khi đó ta nói w(z) là một hàm của biến phức z, được viết dưới dạng
z R
( )
w f z
♦ Tổng quát: f(z) có thể được viết dưới dạng
♦ Ví dụ: cho w = f(z) = z 2 tìm u(x,y) và v(x,y)
w f z z x iy
2
Vậy u(x,y) = x 2 – y 2 và v(x,y) = 2xy
18
1.2 Hàm biến phức
1.3 Giới hạn và liên tục
♦ Giới hạn:
Hàm số w = f(z) được xác định trong vùng lân cận z = z 0,
ngoại trừ tại z 0 Ta nói f(z) có giới hạn là w 0 nếu khi z → z 0 thì
f(z) → w 0 (z 0 , w 0hữu hạn)
lim ( )
z z f z w
nếu với mọi ε > 0 (đủ nhỏ) luôn có một δ > 0 sao cho
khi
0
( )
f z w 0 z z0
♦ Liên tục:
Hàm f(z) được gọi là liên tục tại z 0nếu:
lim ( ) ( )
z z f z f z
1.4 Đạo hàm
Trang 6♦ Đạo hàm của các hàm số cơ bản
21
1.5 Điều kiện Cauchy- Riémann
Giả sử f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) có đạo hàm thì các đạo hàm riêng cấp 1:
Điều kiện tồn tại df/dz là:
22
1.6 Các tính chất của hàm giải tích
Hàm giải tích có 3 tính chất thú vị và quan trọng trong 3
định lý sau:
1 Nếu hàm f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trong miền D và
nếu u và v có các đạo hàm cấp 2 liên tục trong D thì D, u
và v thỏa pt Laplace sau:
2 Nếu hàm f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trong miền D thì
trong D các đường cong của họ u(x,y) = c là những quỹ
đạo trực giao của các đường cong của họ v(x,y) = k và
ngược lại.
3 Nếu trong hàm giải tích w = u(x,y) + iv(x,y) ta thay x và y
theo z và : thì w sẽ chỉ là hàm của z mà thôi.
Với:
23
1.7 Các hàm sơ cấp
Hàm mũ
Hàm lượng giác
Hàm Hypebôn
Hàm logarit và các nhánh của nó
Hàm lũy thừa tổng quát
Hàm lượng giác ngược và Hypebôn ngược
24
Trang 71.7 Các hàm sơ cấp
Hàm mũ: Là hàm cơ bản nhất, nó còn được dùng
để định nghĩa các hàm cơ bản khác:
ez: Đơn trị và giải tích khắp nơi;
dez/dz = ez
ez trở thành ex khi Imz=0
25
Hàm lượng giác
26
Hàm lôgarit là hàm ngược của hàm mũ Cho z ≠ 0, tìm w sao cho: ew= z = r.eiθ
Hàm lôgarit được định nghĩa:
lnz = lnr + i(θ+2nπ) (- π < θ ≤ π; n Є Z)
- Nếu gọi argz = θ+2nπ = Argz +2nπ là acgumen của
z, ta có: lnz = ln│z│+ iargz (z ≠ 0)
Vậy lnz là hàm vô số trị Nếu chọn trước một số n ta
sẽ xác định được một nhánh của hàm Nếu n=0 ta sẽ được nhánh chính của hàm, ký hiệu là Lnz
Lnz = lnr + iθ ; (- π < θ ≤ π) Lnz = ln │z│ + iArgz Nhánh n của hàm lôgarit cho bởi: lnz = Lnz + i2nπ
Trang 8 Hàm lượng giác ngược và Hypebôn ngược
Các hàm này là các hàm ngược của các hàm
lượng giác và hypebôn:
29
Hàm lượng giác ngược và Hypebôn ngược
30
Hàm lũy thừa tổng quát
Cho số phức s Nếu z ≠ 0 ta định nghĩa hàm lũy
thừa của z như sau: zs= eslnz
Trong đó: lnz - là hàm vô số trị
zs- là hàm vô số trị
CHƯƠNG 2: THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Khái niệm 2.2 Định lý 2.3 Thặng dư tại các cực 2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định 2.5 Ứng dụng tính phân Laplace ngược
Trang 9Đối với các hàm giải tích trong một vùng hình khuyên
hay một vòng tròn thủng
ta có thể biểu diễn f(z) bằng chuỗi
Laurent:
34
2.1 Khái niệm
Hệ số a-1 của 1/(z-z0) trong triển khai Laurent của f(z) trong cận:
0 < │z - z0│< R của một điểm bất thường
cô lập z - z0được gọi làthặng dư của f(z) tại
