BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1

Gi ới hạn d ãy s ố

Một dãy số thực là một ánh xạ x từ tập các số tự nhiên  đến tập các số thực R

 ( ) x n thường được ký hiệu là x g n ọi là số hạng thứ n của dãy Một dãy số với các số hạng là x n thường được viết gọn là (x n )

1.1.2 Giới hạn của dãy số

Dãy (x n) được gọi có giới hạn là a nếu:

Khi đó ta cũng nói dãy (x n ) hội tụ về a Kí hiệulim n n x a

  hoặc x n a, n  Nếu dãy (x n )không hội tụ thì ta nói dãy (x n ) phân kỳ

Ví dụ Cho dãy số (x n )với n 1 x n

  do đó khi muốn x gần 1 bao nhi n êu cũng được ta đặt:

 1 ) Khi đó  n n 0 thì x n gần 1 bao nhiêu cũng được

1.1.3 Định lí Nếu dãy (x n ) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

Chứng minh Giả sử x n a và x n b a, b khi n , chọn 0

  a b   theo định nghĩa về giới hạn của dãy tồn tại n 01 ,n 02 N sao cho:

     Đặt n 0 max(n 01 ,n 02 ) Khi đó với nn 0 ta có:

2 a b  a b Điều này vô lí Vậy ab

1.1.4 Định lí Cho ba dãy (x n ), (y n ), ( )z n Nếu x n    y n z n , n N và lim n lim n n x n z a

Chứng minh Vì lim n lim n n x n z a

Cho x 0 R, -lân cận của x là khoảng số thực có dạng 0 (x 0 ,x 0  ), 0.

Gi ới hạn của h àm s ố

Cho hàm số f x( ) xác định trong một lân cận của x 0 (có thể trừ tại x 0 ) Số L được gọi là giới hạn của hàm số f x khi x d( ) ần đến x nếu: 0

  hay f x( )Lkhi x  x 0 Giới hạn của hàm số f x khi x dần đến ( ) x còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số 0 như sau:

Cho hàm số f x( ) xác định trong khoảng ( , x 0 ] (có th ể trừ tại x ) S0 ố L 1 được gọi là giới hạn trái của hàm số f x khi x d( ) ần đến x ( 0 x( , x 0 ])nếu:

Cho hàm số f x( ) xác định trong khoảng [ , )x 0  (có thể trừ tại x ) Số 0 L 2 được gọi là giới hạn phải của hàm số f x khi x d( ) ần đến x 0 (x[ , )x 0  ) nếu:

1.2.4 Giới hạn vô tận- Giới hạn ở vô cực

Cho hàm số f x( ) xác định trong một lân cận của x tr 0 ừ tại x 0 Hàm số f x có gi( ) ới hạn là

 khi x dần đến x 0 nếu với mọi M 0 lớn tùy ý tồn tại

Hàm số f x có giới hạn là ( )  khi x dần đến x 0 nếu với mọi M 0 lớn tùy ý tồn tại

Hàm số f x( ) được gọi là có giới hạn L khi x dần đến  nếu với mọi  0 tùy ý tồn tại

  Hàm số f x( ) được gọi là có giới hạn L khi x dần đến  nếu với mọi  0 tùy ý tồn tại

Ví dụ Chứng minh lim 1 1 1 x   x

Cho f x u x v x( ), ( ), ( ) xác định trong một lân cận của x có th 0 ể trừ tại x 0

Nếuu x( ) f x( ) v x( ) với mọi x thuộc lân cận đó và

   ta có bất đẳng thức cos x sin x 1

1.2.6 Một số tính chất của giới hạn hàm số i) Nếu

  thì giới hạn đó là duy nhất ii)

  (C : hằng số) iii) Nếuf x( )g x( ),x thuộc một lân cận nào đó của x 0 hoặc ở vô cực thì

   (nếu các giới hạn này tồn tại). iv) Nếu f x( )g x( )h x( ),x thuộc một lân cận nào đó của x hoặc ở vô cực và 0

  v) Giả sử các hàm số f x g x có giới hạn khi ( ), ( ) xx 0 khi đó ta có các kết quả sau :

Vô cùng bé-vô cùng l ớn

Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình, chẳng hạn khi x  x o (Những kết quả đạt được vẫn đúng trong một quá trình khác)

Hàm ( ) x được gọi là một vô cùng bé (VCB) trong quá trình x  x o nếu

Ví dụ sin , x tgx, 1 cos  x là những VCB khi x  0, còn 2 1

Cho α(x) và β(x) là hai VCB trong một quá trình nào đó (ví dụ khi x → x0) Tốc độ tiến về 0 của chúng đôi khi có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích quá trình ấy Cụ thể, ta có các định nghĩa sau để đo lường và so sánh tốc độ tiến về 0 của α(x) và β(x).

  thì ta nói ( ) x là VCB bậc cao hơn VCB ( )x trong quá trình đó (( )x d ần tới 0 nhanh hơn ( )x khi xx o )

   thì ta nói ( )x và  ( ) x là hai VCB ngang cấp trong quá trình đó (( )x và

 dần tới 0 ngang nhau khi xx o Đặc biệt khi L1 ta nói ( )x và  ( ) x là hai VCB tương đương, kí hiệu là ( )x ( )x

Ví dụ Một số VCB tương đương cơ bản khi x0 sinxx ; tgxx ; arcsinxx ; arctgxx; ( ) 2

Sinh viên có thể tự kiểm tra các tương đương này (xem như bài tập)

Ví dụ So sánh cấp của các VCB:

( ) sin cos sin lim lim lim lim 0

Do đó, ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x

Ví dụ So sánh cấp của các VCB: ( )x  1 cos ,x ( )x x 2 , x0

Do đó,  ( ) x và ( )x là hai VCB cùng cấp.

1.3.3 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao i) Nếu  ( ) x  1 ( ) x và ( )x  1 ( )x trong cùng một quá trình thì trong quá trình ấy

   ii) Cho ( )x và ( )x là hai VCB trong một quá trình và ( )x có cấp cao hơn  ( ) x Khi đó ( )x ( )x ( )x

Từ hai kết quả trên ta suy ra quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:

Giả sử  ( ) x và ( )x là hai VCB trong một quá trình nào đó  ( ) x và ( )x đều là tổng của nhiều VCB Khi đó giới hạn của tỉ số ( )

 bằng giới hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp nhất trong ( )x

Ví dụ Tìm các giới hạn sau:

 Khi x  0, ta có: sin 2 khi 0 tgx x x x x x x

.1 sin (1 cos ) 2 1 sin cos 1 2 x x x x tgx x x x

Hàm f x( ) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) trong một quá trình nào đó nếu

Ví dụ 1 , 1 , cot sin gx x x là những VCL khi x0còn x 2 , 2x1 là những VCL khi x 

Cho ( )f x và ( )g x là hai VCL trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi xx o ) Khi đó nếu lim ( )

( ) f x g x   thì ta nói ( )f x là VCL cấp (bậc) cao hơn g x (theo nghĩa ( ) f x tiến tới ( )  nhanh hơn g x ) Nếu ( ) ( ) lim 0

Trong quá trình đó, nếu f(x) ≠ g(x) thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL ngang cấp, khi α(x) và β(x) dần tiến tới ∞ theo cùng nhịp Đặc biệt khi L = 1, ta nói α(x) và β(x) là hai VCL tương đương, ký hiệu là α(x) ∼ β(x).

1) So sánh cấp của các VCL f x( ) x 3 2, g x( ) x x;  

Do đó f (x) là một VCL có cấp cao hơn g(x)

2) So sánh cấp của các VCL: f x( ) 3 x 6  2x 1 và g x( ) 4 2x 8 4x 2  2x 1 khi x 

Do đó, f x( ) 3 x 6  2x 1và g x( ) 4 2x 8 4x 2  2x 1 là hai VCL cùng cấp

1.3.6 Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

Cho f x và ( )( ) g x là hai VCL trong một quá trình nào đó, (chẳng hạn x ) và f x( ) f x 1 ( ),

( ) 1( ) g x g x Khi đó trong cùng một quá trình ấy

Từ đó ta rút ra quy tắc sau:

Giả sử f x và ( )( ) g x là hai VCL trong quá trình nào đó f x và ( )( ) g x đều là tổng của nhiều

VCL Khi đó giới hạn của tỉ số ( )

( ) f x g x bằng giới hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất trong f x và ( )

Hàm s ố li ên t ục

Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục tại x o  D nếu 0

  Khi đó x gọi là điểm li 0 ên tục của hàm f x ( )

Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục trên ( , )a b nếu f x liên t( ) ục tại mọi điểm thuộc ( , )a b Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục bên trái (bên phải) x 0  D nếu

Hàm f x( ) được gọi là liên tục trên [ , ]a b nếu f x liên t( ) ục trên ( , )a b và liên tục bên phải tại a, bên trái tại b

Nhận xét: f(x) liên tục tại x0 ∈ D khi và chỉ khi f(x) liên tục bên trái và bên phải tại x0 Nếu hàm số sơ cấp f(x) có miền xác định là D thì f(x) liên tục trên D Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì đồ thị của nó là một đường nối liền từ điểm A(a, f(a)) đến điểm B(b, f(b)).

