Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Ma trận - Định thức

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Ma trận - Định thức. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; các phép toán ma trận; khái niệm định thức; định thức của ma trận cấp 1, 2, 3; tính chất của định thức;... Mời các bạn cùng tham khảo!

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1

CHƯƠNG 1

MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

Giới thiệu về ma trận, định thức

 Một câu hỏi đặt ra là tại sao chúng ta lại sử dụng

ma trận trong đại số?

 Để trả lời cho câu hỏi này chúng ta sẽ đi từ những

ví dụ đơn giản sau

 Giả sử chúng ta có phương trình 1 ẩn 𝑥 như sau:

𝑥 − 2 = 3

 Chúng ta có thể giải dễ dàng bằng cách chuyển

vế 𝑥 = 3 + 2 = 5

 Khó hơn một chút, chúng ta sẽ học hệ phương trình hai ẩn 𝑥 và 𝑦 ví dụ như

 Sử dụng phương pháp cũ nhưng hơi dài dòng một chút vẫn có thể giải ra 𝑥 = −914, 𝑦 = −3914, 𝑧 = 32

 Và thực tế, chúng ta chỉ học đến đây thôi, nhưng thế giới bên ngoài không đơn giản như vậy, bạn sẽ phải giải quyết một hệ phương trình nhiều hơn 3 ẩn ví dụ như 4 ẩn, 20 ẩn, có khi lến đến cả ngàn ẩn,

 Lúc này, người ta không thể sử dụng các chữ cái 𝑥, 𝑦, 𝑧 để biểu diễn hệ phương trình có cả trăm ngàn ẩn kia nữa, thay vào đó người ta nghĩ ra một thứ đơn giản hơn để dễ dàng biểu diễn và tính các hệ phương trình có nhiều hơn 3 ẩn, một khái niệm mới gọi là ma trận (matrix) ra đời

 Ví dụ: Một nhóm đi du lịch bằng tàu hỏa thì chi phí là 1

triệu đồng 1 trẻ em, 2 triệu đồng 1 người lớn và tổng chi phí là 39 triệu đồng Khi họ về bằng máy bay thì 4 triệu đồng 1 trẻ em, 7 triệu đồng 1 người lớn và tổng chi phí là

141 triệu đồng Tính số trẻ em, số người lớn

 Gọi a là số lượng trẻ em trong nhóm

 Gọi b là số lượng người lớn trong nhóm

Theo giả thiết ta có hệ phương trình

𝑎 + 2𝑏 = 39 4𝑎 + 7𝑏 = 141

Hệ phương trình này còn được viết dưới dạng như sau:

1 2

4 7

𝑎

𝑏 = 14139Đây được gọi là phương trình ma trận

1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Dạng tổng quát

Ví dụ:

 Ma trận không là ma trận có mọi phần từ bằng 0

Kí hiệu là : 0

1.3 Ma trận tam giác:

Ma trận tam giác trên

Ma trận tam giác dưới

1.4 Ma trận chéo: là

ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

1.5 Ma trận đơn vị:

là ma trận chéo với các phần tử trên đường

chéo chính đều bằng 1

Kí hiệu En

2.1 Phép cộng hai ma trận

Tổng của hai ma trận trên là:

2.2 Phép nhân ma trận với một số thực k

i 1

b

b b

ij

7 4

2

2 3

1 1

1 0

2 1

2

1 0

4

0 1

2

1 2

5

Tính chất :

Nếu các phép nhân sau đây có thể thực hiện đƣợc thì:

i A.(B.C) = (A.B).C

ii A.(B + C) = A.B + A.C

iv A.E = E.A = A (E là ma trận đơn vị cùng cấp với A)

2 1

1 0

iii (A + B).C = A.C + B.C

3 ĐỊNH THỨC

3.1 Định nghĩa :

c Định thức cấp 3

3.3 Tính chất của định thức

Theo tính chất này thì các tính chất sau phát biểu cho dòng thì cũng đúng với cột (và ngƣợc lại)

iv Nhân từng phần tử của một dòng với một số bất

kỳ rồi cộng vào từng phần tử tương ứng của một dòng khác thì định thức không đổi

v Nếu tất cả các phần tử của một dòng bằng 0 thì

định thức bằng 0

vi Nếu định thức có 2 dòng bằng nhau hay tỉ lệ với nhau

thì định thức bằng 0

Chú ý: Các phép biến đổi sau đây trên các dòng

(hoặc cột) của một ma trận gọi là các phép biến đổi

sơ cấp:

* Đổi chỗ hai dòng (hai cột)

* Nhân các phần tử của một dòng (một cột) với một

số khác không

* Nhân các phần tử của một dòng (một cột) với một

số rồi cộng vào các phần tử tương ứng của một

dòng (một cột) khác

3.4 Cách tính định thức ma trận cấp cao

Tính định thức bằng cách khai triển theo dòng hoặc cột

Tính định thức bằng cách

a Tính định thức bằng cách khai triển theo dòng hoặc cột

Công thức khai triển theo dòng thứ i:

Công thức khai triển theo cột thứ j:

Ví dụ: Tính định thức sau

b Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp

Nội dung: Dựa vào ba phép biến đổi sơ cấp trên

ma trận để đưa ma trận ban đầu về ma trận dạng

tam giác rồi tính định thức

* Đổi chỗ hai dòng (hai cột) Định thức đổi dấu

* Nhân các phần tử của một dòng (một cột) với

một số k khác không Định thức tăng k lần

* Nhân các phần tử của một dòng (một cột) với

một số rồi cộng vào các phần tử tương ứng của một

dòng (một cột) khác Định thức không thay đổi

Ví dụ: Tính các định thức sau

4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.1 Định nghĩa

Định nghĩa: - Hạng của ma trận O bằng 0

- Khi A ≠ 0 hạng của ma trận A bằng cấp cao

nhất của định thức con khác không của ma trận

 Nếu có một định thức khác không, ta lại xét định

thức con cấp s+2 bao quanh định thức này

a Phương pháp định thức bao quanh:

Định lý: Ba phép biến đổi sơ cấp của ma trận không

làm thay đổi hạng của ma trận

b PP biến đổi sơ cấp

PP: Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma

trận ban đầu về dạng đơn giản hơn chẳng

hạn ma trận dạng tam giác hoặc hình thang

Khi đó hạng của ma trận bằng số dòng khác

0 của ma trận tam giác hoặc hình thang

tương ứng

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận:

5 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

5.1 Định nghĩa:

Định lý: Ma trận cấp n khả nghịch khi và chỉ khi

định thức của nó khác không

5.2.1 PP dùng ma trận phụ hợp:

Chú ý: Trong ma trận A* chỉ số dòng và cột đổi

chỗ cho nhau

PP: Muốn tìm ma trận nghịch đảo ta chỉ

cần tính các phần bù đại số, lập ma trận

A* rồi áp dụng công thức trên

5.2.2 PP dùng biến đổi sơ cấp (VN)

• Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch Ta viết vào bên phải A ma trân đơn vị E để đƣợc ma trận

bổ sung (A|E)

• Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đƣa

ma trận bổ sung về dạng (E|B)

• Khi đó ma trận B thu đƣợc chính là ma trận A-1