z0, ký hiệu là Res{f(z); z0}
2.2 Định lý
Định lý 1:
Nếu C là một đường kín đơn và f(z) là hàm giải tích
trong và trên C ngoại trừ tại một số điểm bất thường z k
trong C thì:
c
n k
z f es R i dz
z
1
2.2 Định lý
Định lý 2: Nếu f(z) có quá nhiều điểm cực trong C, việc tính toán thặng dư cũng khá vất
vả Ta sử dụng công thức sau để tính:
z f s
i dz
z f
z
c
Trang 102.3 Thặng dư tại các cực
Một điểm bất thường cô lập a của hàm f(z)
là một cực cấp m nếu và chỉ nếu f(z) có thể viết
dưới dạng:
Trong đó: giải tích tại a và ;
Với qui ước: và 0! = 1
Ta có:
z a m
z z
f
z
a 0
! 1 1
! 1
; Re
1 1
) 1 (
dz
d m
m a z f s
m m
m a z
m a
) ( ) (
0
a
38
2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định
Định lý 1:
Nếu F(cosθ, sinθ) là một hàm hữu tỷ của cosθ và sinθ, hữu hạn trên khoảng kín 0 ≤ θ ≤ π
và nếu f(z)dz là biểu thức có được từ F(cosθ, sinθ)dθ bằng cách thay thế:
Trong đó: z1,z2,…zn là các cực của f(z) nằm trong vòng tròn đơn vị | z | = 1
n
z z f s i
d F
thì
iz
dz d
i
z z z
z
1
2 0
1 1
);
( Re 2
sin , cos :
; 2 sin
; 2 cos
39
2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định
Định lý 2:
Nếu f(z) là một hàm giải tích trong nửa mặt
phẳng trên Imz >0 ngoại trừ một số hữu hạn cực
không nằm trên trục thực và nếu zf(z) hội tụ về 0
khi z→∞ qua các giá trị sau cho:
Trong đó: z1,z2,…znlà các cực của f(z) nằm
trong nửa mặt phẳng trên
n
z z f s i
dx x f
thì
z
a
1
);
( Re 2
) (
:
arg
40
Hệ luận 1: (Trị chính Cauchy tồn tại)
Nếu f(x)= P(x)/Q(x), trong đó P(x) và Q(x)
là 2 đa thức sao cho: bậc Q(x) ≥ bậc P(x)+2 và nếu Q(x) không có nghiệm thực thì:
Trong đó: z1,z2,…zn là các cực của f(z) nằm trong nửa mặt phẳng trên
z z f s i
dx x
f
1
);
( Re 2
)
Trang 11 Hệ luận 2:
Nếu f(z) là một hàm giải tích nằm trong
nửa mặt phẳng trên ngoại trừ ở một số hữu hạn
cực không nằm trên trục thực và nếu zf(z) hội tụ
đều về 0 khi z→∞ trong nửa mặt phẳng trên, thì
với a>0 ta có:
n
iaz
n
iaz
z z f e s axdx
x
f
z z f e s axdx
x
f
1
1
);
( Re
Re 2 sin
)
(
);
( Re
Im 2 cos
)
(
42
2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định
Định lý 3:
Nếu f(z) là một hàm giải tích khắp nơi trong mặt phẳng z ngoại trừ một số hữu hạn cực không nằm trên trục thực dương và nếu zaf(z) hội tụ đều
về 0 khi z→0 và khi z→∞ thì:
Trong đó: z1,z2,…zn là tất cả các cực của (-z)a-1f(z) với điều kiện lấy argz trong khoảng(-π,π)
a
a dx
x f
x
1
1
sin )
(
2.5 Ứng dụng tính Laplace ngược
Định lý: Nếu F(s) là hàm giải tích của s ngoại trừ
tại một số hữu hạn cực nằm bên trái của đường
thẳng: Res = a, và nếu sF(s) bị chặn khi s→∞
trong nữa mặt phẳng trái Res ≤ a thì:
Trong đó: s1, s2,…snlà các cực của F(s)
n
st s e s F s s
F
1
1
L
CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE
3.1 Phép biến đổi Laplace THUẬN 3.2 Phép biến đổi Laplace NGHỊCH 3.3 Ứng dụng giải phương trình vi phân
Trang 12CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE
3.1 Phép biến đổi Laplace THUẬN
Biến đổi Laplace của hàm f(t) được định nghĩa:
0 ( ) )
( L )
BẢNG BiẾN ĐỔI LAPLACE
5 tn ; n=0,1,2 ; s> 0
6 e-atcosbt ; s> -a
7 e-at sinbt ; s> -a
8 e-attn ; s> -a
s
1
a
s 1
2
s
s
2
2 a s
a
1
!