1.4.2 Tính chất của hàm số liên tục

Giả sử f x( ), g x là hai hàm liên tục trên [ , ]( ) a b Khi đó: i) f x( )g x( ) và f x g x liên t( ) ( ) ục trên [ , ]a b , nếu g x( )0 thì ( )

Trong bài, các khía cạnh về liên tục và cực trị được trình bày như sau: f(x) và g(x) liên tục trên khoảng [a, b]; f(x) liên tục trên [a, b]; nếu u(x) liên tục tại x0 và f liên tục tại điểm u(x0) thì hàm hợp f∘u (tức f(u(x))) liên tục tại x0; và nếu f liên tục trên [a, b] thì f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó theo định lý giá trị cực trị.

Nếu f x không liên t( ) ục tại x 0 D thì ta nói f x( ) gián đoạn tại x 0 và điểm x g 0 ọi là điểm gián đoạn

Hàm f(x) gián đoạn tại x0 nhưng hai giới hạn từ phía trái và phía phải của f ở x0− và x0+ tồn tại Khi hai giới hạn này tồn tại, x0 được gọi là điểm gián đoạn loại 1 Các điểm gián đoạn còn lại được gọi là điểm gián đoạn loại 2. -**Support Pollinations.AI:**🌸 **Quảng cáo** 🌸 Dùng Pollinations.AI APIs miễn phí để tối ưu hóa SEO và cải thiện nội dung như đoạn văn trên! [Ủng hộ sứ mệnh của chúng tôi](https://pollinations.ai/redirect/kofi) để AI luôn tiếp cận rộng rãi.

Ví dụ Xét tính liên tục của hàm

Vậyf x( ) gián đoạn tạix0,vàx0 là điểm gián đoạn loại 1

Hàm số gián đoạn tại x0và

     nên x0 là điểm gián đoạn loại 1

 , có điểm gián đoạn tại x 0 2

Suy ra x 0  2 là điểm gián đoạn loại 2

Câu 1 Tìm miền xác định của hàm số a)yln 1x 2 ; ds ( 1;1) b) 1 arctan

Câu 2 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y x b) y x 2  4x 4 c) y  x x 2 d)

Câu 1 Tính giới hạn của các dãy số sau: a) lim ( 2 ) n n n n

Câu 2 Tính giới hạn sau: a)

   ; ds : không tồn tại giới hạn g) lim(2 2 2 ) x x x x

Câu 3 Tính giới hạn sau: a)

Câu 4 Tính giới hạn sau: a) cot

Câu 1 Tìm a để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng. a) 2

Câu 2 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số và chúng thuộc loại nào a) 1

2 CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Đạo h àm

2.1.1 Đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f x( ) xác định tại x 0 và tại lân cận x 0 Khi đó nếu tỉ số 0

Có giới hạn khi x tiến tới x0, ta nói f(x) khả vi tại x0 hoặc f(x) có đạo hàm tại x0, và giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f tại x0 Ký hiệu của đạo hàm là f′(x0) hay df/dx|_{x0} Như vậy, đạo hàm tại x0 cho biết mức độ biến đổi tức thời của hàm tại điểm x0 và được định nghĩa như giới hạn của tỉ lệ biến thiên (f(x) − f(x0))/(x − x0) khi x tiến tới x0.

Xét một hàm số y = f(x) Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x0 ∈ (a, b) Khi điều này đúng, đạo hàm của hàm số f trên (a, b) là một hàm xác định trên (a, b), được ký hiệu là f'(x) hoặc y'(x).

Ví dụ Xét hàm số y f x( )x 2

Ta có miền xác định của hàm số là R Đạo hàm của hàm số trên tập xác định là

2.1.2 Đạo hàm trái, đạo hàm phải Đạo hàm trái của f x t( ) ại x là: 0 0 0 0

  Đạo hàm phải của f x t( ) ại x là 0 0 0 0

Hàm số f x( ) có đạo hàm tại x khi và ch 0 ỉ khi f x'( 0  ) f x'( 0  ) Khi đó

'( ) '( ) '( ) f x  f x   f x  Nếu f x( ) có đạo hàm tại x thì ( ) 0 f x liên tục tại x 0

Ví dụ Xét tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số f x( ) x tại x 0 0

Suy ra f x liên t( ) ục bên trái và liên tục bên phải tại x 0 0 Do đó f x liên t( ) ục tại x 0 0 Xét sự tồn tại f'(0):

Do đó f x( ) không có đạo hàm tại x 0 0

Vậy hàm số f x( ) | | x liên tục nhưng không có đạo hàm tại x 0 0

2.1.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm tại một điểm

Cho đường cong ( ) :C y f x( ) Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của ( )C tại M x y( , 0 0 )( )C bằng đạo hàm của f x tại điểm ( ) x 0 và phương trình tiếp tuyến của đường cong ( )C tại

Sau đây là bảng các đạo hàm cơ bản

(cot ) ' 1 (1 cot ) sin x x x x tgx tg x x gx g x x

2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm

Nếu hai hàm ( ) u x và ( ) v x có đạo hàm tại điểm x thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm tại điểmx và:

2.1.5 Đạo hàm của hàm hợp

Xét hàm hợp y  y u x   ( ) nếu hàm y  y u ( ) có đạo hàm đối với u và uu x( ) có đạo hàm đối với x thì y  y u x   ( ) có đạo hàm đối với x và y x'( )y u u x'( ) '( )

Ví dụ Xét hàm số y   (1 x 3 10 )

Ví dụ Giả sử ( ), ( )x  x có đạo hàm với mọi xR Tính đạo hàm của hàm

Ví dụ Tính các đạo hàm của hàm số sau: 1

Lấy đạo hàm hai vế ta được: ' 1 1 ln(1 )

2.1.6 Đạo hàm của hàm ngược

Giả sử hàm số y f x( ) có hàm ngược là x f -1 ( )y , nếu y có đạo hàm tại x và 0

'( 0) 0 y x  thì hàm ngược x f -1 ( )y có đạo hàm tại y 0  f x( 0 ) và 0

Ví dụ Tính đạo hàm của y f x( )arctgx

Ta có yarctgx x tgyx y'( ) 1 tg y 2

Tương tự ta tính được đạo hàm của các hàm số ngược:

Cho hàm số f x( )có đạo hàm f x Hàm s'( ) ố f x'( ) được gọi là đạo hàm cấp một của f x ( )

Nếu f x kh'( ) ả vi thì đạo hàm của f x'( ) được gọi là đạo hàm cấp hai của f x và ký hi( ) ệu là f ''( )x Vậy f ''( ) x   f x '( ) ' 

Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n1 của f x( ) được gọi là đạo hàm cấp n của f x ( ) ký hiệu f ( ) n ( )x vậy f ( ) n ( )x  f ( n  1) ( ) 'x 

Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n của y  f x ( )  xe x

Chứng minh bằng quy nạp ta đi đến kết quả sau y ( ) n  (n x e) x

Vi phân

Cho hàm số y f x( ) xác định trên ( , )a b và x( , )a b , nếu hàm số y f x( ) khả vi tại điểm x thì số gia của hàm số tại x có thể viết được dưới dạng

        với o(x) là VCB cấp cao hơn xkhi  x 0

Biểu thức f x'( ).x được gọi là vi phân của f x tại ( ) x Ký hiệu: df x hoặc ( ) dy x tức là ( )

Xét hàm y f x( )x ta có f '( )x 1nên df x( )dx   1 x x từ đó ta có

( ) '( ) '( ). df x  f x  x f x dx Để ngắn gọn ta viết df  f x dx'( ).

Giả sử y f x x( ), ( )t là các hàm số khả vi, khi đó vi phân hàm y  f    ( ) t là

Với y = f(x), dạng vi phân của y được viết df = f′(x) dx Khi x là biến độc lập hoặc khi x là một hàm khả vi theo biến t, dạng vi phân df vẫn không thay đổi Nếu x = x(t) là một hàm khả vi của t, thì df = f′(x) dx = f′(x) x′(t) dt, cho thấy dạng vi phân của y phụ thuộc vào biến t chỉ thông qua sự biến thiên của dx/dt Tính chất này được gọi là tính bất biến của dạng vi phân, và nó cho phép phân tích sự biến thiên của y một cách nhất quán dù cách tham số hóa x như thế nào.

Ví dụ Tìm vi phân của hàm ylnx Áp dụng định nghĩa dạng vi phân ta được (ln ) dx dy d x

2.2.2 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng

Cho hàm y f x( ) khả vi tại x 0 Theo định nghĩa vi phân ta có số gia của hàm tại x là : 0

Do đó khi x khá bé ta có công thức gần đúng

Ví dụ Tính gần đúng 122

Xét hàm y f x( ) x Áp đụng công thức gần đúng f x( 0   x) f'(x 0 ) x f x( 0 ) suy ra

Ví dụ Tính gần đúng sin 29 o

Ta có sin(x 0   x) cosx 0  x sinx 0 , áp dụng cho 0 , -

Nếu hàm y = f(x) khả vi trên (a,b) thì df = f'(x) dx được gọi là vi phân cấp một của hàm f trên (a,b), trong đó dx được coi là một hằng số Vi phân của vi phân cấp một được gọi là vi phân cấp hai của hàm f trên (a,b), ký hiệu d^2f hoặc d(df), và nó bằng d^2f = f''(x)(dx)^2.

( ) [ '( ) ] [ '( ) ]' "( )( ) d f d df d f x dx  f x dx dx f x dx

Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp ( -1)n của hàm y f x( ) được gọi là vi phân cấp n của f x Ký hi( ) ệu d f t n ức là : d f n  f ( ) n ( )(x dx) n

Chú ý : Công thức d f n  f ( ) n ( )(x dx) n chỉ đúng cho x là biến độc lập

Ứng dụng đạo h àm

2.3.1 Định lí ( Quy tắc L’Hospital)

Cho f x( ), g x( )0 là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cận x 0 (x 0 hữu hạn hoặc )

    vàg x'( )0 với mọi x thuộc lân cậnx 0 Khi đó nếu

Ta có: ln 1 lim lim ln

Cho f x( ), g x( )0 là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cậnx 0 Giả sử lim ( ) lim ( ) o o x x f x x x g x

     vàg x'( )0, với mọi x thuộc lân cậnx 0 Khi đó:

Chú ý : Khi x tiến tới một quá trình nào đó (chẳng hạn x tiến tới x ), nếu 0

 g x không tồn tại thì không kết luận được cho

 g x Nếu áp dụng quy tắc L’Hospital mà giới hạn vẫn còn dạng vô định 0 0 hoặc 

 thì có thể áp dụng quy tắc L’Hospital một lần nữa và tiếp tục cho đến hết dạng vô định

  Áp dụng liên tiếp hai lần quy tắc L’Hospital ta được

1 1 1 sin sin cos lim lim lim

  Áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital ta có:

3 6 6 lim lim lim lim 6 sin 1 cos sin cos x x x x x x x x x x x x

 Đối với các dạng vô định   , 0 , 0 , 0  0 và 1  ta phải đưa các dạng vô định đó về một trong hai dạng 0 0 hoặc 

 sau đó lại áp dụng quy tắc L’Hospital

Ta biến đổi để đưa giới hạn về dạng 

1 lim ln limln lim lim 0

Ta biến đổi giới hạn để đưa về dạng 0 0 sau đó áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital

Ví dụ Tính x lim  x ln 3 x 

3ln 1 ln ln 6 ln 1 lim lim lim 3 lim lim 6 0

Vậy: x lim  ln 3  lim x 1- ln 3 1 x x x x

Ta có xsinxelnx sin x e sin ln x x Do đó

0 0 lim sin ln sin sin ln lim lim x x x x x x x x x e e 

Bây giờ ta đi tính

1 ln sin lim sin ln lim lim lim 0

0 lim sin ln lim sin x 1 x x x x x e  e

2 ln lim ln 2 lim 2 lim lim 1 1 x x x x x x x x x x x e e e e

2.3.3 Sự biến thiên của hàm số

Cho hàm số y f x( ) liên tục trên [ , ]a b và có đạo hàm hữu hạn trên ( , )a b , khi đó ta có các kết quả sau :

Nếu f x( ) luôn tăng (giảm) trên [ , ]a b thì f x'( )  0, x ( , )a b ( f x'( )  0, x ( , )a b )

Với mọi x ∈ (a,b), nếu f′(x) > 0 thì f(x) là hàm số đơn điệu tăng trên [a,b], còn nếu f′(x) < 0 thì f(x) là hàm số đơn điệu giảm trên cùng miền Hai kết quả này dựa trên định nghĩa hàm số tăng giảm, định nghĩa đạo hàm và định lý Lagrange, cho thấy mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số Sinh viên tự chứng minh như bài tập.

Từ hai kết quả trên ta có nhận xét : Nếu hàm ( )f x có đạo hàm đồng nhất bằng 0 trên [ , ]a b thì f x là hàm hằng trên [ , ]( ) a b

2.3.4 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] Theo tính chất của hàm liên tục trên miền đóng, f(x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a, b] Các giá trị này có thể xuất hiện tại các điểm biên x = a hoặc x = b hoặc tại các điểm tới hạn trong (a, b) nơi f'(x) = 0 hoặc f'(x) không tồn tại Nếu hai giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được đạt tại cùng một điểm duy nhất, thì f là hàm hằng trên [a, b].

Giả sử f là một hàm số liên tục trên [a,b] Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [a,b], ta xem xét các điểm tới hạn trong (a,b)—nơi f′(x)=0 hoặc f′(x) không tồn tại—và đồng thời đánh giá f tại hai điểm biên a và b Sau khi tính f ở các điểm tới hạn và ở biên, ta chọn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong tập các giá trị đó Đó là phương pháp tìm cực trị của hàm trên [a,b].

Để tìm các cực trị của hàm số f(x) trên đoạn [a, b], ta xác định các điểm tới hạn của f và tính các giá trị của f tại những điểm này Sau đó so sánh các giá trị cực trị với các giá trị tại biên f(a) và f(b) Giá trị lớn nhất trong tập các giá trị này là giá trị cực đại của f(x) trên đoạn [a, b], còn giá trị nhỏ nhất là giá trị cực tiểu của f(x) trên đoạn đó.

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của f trên đoạn [a,b], trước hết ta xác định các điểm tới hạn của hàm bằng Định lý Fermat Theo định lý này, các cực trị của f trên (a,b) có thể xảy ra tại những điểm x0 sao cho f'(x0)=0 hoặc tại những điểm mà đạo hàm không tồn tại; các điểm như vậy được gọi là các điểm tới hạn của f Sau khi liệt kê các điểm tới hạn, ta đánh giá f tại các điểm tới hạn và tại hai đầu mốc a và b, từ đó xác định được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f trên đoạn đã cho.

Kết quả sau cho ta điều kiện đủ để một điểm tới hạn là cực trị của hàm số

Giả sử f được xác định trên một lân cận của x0 và có đạo hàm trên lân cận đó (có thể bỏ qua x0), và x0 là điểm tới hạn của f Khi đó: i) Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x vượt qua x0 thì f(x0) là cực tiểu ii) Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x vượt qua x0 thì f(x0) là cực đại iii) Nếu f'(x) không đổi dấu khi x vượt qua x0 thì f không đạt cực trị tại x0.

Ví dụ Tìm cực trị của hàm số y f x( ) (x 1) 3 x 2

Miền xác định của hàm số là R

Bảng xét dấu của đạo hàm :

 x , với các điểm tới hạn là : 2

Ta có hàm số đạt cực đại x0 và đạt cực tiểu tại 2 x 5

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] và khả vi liên tục đến cấp hai trên (a, b) Với một điểm x0 thuộc (a, b), nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0 thì hàm f có cực đại tại x0; ngược lại, nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) > 0 thì hàm f có cực tiểu tại x0.

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x( ) 3 x(1x) 2 trên [-1,1]

Như vậy trên [-1,1] f x( ) có ba điểm tới hạn 1 3 4

3 3 f  f  f  f( 1)   3 4so sánh các giá trị ta có f x( ) đạt giá trị lớn nhất là 3 4

3 tại 1 x3, đạt giá trị nhỏ nhất  3 4 tại 1 x 

2.3.7 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong

Giả sử hàm ( )f x khả vi trên khoảng ( , )a b và có đồ thị trên ( , )a b là cung đường cong ( )C

Cung đường cong ( )C được gọi là lồi trên ( , )a b nếu mọi điểm của cung này đều nằm bên dưới tiếp tuyến bất kì của cung

Trong hình học, một cung của đường cong C được gọi là lõm trên nếu mọi điểm của cung ấy nằm bên trên tiếp tuyến tại mọi điểm của cung; ngược lại, tính chất lồi hoặc lõm của cung được xác định bởi tương quan với tiếp tuyến Hình 2.3 minh họa sự phân chia giữa cung lồi và cung lõm kề nhau trên một đường cong, và điểm phân chia này được gọi là điểm uốn của đường cong đó Để xét tính lồi, lõm của đường cong, ta có định lý sau:

Giả sử hàm f(x) khả vi đến cấp hai trên khoảng (a, b) Khi đó i) Nếu f''(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì đồ thị y = f(x) lõm trên khoảng đó; ii) Nếu f''(x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì đồ thị y = f(x) lồi trên khoảng đó.