n
s n
2 2
)
a s
2 2
)
b
1
) (
!
a n
s n
2 2 2
2 2
) (s a
a s
47
BẢNG BiẾN ĐỔI LAPLACE
13 t.u(t) = r(t) ; s> 0
14 t2/2.u(t) = p(t) ; s> 0
15 tn-1/(n-1)!.u(t) = δn-1(t) ; s> 0
16 δ(t) 1 ; s> 0
17 δ’ (t) s ;
s> 0
2
2 a s
s
) ( 1
2 R s
s
) ( 1
s
2 2
(
2
a s
as
2
2 a s
a
n
s
1
CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BiẾN ĐỔI LAPLACE
48
Trang 13CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE
3.2 Phép biến đổi Laplace NGHỊCH
Hàm f(t) cho bởi tích phân ngược phức:
i a
stds e s F i
s F t
2
1 )
( L )
49
KHAI TRIỂN HEAVISIDE
- Trong quá trình tìm biến đổi Laplace ngược của các phân số hữu tỉ P(s)/Q(s) khi gặp trường hợp bậc của mẫu Q(s) lớn hơn bậc của tử P(s) ta khai triển P(s)/Q(s) thành tổng nhiều phân số sơ cấp.
- Biến đổi Laplace ngược của các phân
số hữu tỉ là tổng các biến đổi Laplace ngược các phân số sơ cấp.
50
3.3 Ứng dụng giải phương trình vi phân:
Bước 1:
Dùng phép biến đổi Laplace biến
phương trình vi phân biến t, hàm ẩn y(t)
thành phương trình đại số biến s, hàm
ẩn Y(s).
Bước 2: Giải pt đại số đó để tìm Y(s).
Bước 3:
Dùng phép biến đổi Laplace ngược
để tìm y(t) = L-1{y(s)}.
3.3 Ứng dụng giải phương trình vi phân:
Xét phương trình vi phân hệ số hằng:
ay(t)”+by(t)’+cy(t) = f(t) với : Y(0)=y0; y’(0)=y’0.
Trong đó:
- y(t) là hàm ẩn cần tìm;
- a,b,c là các hằng số;
- f(t) là vế 2 của phương trình vi phân;
- y0, y’0 là các gía trị ban đầu của y và y’.
Lấy biến đổi Laplace của 2 vế:
a L{y(t)”} + b L{y(t)’} +c L{y(t)} = L{f(t)}
<=> a[s 2 Y(s)-sy(0)-y’(0)] + b[sY(s)-y(0)] +cY(s)= F(s)
<=> (as 2 +bs+c)Y(s) -(as+b)y0 –ay’0 = F(S).
=>
c bs as
ay y b as s F s Y
( ) (2 ) 0 0' )
(
Trang 14CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG LAPLACE VÀO
GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN
4.1 Quan hệ dòng áp
4.2 Định luật Kirchhoff
4.3 Tổng trở và tổng dẫn
4.4 Mạch điện miền -s
4.5 Hàm truyền
4.6 Giải mạch bằng hàm truyền khi điều kiện
đầu khác không
54 4.1 Quan hệ dòng áp
55
4.1 Quan hệ dòng áp
- Biến đổi Laplace
- i L (0_): dòng điện ban đầu chạy qua cuộn dây;
- vC(0_): điện ấp ban đầu giữa 2 bản của tụ;
56
4.1 Quan hệ dòng áp:
- Tổng trở của R, L, C:
Trang 154.2 Định luật Kirchhoff : (miền –t)
- Tổng dòng điện đến 1 nút bằng 0:
i1(t) + i2(t) + i3(t) + i4(t) = 0
- Tổng điện áp của vòng kín bằng 0:
v1(t) + v2(t) + v3(t) + v4(t) = 0
58
4.2 Định luật Kirchhoff: (miền –s)
- Tổng dòng điện đến 1 nút bằng 0
I1(s) + I2(s) + I3(s) + I4(s) = 0
- Tổng điện áp của vòng kín bằng 0
V1(s) + V2(s) + V3(s) + V4(s) = 0
4.3 Tổng trở và tổng dẫn
- Nghịch đảo của tổng trở Z(s) được gọi là tổng dẫn:
Tất cả điều kiện đầu bằng 0.
)
(
; 1 )
(
; 1
)
(
; ) (
) ( ) (
1
)
(
sC s
s
Y
G R s
Y
s V
s I s Z
s
Y
L
R
4.4 Mạch điện miền –s
Giải mạch trong miền –s được tiến hành như sau:
Bước 1: Chuyển từ miền –t sang miền –s bằng cách:
- Thay biến t bởi biến s
- Thay v(t), i(t) bởi V(s), I(s);
- Thay R, L, C bằng ZR(s) = R; ZL(s) = sL;
ZC(s)=1/sC;
- Thay nguồn áp và nguồn dòng độc lập vg(t), ig(t) bởi Vg(s), Ig(s);
- Giữ nguyên chiều dương giả thiết của áp, dòng, nguồn áp và nguồn dòng
Bước 2: Giải mạch miền –s để tìm V(s), I(s)
Bước 3: Chuyển từ miền –s sang miền –t bằng biến đổi Laplace ngược: v(t)= L-1{V(s)}; i(t)=L-1{I(s)}
Trang 164.4 Mạch điện miền –s
Đưa các điều kiện đầu vào mạch miền –s
4.4 Mạch điện miền –s
Dùng phép biến đổi Thevenin-Norton ta có được mạch tương đương R, L, C trong miền –s (dạng Norton):Nguồn dòng có được bằng nguồn áp chia cho tổng trở
62
4.4 Hàm truyền
4.4.1 Hàm truyền đối với một hàm vào
Gọi X(s) là hàm vào và Y(s) là hàm ra của một
mạch điện trong miền –s Người ta gọi hàm truyền
H(s) là tỉ số của hàm ra và hàm vào khi tất cả điều kiện
đầu bằng không
- X(s), Y(s): Có thể là dòng hoặc áp;
- Khi biết được H(s) ta có thể tính được Y(s) đối với
bất cứ hàm vào X(s) nào: Y(s) =H(s).X(s)
- Để tìm y(t) ta chỉ việc lấy Laplace ngược của Y(s)
Muốn tìm H(s) ta cho tất cả điều kiện đầu bằng 0,
vẽ mạch trong miền –s Sau đó tính giá trị hàm ra cần
khảo sát và chia cho hàm vào.H(s)
) (
) ( )
(
s X
s Y s
63
4.4 Hàm truyền
4.4.2 Hàm truyền đối với nhiều hàm vào
Giả sử hàm có n nguồn độc lập, ký hiệu là X1(s),
X2(s)….Xn(s) ta muốn tìm hàm Y(s) do các nguồn đó tạo nên, với tất cả điều kiện ban đầu bằng 0 Ta thực hiện như sau:
Bước 1: Chỉ cho X1(s) làm việc và cho các X(s) khác có giá trị bằng 0 Tìm Y1 (s) theoX1(s)
Bước 2, 3,…n: Tương tự bước 1
Tìm Y2,3… (s) theoX2,3…n(s)
Theo nguyên lý xếp chồng khi ta cho tất cả các nguồn X1(s), X2(s)….Xn(s) cùng làm việc, ta có:
Y(s)= Y1(s)+Y2(s)+…+Yn(s) Y(s)= H1(s) X1(s)+H2(s) X2(s)+…+Hn(s) Xn(s)
64
Trang 174.6 Giải mạch bằng hàm truyền khi đk đầu ≠ 0
Bước 1: Ta xây dựng mạch miền –s có chứa các điều
kiện ban đầu: Các nguồn áp LiL(0_) và vC(0_)/s hoặc
các nguồn dòng iL(0_) /s và CvC(0_)
Bước 2: Chỉ cho tập các nguồn độc lập làm việc, tập
các nguồn điều kiện đầu nghỉ Dùng phương pháp
hàm truyền H(s) để xác định đáp ứng cưỡng bức do
tập các nguồn độc lập tạo ra
Bước 3: Cho tập các nguồn điều kiện đầu làm việc,
tập các nguồn độc lập nghỉ Xác định đáp ứng tự
nhiên do tập các nguồn điều kiện đầu tạo ra
Bước 4: Xác định đáp ứng đầy đủ (ng.lý xếp chồng)
là tổng của đáp ứng cưỡng bức và đáp ứng tự nhiên
66