Từ định lí 2.3 ta suy ra hệ quả sau đây :

Giả sử f(x) liên tục tại x0 và khả vi đến cấp hai trên một lân cận của x0 (có thể trừ tại x0) Nếu f''(x) đổi dấu khi x đi qua x0, thì x0 là điểm uốn của đồ thị y=f(x).

Ví dụ Xét tính lồi lõm và điểm uốn của đường cong ye  x 2

Như vậy: đường cong lồi trên khoảng 2 2

2.3.9 Tiệm cận của hàm số Đồ thị của hàm số f x gọi là có nhánh vô cực nếu ( )

   Trong trường hợp đó đường thẳng d được gọi là đường tiệm cận của đường cong ( )C của hàm f x n( ) ếu khoảng cách từ điểm M x y( , )( )C đến d dần đến 0 khi M chạy ra vô

         thì đường thẳng xa là tiệm cận đứng của ( )C

  thì đường thẳng yb là tiệm cận ngang của ( )C

    thì y ax b là tiệm cận xiên của ( )C , trong trường hợp này

 có tiệm cận đứng x 1, tiệm cận ngang y2

    : đường cong có tiệm cận đứng x2

 x   : đường cong không có tiệm cận ngang

Vậy y x 1 là một tiệm cận xiên của đường cong khi x 

Vậy y  x 1 là tiệm cận xiên thứ hai của đường cong khi x 

Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số x 3 2 4 y x

 x   : đường cong có tiệm cận đứng

 x   : đường cong không có tiệm cận ngang

( ) 4 lim lim 1 lim ( ) lim 4 0 x x x x f x x a x x b f x ax x x x

      đường cong có tiệm cận xiên yx

Ta có bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại x2 và y min 3

Giao điểm của đồ thi với trục hoành ( 3 4, 0)

BÀI TẬP CHƯƠNG II Đạo hàm

Câu 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) ysin 2 x b)ycos(x 2 3 )x c) yln(x 2 3 )x d)y x 2  x 1 tại x2 ; ds 5 7

     Tìm m để hàm số có đạo hàm tại x1; ds -2

Câu 3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau a) ysinax b) 1 y ax b

 c)ysin 2 x d) yxlnx Ứng dụng đạo hàm

Câu 1 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau a)

Câu 2 Tìm cực trị của các hàm số sau a)yxlnx; ds y đạt cực tiểu tại x1/e b)y 3x 2 sin 2 x; ds y không có cực trị

Câu 3 Tính các giới hạn sau bằng quy tắc L’hospital a)

3 CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Tích phân xác định

Cho một hàm số f xác định trên đoạn [a, b] Chia [a, b] thành n phần bằng các điểm a = x_0 < x_1 < < x_n = b; mỗi phân hoạch như vậy được gọi là một phân hoạch trên [a, b] Trên mỗi đoạn [x_i, x_{i+1}] ta chọn một điểm M_i tùy ý Khi đó tổng S_n = ∑_{i=0}^{n-1} f(M_i)(x_{i+1} - x_i) được gọi là tổng Riemann tương ứng với phân hoạch và các điểm chọn Nếu độ dài tối thiểu của các tiểu đoạn (max_i (x_{i+1} - x_i)) tiến tới 0 và f đủ điều kiện (ví dụ liên tục trên [a, b]), thì giới hạn của S_n chính là tích phân xác định ∫_a^b f(x) dx.

Tổng tích phân của hàm f trên phân hoạch P = {a = x_0 < x_1 < < x_n = b} được định nghĩa là S(P,f) = Σ_{i=1}^n f(x_i^*) (x_i - x_{i-1}), với x_i^* ∈ [x_{i-1}, x_i] và Δx_i = x_i - x_{i-1} Khi số điểm chia tăng lên và max Δx = max_i (x_i - x_{i-1}) → 0, nếu giới hạn của S(P,f) tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn phân hoạch hay vào điểm chọn x_i^*, thì f được gọi là khả tích trên [a,b], và giá trị của tích phân Riemann là giới hạn lim_{max Δx → 0} S(P,f) Định nghĩa này cho phép biểu diễn diện tích hoặc tích lũy của f trên đoạn [a,b] qua các phân hoạch và các điểm chọn khác nhau.

  a b , và cách lấy điểm M i thì giới hạn S gọi là tích phân xác định của f x trên ( )   a b , và ký hiệu ( ) b a f x dx

 Vậy theo định nghĩa : max 0

f(x) được gọi là hàm khả tích trên đoạn [a,b], và đoạn [a,b] được coi là khoảng lấy tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f(x) là hàm dưới dấu tích phân và x là biến tích phân Trong trường hợp b < a, ta định nghĩa: ∫_a^b f(x) dx = - ∫_b^a f(x) dx.

  nếu ba ta định nghĩa ( ) 0 a a f x dx

Bây giờ ta xem hình thang cong giới hạn bởi trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b và đồ thị f(x) ≥ 0, liên tục trên [a, b] Ta chia khoảng [a, b] thành n phần bằng cách chọn các điểm a = x1 < x2 < < xn = b, mỗi phép phân hoạch trên [a, b] được gọi là một phân hoạch Trên mỗi đoạn [x_i, x_{i+1}] ta lấy một điểm M_i bất kỳ, dựng các hình chữ nhật có chiều rộng Δ_i = x_{i+1} − x_i và chiều cao f(M_i) Tổng diện tích của các hình chữ nhật này là S_n = ∑_{i=1}^{n−1} f(M_i) Δ_i, đây là tổng Riemann của hàm f trên [a, b].

   ta thấy rằng nếu phân hoạch đoạn [ , ]a b sao cho n khá lớn,

   khá bé thì diện tích S xấp xỉ bằng diện tích hình thang cong Từ đó ta đi đến định n nghĩa diện tích hình thang cong như sau:

Nếu S d n ần đến giới hạn S khi n  thì Sđược gọi là diện tích hình thang cong Như vậy diện tích hình thang cong nói trên chính là ( ) b a f x dx

 Đây cũng chính là ý nghĩa hình học của tích phân xác định Hình 3.1

3.1.2 Định lí (Điều kiện tồn tại tích phân xác định)

Nếu hàm f x liên t( ) ục trên [ , ]a b thì nó khả tích trên đoạn đó

 cdx với c là hằng số

Hàm f x( )c liên tục trên [ , ]a b nên khả tích Ta thành lập tổng tích phân của f x( )c với một phân hoạch bất kì:

Ta có hàm số tính tích phân liên tục trên đoạn [0,1] nên khả tích trên đoạn đó Ta phân hoạch đoạn [0,1] thành nđoạn nhỏ bằng nhau và bằng 1 n, chọn 1 i i

3.1.3 Các tính chất của tích phân xác định

Giả sử f x g x là các hàm kh( ), ( ) ả tích trên   a b , khi đó:

) ( ) v f x khả tích trên   a b , và b ( ) b ( ) a a f x dx  f x dx

Hàm F x( ) được gọi là một nguyên hàm của f x trên ( , )( ) a b nếu

Ví dụ tg x là m( ) ột nguyên hàm của 1 tg x 2 trên R \  2 n  1   2 , sinx100 là một nguyên hàm của cos x …

Có thể chứng minh rằng nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên một miền, ví dụ trên đoạn [a, b], thì mọi nguyên hàm của f(x) trên miền đó đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số Các nguyên hàm này được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), được ký hiệu bằng ∫ f(x) dx.

 trong đó dấu  được gọi là dấu tích phân, f x( ) là hàm dưới dấu tích phân, f x dx là biểu thức ( ) dưới dấu tích phân và x là biến số tích phân

Từ định nghĩa ta có thể rút ra một số tính chất của tích phân bất định:

) C f x dx C f x dx ii    , C là hằng số

Việc chứng minh các tính chất trên xem như bài tập

3.1.5 Định lí (Công thức Newton–Leibnitz)

Cho hàm số f x liên tục trên ( )   a b và , F x là một nguyên hàm của ( ) f x( ) trên đoạn đó Khi đó

Nhận xét: Theo công thức Newton–Leibnitz tích phân xác định không phụ thuộc vào ký hiệu của biến dưới dấu tích phân, nghĩa là

Công thức Newton–Leibniz cho thấy mối quan hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định của một hàm số Áp dụng công thức này, ta có thể tính tích phân xác định một cách nhanh chóng và chính xác mà không cần dựa vào việc phân hoạch miền hay các phương pháp xấp xỉ khác.

3 x là một nguyên hàm của f x( )x 2 theo công thức Newton–Leibnitz

 hàm số ln(cos )x là một nguyên hàm của tgx nên

0 ln(cos ) ln( 2) ln(1) ln 2 tgxdx x 2

Để tính tích phân xác định bằng công thức Newton–Leibnitz, ta cần tìm một nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân Có nhiều phương pháp để tìm nguyên hàm của một hàm số cho trước: nhận diện các nguyên hàm quen thuộc từ bảng tích phân, áp dụng thay biến số để đưa tích phân về dạng có nguyên hàm đã biết, sử dụng tích phân từng phần khi xuất hiện một tích của hai hàm hoặc khi một hàm dễ đạo hàm và phần kia dễ tích phân, phân tích phân thức để áp dụng phương pháp phân tích phân thức và các công thức tích phân cơ bản, và khi cần dùng biến đổi lượng giác hoặc các công thức lượng giác để rút gọn hàm số; ngoài ra tham khảo bảng tích phân chuẩn và các biến thể của bài toán sẽ giúp xác lập nguyên hàm nhanh chóng, từ đó cho phép tính tích phân xác định bằng cách đánh dấu giới hạn và áp dụng định lý Newton–Leibnitz.

Tích phân bất định của một số hàm số cơ bản có được liệt kê như sau: kdx kx C

 cos(ax b dx) 1sin(ax b) C, (a 0)

 sin(ax b dx) 1cos(ax b) C, (a 0)

2 (1 cot ) cot sin dx g x dx gx C x    

( ) , ( 0) cos ( )dx tg ax b C a ax b a   

( ) , ( 0) sin ( )dx cotg ax b C a ax b  a   

Trong nhiều trường hợp, hàm dưới dấu tích phân không đơn giản và không có dạng như các hàm cơ bản đã nêu, nên ta phải biến đổi hàm dưới dấu tích phân để có thể áp dụng các tích phân cơ bản Có hai phương pháp để biến đổi tích phân trong trường hợp này, nhằm đưa hàm dưới dấu tích phân về dạng có thể thực hiện các tích phân cơ bản một cách hiệu quả.

3.1.6 Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến trong tích phân bất định có thể chia làm hai dạng

Dạng 1: Đặt x( )t , trong đó ( )t là hàm khả vi và đơn điệu đối với biến t Ta có:

 x Đặt xt 3 , x khả vi và đơn điệu với mọi t , suy ra dxx t dt'( ) 3t dt 2

3 sin 3cos 3cos x t t dx tdt t C x C x  t       

Ví dụ Tính  1 x dx 2 Đặt sin , arcsin , ( 1 1)

2 2 x t    t   t x   x Ta có dxx t dt'( ) costdt

1 1 sin cos cos cos (cos 0 )

Dạng 2: Đặt uu x( ) trong đó u x là hàm khả vi Ta có ( )

 Đặt u e x duu x dx'( ) e dx x Suy ra

3 3 x x x x x e dx u du u du e u u u e u arctg u e arctg e C

Ví dụ Tính sin 2 4 cos 4 xdx x

 Đặt ucos 2 x du u x dx'( )  2sin cosx xdx Suy ra

  Đặt u x 2 du2xdx , khi đó:

Để tính tích phân xác định bằng phương pháp đổi biến, đặt x = φ(t) với φ có đạo hàm liên tục trên [α, β], và φ(α) = a, φ(β) = b Khi t biến thiên trên [α, β], x biến thiên trên [a, b], nên tích phân ∫_a^b f(x) dx được chuyển đổi sang một tích phân trên [α, β] là ∫_α^β f(φ(t)) φ'(t) dt Phương pháp này giúp tối ưu hóa việc đánh giá tích phân bằng cách chọn φ sao cho công thức trở nên đơn giản hoặc thuận tiện cho việc ước lượng.

I  x x dx Đặt sin , (0 ) cos x t  t 2  dx tdt

1 sin 1 sin cos sin cos

I x x dx t t tdt t tdt tdt t dt x t

  Đối với dạng 2: Đặt uu x( ) với u x( ) đơn điệu, khả vi liên tục trên [ , ]a b và f x dx trở thành ( ) g u du thỏa ( ) ( ) g u liên tục trên [ ( ), ( )]u a u b Khi đó

2 2 cos 1 sin cos cos sin (sin ) x x

     Đặt usinxducosxdx và 2

3.1.7 Phương pháp tích phân từng phần

Nếu uu x v( ), v x( ) là hai hàm khả vi liên tục trên một khoảng nào đó, khi đó: udv uv vdu

Công thức tích phân từng phần là ∫ u dv = uv − ∫ v du Thay vì tính trực tiếp tích phân của biểu thức udv ta có thể tính tích phân theo dạng v du khi cách đặt u và dv phù hợp giúp bài toán dễ dàng hơn Để tính ∫ f(x) dx bằng phương pháp tích phân từng phần, ta phân tích f(x) thành f(x) = g(x) h'(x) (hoặc f(x) = g'(x) h(x)) và sau đó đặt u = g(x), dv = h'(x) dx (hoặc ngược lại), từ đó thu được uv và ∫ v du để hoàn tất phép tính.

Việc chọn u và dv ở trên, cần thực hiện sao cho u' đơn giản và v h x dx( ) d ễ tính

Các dạng tích phân sau đây được tính bằng phương pháp tích phân từng phần với cách đặt tương ứng:

P x xdx P x arctgxdx P x arc gxdx P x xdx P x xdx

     đặ t n ( ) dvP x dx với P x n ( ) là đa thức bậc n theo x

Ví dụ Tính I(2x3)e dx 2 x Đặt 2 2

I   e e dx  e  e   C x e C Áp dụng vào tích phân xác định ta tiến hành như sau:

Nếu u x v x là hai hàm khả vi liên tục trên [ , ]( ), ( ) a b Khi đó b b b a a a udvuv  vdu

Cách đặt tương tự như trong tích phân bất định

Ví dụ Tính các tích phân sau:

) ln e i I  xdx Đặt ln dx u x du dv dx x v x

 Đặt cos sin x x u e du e dx dv xdx v x

 , ta tiếp tục tích phân từng phần J 1 Đặt sin cos x x u e du e dx dv xdx v x

Như vậy ta đã xây dựng khái niệm và chỉ ra cách tính tích phân trong trường hợp các cận lấy tích phân là hữu hạn và hàm lấy tích phân liên tục Dưới đây chúng ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân với trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn và trường hợp hàm dưới dấu tích phân không xác định, ta gọi chung là tích phân suy rộng.

Tích phân suy r ộng

3.2.1 Tích phân suy rộng loại một

Xét hàm số f x( ) xác định trên [ ,a ), khả tích trên mọi đoạn [ , ],a b  b a Ta định nghĩa tích phân suy rộng của f x trên [ ,( ) a ) là lim ( ) b b a f x dx

Nếu giới hạn trên là hữu hạn ta nói ( ) a f x dx

  hội tụ, nếu giới hạn vô hạn hoặc không tồn tại ta bảo tích phân phân kì

Về phương diện hình học tích phân suy rộng ( ) a f x dx

  biểu thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình 3.2

1 1 lim lim ln lim ln ln1

Tương tự ta cũng định nghĩa tích phân suy rộng với khoảng lấy tích phân là (, ]b và ( , )

Tích phân suy rộng của f x trên (( ) , ]b là lim ( ) , ( ) b a a f x dx a b

   , nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói ( ) b f x dx

  hội tụ, ngược lại ta bảo tích phân ( ) b f x dx

  phân kì, về phương diện hình học tích phân suy rộng ( ) b f x dx

  biểu thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình 3.3

Tích phân suy rộng của f x trên (( )  , ) là lim ( ) b a a b f x dx

  Với giả thiết f x khả tích trên mọi khoảng [ , ]( ) a b , như vậy ta có thể viết

  h ội tụ    c f x dx ( ) và   c f x dx ( ) cùng h ội tụ.

2 2 lim lim a arctgc arctga b arctgb arctgc arctgc   arctgc 

3.2.2 Định lí (Tiêu chuẩn hội tụ thứ nhất)

Cho f x g x là hai hàm không âm trên [ ,( ), ( ) a ), khả tích trên mọi khoảng [ , ]a b và ( ) ( ) f x g x Khi đó i) Nếu ( ) a g x dx

3.2.3 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ hai)

Cho f x g x là hai hàm không âm trên [ ,( ), ( ) a ), khả tích trên mọi khoảng [ , ]a b Khi đó i) Nếu ( ) lim , 0

 g x     thì các tích phân ( ) a f x dx

  và   a g x dx ( ) sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ ii) Nếu ( ) lim 0

  hội tụ suy ra ( ) a f x dx

  h ội tụ iii) Nếu ( ) lim ( ) x f x

  phân k ỳ suy ra   a f x dx ( ) phân k ỳ

Ví dụ Xét sự hội tụ của các tích phân sau

  phân kì Suy ra tích phân

  phân kì nên tích phân đã cho phân kì Trường hợp f x có dấu tùy ý ta có kết quả sau ( )

3.2.4 Định lí (Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ)

  h ội tụ th ì   a f x dx ( ) h ội tụ.

Khi đó ta nói ( ) a f x dx

  hội tụ tuyệt đối còn nếu ( ) a f x dx

  hội tụ thì ta nói ( ) a f x dx

Ví dụ Xét sự hội tụ của 2

  hội tụ tuyệt đối Chú ý Các tích phân ( ) , ( ) b f x dx f x dx

    cũng có những định lý tương tự.

3.2.5 Tích phân suy rộng loại hai

Xét hàm số f x khả tích trên ( ) [ , ],a c c a:  c b và lim ( ) x b

   Khi đó, ta định nghĩa tích phân suy rộng của f x trên [ , )( ) a b là lim c ( ) c b a f x dx

   ký hi ệu là b ( ) a f x dx

   hữu hạn thì ta nói b ( ) a f x dx

 hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ Về phương diện hình học tích phân suy rộng ( ) b a f x dx

 biểu thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình vẽ 3.4

  lim c  1   0 c 1  1 x 2 dx lim arcsin 1  0  lim arcsin 1 2 c c x c c 

Tương tự như trên ta xét tích phân với f x khả tích trên [ , ],( ) c b c a:  c b và lim ( ) x a

   Khi đó, ta định nghĩa tích phân suy rộng của f x tên ( , ]( ) a b là lim b ( ) c a c f x dx

   hữu hạn thì ta nói b ( ) a f x dx

 hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ Về phương diện hình học tích phân suy rộng ( ) b a f x dx

 biểu thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình 3.5

 x c lim  0  1 c dx x c lim ln  0  x 1 c c lim ( ln )  0  c

 Suy ra 1 o  dx x phân kỳ

Bây giờ ta xét hàm số f x( ) xác định trên [ , ] \ , (a b c c( , ))a b và lim ( ) x c f x

  , định nghĩa tích phân suy rộng của f x trên [ , ]( ) a b là tổng của hai tích phân suy rộng như sau:

 được gọi là hội tụ nếu c ( ) a f x dx

 và  c b f x dx ( ) cùng hội tụ Về phương diện hình học tích phân suy rộng ( ) b a f x dx

 biểu thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình 3.6

Ví dụ Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng

1 1 1 lim lim lim 1 c c c c dx dx c x   x   x   c

Dưới đây là các tiêu chuẩn so sánh cho tích phân suy rộng của hàm f x trên khoảng ( ) [ , )a b Các trường hợp tích phân suy rộng của f x v( ) ới f x( ) gián đoạn tại ahoặc c, (a c b) ta cũng có những tiêu chuẩn tương tự.

3.2.6 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ nhất)

Cho f x g x là hai hàm không âm, ( ), ( ) f x( )g x( ) trên [ , ], (a c a c b), và khả tích trên mọi khoảng [ , ]a c Khi đó i) Nếu ( ) b a g x dx

 h ội tụ th ì  b a f x dx ( ) h ội tụ ii) Nếu ( ) b a f x dx

3.2.7 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ hai)

Cho f x g x là hai hàm không âm trên [ ,( ), ( ) a ), khả tích trên mọi khoảng [ , ], (a c a c b) Khi đó i) Nếu ( ) lim , 0

     thì các tích phân suy rộng ( ) b a f x dx

 và b a  g x dx ( ) sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. ii) Nếu ( ) lim 0

 hội tụ suy ra ( ) b a f x dx

 hội tụ iii) Nếu ( ) lim ( ) x f x

 phân k ỳ suy ra b a  f x dx ( ) phân k ỳ

Trong trường hợp f x g x có d( ), ( ) ấu tùy ý ta có

3.2.8 Định lí (Sự hội tụ tuyệt đối)

 h ội tụ th ì b a  f x dx ( ) h ội tụ

Khi đó ta nói ( ) b a f x dx

 hội tụ tuyệt đối, còn nếu ( ) b a f x dx

 hội tụ thì ta nói ( ) b a f x dx

Thông thường đối với tích phân suy rộng dạng này , người ta thường so sánh với các tích phân sau:

 nếu gián đoạn tại a và

 nếu gián đoạn tại b Nếu ( ) a  f x dx

 gián đoạn tại a thì ( ) b ( ) ( ) a  f x dx a f x dx b  f x dx

   , tích phân ban đầu hội tụ nếu hai tích phân sau đồng thời hội tụ

Ví dụ Xét sự hội tụ 2

Ví dụ Xét sự hội tụ 1

Ứng dụng tích phân

3.3.1 Tính diện tích hình phẳng

Cho hàm số f x liên tục và ( ) f x( )0 trên [ , ]a b Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong f x( ) và hai đường thẳng xa x, b và trục Ox là

Hàm số f x liên t( ) ục [ , ]a b thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong f x và ( ) hai đường thẳng xa x, b và trục Ox là | ( ) | b a

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong f x và ( )( ) g x liên tục trên [ , ]a b và hai đường thẳng xa x, b cho bởi công thức sau | ( ) ( ) | b a

Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số ( )

  với x t( ), ( ),y t x t là các hàm liên '( ) tục trên [ , ]t t 1 2 Khi đó diện tích phẳng giới hạn bởi đường cong và các đường thẳng xa x, b và trục Ox cho bởi công thức :

Trong quá trình tính diện tích hình phẳng ta nên chú ý đến tính chất đối xứng của hình phẳng để việc tính diện tích đơn giản hơn

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườn yx 2,

2 y x và y2x Để tính diện tích này ta chia nó làm hai phần, phần thứ nhất ứng với

[0, 2] x phần thứ hai ứng với x[2, 4]

Diện tích hình phẳng đã cho là S  S 1 S 2 4 Hình 3.7

Ví dụ tính diện tích hình elip

2 2 1 x y a b  Đường elip chính tắc đối xứng qua các trục tọa độ nên diện tích là :

Ví dụ Cho phương trình tham số của đường cycloid:

Với 0 t 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cycloid với trục hoành trên 0 t 2

3.3.2 Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể được giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a và x = b với a < b Giả sử diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại vị trí x được ký hiệu là S(x), S(x) là một hàm liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó thể tích của vật thể được tính bằng công thức V = ∫_a^b S(x) dx.

Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi elipsoid

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ là x thiết diện nhận được là một elip có phương trình

Diện tích của elip này là :

Thể tích của vật thể là

Trường hợp vật thể tròn xoay ta có :

Cho hình thang cong giới hạn bởi đường cong f(x) liên tục trên đoạn [a, b], trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b quay quanh trục Ox để hình thành một vật thể tròn xoay Các mặt cắt vuông góc với trục Ox tại mọi x thuộc [a, b] là các hình tròn có tâm nằm trên Ox và bán kính bằng f(x) Diện tích của mặt cắt tại x là S(x) = π [f(x)]^2 Vậy thể tích của vật thể tròn xoay được tính bằng V = ∫_a^b π [f(x)]^2 dx.

Ví dụ Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi elip x 2 2 y 2 2 1 a b  khi nó quay quanh trục Ox

  a  Theo công thức ta có

Cho cung đường cong AB có phương trình y = f(x), f′(x) liên tục trên [a,b] Độ dài của cung AB được tính theo công thức l = ∫_a^b sqrt(1 + (f′(x))^2) dx, như minh họa ở Hình 3.13 Trường hợp cung AB được cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t) với t thuộc một khoảng [α,β], độ dài cung được tính bằng l = ∫_α^β sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt.

Trong đó  ( ),t ( )t là các hàm số có đạo hàm liên tục  t [ , ]t t 1 2 Độ dài cung AB được tính theo công thức :

Ví dụ Tính độ dài cung 2 , 0 1

Ví dụ Tính độ dài cung của đường cycloid: (Hình 3.14)

 Theo công thức ta có

3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay

Xét mặt tròn xoay sinh ra do cung AB là biểu diễn của hàm

( ) 0 f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [ , ]a b quay xung quanh trục Ox Hình 3.15 Diện tích mặt tròn xoay này tính theo công thức :

Trường hợp cung AB ở trên cho bởi phương trình tham số

( ), ( ), xx t y y t a t b thì diện tích mặt tròn xoay được tính

Ví dụ Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung xa t( sin ),t ya(1 cos ) t , 0 t 2 khi quay quanh Ox Theo công thức trên diện tích cần tính là :

BÀI TẬP CHƯƠNG III Tích phân bất định

Câu 1: Tính các tích phân sau: a) 2 sin cos 4 xdx x

 ; ds ln(cos + cosx 2 x 4) C b) sin(ln )x dx

 ; ds ln x   4 ln x   2 C d) (2 3 cot 2 x dx) ; ds 3cotx 5x C e) 2 x x

Câu 2 Tính các tích phân sau a)  x arctgx dx b) ln xdx  c)  xcosxdx d) x arctgx dx 1 2

Câu 3 Tính các đạo hàm a)

( ) 1 x f x   t dt b) f x ( )  cos sin  x x cos( ) t dt 2

Câu 1: Tính tích phân sau: a)

Câu 2: Tính tích phân sau: a)

I xe dx x ; ds e e e (  1) b) I 2 1 x cos xdx

Câu 1 Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau: a)

Câu 2 Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau: a)

 ; ds hội tụ Ứng dụng tích phân

Câu 1 Tính diên tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y 2 2 ,x x 2 2y ; ds 4

3 b)y x 2 4,y x 4; ds 1/6 Câu 2 Tính thể tích các vật thể cho bởi: a) y 2x x 2 ,y0 xoay quanh trục Ox ; ds 16

15 b) yx y 2 , 1 xoay quanh trục Oy ; ds 1

2 Câu 3.Tìm độ dài của đường cong a) 9y 2 4(3x 2 ) nằm giữa các giao điểm của nó với trục tung b) 2y x 2 2 nằm giữa các giao điểm của nó với trục hoành

4 CHƯƠNG IV LÝ THUY ẾT CHUỖI

Chu ỗi số

Cho dãy số vô hạn a a 1 , 2 , ,a n Ta gọi tổng vô hạn a 1   a 2 a n là một chuỗi số, ký hiệu là

1, 2, , n a a a được gọi là các số hạng của chuỗi số, a n được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi.

  được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số

Nếu tồn tại hữu hạn lim n n S S

  hội tụ và S gọi là tổng của chuỗi, ký hiệu

  Ngược lại, ta nói chuỗi

Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:

Ta có S n 0 với n chẵn và S n  1 với n lẻ suy ra lim n n S

 không xác định do đó chuỗi

 Đây là cấp số nhân vô hạn với công bội là q nên  1 

Nếu q 1 thì chuỗi phân kỳ như đã xét ở trên

  ) Do đó chuỗi hội tụ

  ) Do đó chuỗi phân kỳ.

 h ội tụ khi q  1 , phân k ỳ khi q  1

4.1.2 Định lí (Điều kiện cần của chuỗi số hội tụ)

Từ định lí có thể suy ra: nếu lim n 0 n a

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

 nên chuỗi đã cho phân kỳ

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi 1  2 

      nên chuỗi đã cho phân kỳ.

4.1.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ i) Nếu chuỗi

  hội tụ và có tổng là S thì chuỗi

  ( c : hằng số) cũng hội tụ và có tổng là cS (nghĩa là

  hội tụ và có tổng lần lượt là S S thì chu 1 , 2 ỗi  

 cũng hội tụ và tổng là S 1 S 2 Tức là:  

Định lý hội tụ cho chuỗi cho thấy tính hội tụ không thay đổi khi ta thêm vào hoặc bớt ra một số hữu hạn các số hạng Nói cách khác, nếu một chuỗi có hội tụ thì việc loại bỏ hoặc bổ sung một lượng hữu hạn số hạng sẽ không làm mất tính hội tụ, và ngược lại, chuỗi ban đầu cũng có hội tụ khi sau khi bỏ đi hoặc thêm vào một số hạng hữu hạn.

Ví dụ Tính tổng (nếu có) của chuỗi 2 1

  Vì chu ỗi  n   0       1 2 n hội tụ có tổng là

  hội tụ có tổng là 2

 Suy ra chuỗi đã cho hội tụ và có tổng là 1 3 7

Chu ỗi số dương

Chuỗi  n   1 a n được gọi là chuỗi số dương nếu a n  0, n Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương ta có các tiêu chuẩn sau:

4.2.1 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh 1)

  Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho 0

  hội tụ suy ra chuỗi

  phân kỳ suy ra chuỗi

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

  hội tụ theo định lý trên chuỗi 3

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi 3

  phân kỳ ( tự chứng minh) suy ra 3

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

4.2.2 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh 2)

  Giả sử tồn tại lim n x n a k

 b  Khi đó: i) nếu k0 thì chuỗi

  hội tụ ii) nếu k  thì chuỗi

  phân k ỳ suy ra  n   1 a n phân k ỳ iii) nếu 0  k thì hai chuỗi a n

  và   b n có cùng tính chất

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

4.2.3 Định lí (Tiêu chuẩn D’Alembert)

  Giả sử tồn tại lim n 1 x n a D a

  Khi đó nếu D1 thì chuỗi hội tụ, nếu D1 thì chuỗi phân kỳ.

Nếu D1 thì chưa có kết luận nhưng nếu tồn tại n 0 0 sao cho n 1 1, 0 n a n n a

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

Ta có 1 ( 1)! 1 1 1 1 lim lim lim lim

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

  là dãy số tăng và hội tụ về số e nên

    Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.

4.2.4 Định lí (Tiêu chuẩn Cauchy)

  Giả sử tồn tại lim n n n a D

  Khi đó nếu D1 thì chuỗi hội tụ, nếu D1 thì chuỗi phân kỳ.

Nếu D1 thì chưa có kết luận nhưng nếu tồn tại n 0 0 sao cho n a n   1, n n 0 thì chuỗi phân kỳ

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

Ta có 2 1 2 1 2 lim lim lim 1

      V ậy chuỗi đ ã cho h ội tụ

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.

4.2.5 Định lí (Tiêu chuẩn tích phân)

Cho hàm số y f x( ) liên tục, không âm và giảm trên [1,+ ) Khi đó chuỗi số

  và tích phân suy rộng

  cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

  h ội tụ khi   1 ; phân k ỳ khi   1 và x 1  liên tục, không âm và giảm trên [1,+ ) Do đó

  hội tụ khi  1; phân kỳ khi  1

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

Xét tích phân suy rộng

  v ới xln1 x gi ảm v à liên t ục trong [2,+ )  Ta có

Vậy tích phân suy rộng phân kỳ do đó chuỗi đã cho phân kỳ.

Chu ỗi có dấu bất kỳ

4.3.1 Định lí (Chuỗi hội tụ tuyệt đối)

  h ội tụ th ì chu ỗi  n   1 a n đ ã cho c ũng hội tụ.

  ở định lý trên được gọi là hội tụ tuyệt đối Nếu chuỗi

  h ội tụ th ì chu ỗi  n   1 a n g ọi l à bán h ội tụ.

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi 2

  hội tụ (theo định lý so sánh) nên chuỗi 2

  phân k ỳ thì chu ỗi  n   1 a n chưa chắc phân kỳ Tuy nhiên, nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy để có chuỗi

  phân k ỳ th ì chu ỗi  n   1 a n c ũng phân kỳ

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi 3

  phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert Suy ra 3

Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng

 ho ặc  n   1 ( 1)  n  1 a n v ới a n    0, n 0 Ta có kết quả sau về sự hội tụ của chuỗi dan dấu

 ho ặc  n   1 ( 1)  n  1 a n N ếu d ãy s ố dương a a 1 , 2 , , a n , gi ảm và dần tới 0 khi n  thì chuỗi đan dấu hội tụ Gọi S là tổng của chuỗi này thì 0 S a 1

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1

Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu, các số hạng giảm dần tới 0 khi n  nên chuỗi này hội tụ

  phân kỳ Vậy chuỗi đã cho bán hội tụ.

Chu ỗi h àm

Cho dãy các hàm số a x 1 ( ), ( ), , ( ), a x 2 a x n cùng xác định trên miền D Khi đó tổng

  được gọi là chuỗi hàm

  được gọi là hội tụ tại x 0 D nếu chuỗi số 0

  hội tụ Tập hợp tất cả các điểm tại đó chuỗi

  hội tụ được gọi là miền hội tụ của chuỗi đó

Có một số chuỗi hàm mà ta có thể tìm được miền hội tụ của nó bằng cách sử dụng các định lý ở phần trước.

  hội tụ khi và chỉ khi x1nên miền hội tụ của chuỗi hàm này là (1,+ )

Ví dụ Tìm miền hội tụ của chuỗi

Chuỗi này hội tụ khi và chỉ khi x 1 nên miền hội tụ của chuỗi này là (-1,1)

Sau đây ta xét một loại chuỗi hàm thông dụng nhất là chuỗi lũy thừa.

Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng 0

Bằng cách đặt X  x x 0 chuỗi (1) thành chuỗi (2) Vậy ta chỉ cần khảo sát chuỗi (2).

  hội tụ tại x x 0 0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm

Từ định lí trên suy ra: nếu chuỗi luỹ thừa

  phân k ỳ tại x   x 0 0 thì chuỗi phân kỳ tại mọi x  ( , x 0 )(x 0 ,)

  Nếu tồn tại số r0 sao cho chuỗi hội tụ   x ( r r, ) và phân kỳ      x ( r) ( ,r ) thì rđược gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.

Nếu không tồn tại số r0 như trên ta nói bán kính hội tụ của chuỗi là r0

Để xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa, ta bắt đầu bằng việc tìm bán kính hội tụ r, rồi khảo sát sự hội tụ của chuỗi tại hai đầu mút x = −r và x = r để xác định phạm vi hội tụ trên biên Dưới đây là phương pháp cụ thể để tìm bán kính hội tụ.

  thì bán kính hội tụ r của chuỗi luỹ thừa

  được xác định như sau:

Ví dụ Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi

  là chuỗi đan dấu có các số hạng giảm và dần về 0 nên chuỗi hội tụ Tại x1 ta có chuỗi

  là chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ là D[1,1)

Câu 1 Tìm tổng của các chuỗi sau a) e n  

Câu 2 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau : a)

  ; ds h ội tụ h)  n   1    3 2 n n 2 2   1 2    n ; ds h ội tụ k)

  ; ds bán hội tụ Câu 3 Bán kính hội tụ của các chuỗi sau: a)

Câu 4 Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: a)

5 CÁC ĐỀ THI MẪU ĐỀ THI GIỮA KÌ MÔN: TOÁN CAO CẤP A1

Mã đề: 01 Thời gian làm bài: 75 phút Lớp/nhóm: ĐH

Lưu ý: Sử dụng tài liệu khi làm bài thi  Được  Không được

Câu 1: Tính giới hạn sau:

Câu 2: Hàm số f x( ) x 2 3 | | 2x  có f x khi ' ( ) x0 là:

Câu 3: Tìm a để hàm số (1 ) 1

Câu 4: Tính giới hạn sau: 2

A đáp án khác B e C 4(ln 2 1) D ln 2 1

Câu 5: Tính giới hạn sau:

 2 Câu 6: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f x( )3 x /(1  x 2 ) và cho biết nó thuộc loại nào

Câu 7: Hàm số f x( ) x 2 3 | | 2x  có f ' (0) là:

Câu 8: Hàm số x a cos , 3 t y b sin , 3 t t(0, / 2) có y x là: ' ( )

Câu 9: Tính giới hạn sau: lim cosh x  0  x  1/(1 cos )  x

Câu 10: Hàm số x a cos , 3 t y b sin , 3 t t(0,/ 2) có y t là: ' ( )

A cos 2 tsint B 3 sinb 2 t C 3 sinb 2 tcost D

Câu 11: Tính giới hạn sau: 2 3 lim2 3 n n n n n

2 Câu 12: Tính giới hạn sau: ln( 10 2 1) limln( 1) n n n n n

Câu 13: Tìm điểm gián đoạn của hàm số ( ) cos f x x

 x và cho biết nó thuộc loại nào

Câu 14: Tìm a để hàm số (arcsin ) cot , 0

Câu 15: Tính giới hạn sau: 1/ 1 lim x x x e

A f  ' (0)  B f  ' (0)1 C f  ' (0)  D Đáp án khác Câu 17: Tính giới hạn sau: ( 2 1) 4 2 ( 2 1) 4 2 lim( 1) ( 1) n n n n n

Câu 18: Tính giới hạn sau: 2 2

3 Câu 19: Hàm số x a cos , 3 t y b sin , 3 t t(0, / 2) có x t là: ' ( )

Câu 20: Tính giới hạn sau: lim cot 2/ 4 cot( / 4 ) x x x

Câu 21: Tìm điểm gián đoạn của hàm số 1

Câu 22: Tính giới hạn sau:  2  1/ sin (2 ) 2 lim 1 tan x x

Câu 23: Tìm a để hàm số cot(2 ), 0,| | / 2

Câu 24: Tính giới hạn sau: 5

Câu 25: Hàm số f x( ) x 2 3 | | 2x  có f  ' (0) là:

Câu 26: Tìm điểm gián đoạn của hàm số ye  1/| | x và cho biết nó thuộc loại nào

A x0, khử được B x , điểm nhảy C xe, loại 1 D x0, loại

Câu 27: Tính giới hạn sau: lim 2 2 3

A f ' (0)1 B Không tồn tại C f ' (0)  D f ' (0)0 Câu 29: Cho hàm số y 1 x 2 Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A Hàm số đồng biến trên(1,) và nghịch biến (,1)

B Hàm số có điểm cực đại là (0,1)

C Hàm số có điểm cực tiểu là (0,1)

D Hàm số luôn đồng biến

Câu 30: Đạo hàm cấp n của hàm sin(ax) là :

Câu 31: Hàm số f x( ) x 2 3 | | 2x  có f  ' (0) là:

Câu 33: Đạo hàm cấp n của hàm e ax là :

A kết quả khác B a n e ax C a n  1 e ax D a n e x

Câu 34: Tính giới hạn sau: lim cos x  0  x  1/ x 2

Câu 35: Tìm tiệm cận của hàm số: ( ) 1

Câu 37: Đạo hàm cấp n của hàm ln x là :

Câu 38: Tính giới hạn sau: 2

Câu 39: Hàm số f x( ) x 2 3 | | 2x  có f x khi ' ( ) x0 là:

Câu 40: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 3 2

PHIẾU ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

D ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN: TOÁN CAO CẤP A1

Mã đề: 02 Thời gian làm bài: 75 phút Lớp/nhóm: ĐH

Lưu ý: Sử dụng tài liệu khi làm bài thi  Được  Không được

Câu 1: Nếu f x là hàm lẻ th( ) ì

Câu 2: Bán kính hội tụ của chuỗi

Câu 4: Tính tích phân suy rộng

3ln 2 Câu 5: Nếu f x( ) là hàm chẵn thì:

Câu 6: Tính tích phân suy rộng

Câu 7: Tính thể tích tròn xoay do

Câu 8: Cho dãy vô hạn các số thực u u 1 , 2 , u n , Phát biểu nào sau đây là đúng nhất

A u 1    u 2 u n được gọi là một dãy số

C u 1    u 2 u n được gọi là một chuỗi số

D u 1 2 ,u 2 2 , u n 2 , được gọi là một chuỗi số dương

Câu 11: Mệnh đề nào sau đây đúng

Câu 12: Nếu f x( ) là hàm tuần hoàn với chu kì T thì:

Câu 13: Tính tích phân suy rộng

Câu 14: Tính tích phân ln 3

Câu 15: Tính tích phân suy rộng

Câu 16: Tính tích phân suy rộng 2 3

5 ln 6 Câu 17: Tính tích phân

A Chuỗi đan dấu B Chuỗi phân kỳ C Chuỗi hội tụ D Chuỗi có dấu bất kỳ

Câu 19: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y 2x 2  3x 6 và đường thẳng y x 2

Câu 20: Chọn phát biểu đúng:

 là chu ỗi hội tụ D  n   1 e  n là chu ỗi hội tụ

Câu 21: Tính tích phân suy rộng 1

Câu 23: Tính tích phân suy rộng 2

Câu 24: Tính tích phân suy rộng 1  3 3 

Câu 26: Tính tích phân suy rộng 2

Câu 27: Bán kính hội tụ của chuỗi

Câu 28: Tính tích phân suy rộng 2

Câu 32: Tính tích phân suy rộng

Câu 33: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y2 , x y2 , x0

Câu 35: Mệnh đề nào sau đây đúng

Câu 36: Tính tích phân suy rộng 3

Câu 38: Tính tích phân suy rộng

Câu 39: Tính tích phân suy rộng 2

  Phát biểu nào sau đây là sai:

A Các số u có giá tr n ị tăng khi n tiến ra 

C Biểu thức của u n được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số

  được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số.

PHIẾU ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM