Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1 - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Toán cho tài chính cung cấp cho người học các kiến thức: Dãy số, chuỗi số, giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ; niên kim, các khoản cho vay và thế chấp; số chỉ số và năm cơ sở,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

TOÁN CHO TÀI

• 1.4 Giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ

• 1.5 Niên kim, các khoản cho vay và thế chấp

• 1.6 Mối liên hệ giữa lãi suất và giá của trái phiếu

• Ta thường ký hiệu dãy số là (un)

• ungọi là số hạng thứ n của dãy

Dãy số

• Nhận xét:

• Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số0.5

• Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và0.5càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10-

9)

• Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng

n lên và có thểnhỏ tùy ýmiễn làn đủ lớn

• Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5

  2n 11

u n n







Trang 2

Định nghĩa giới hạn dãy số

• Dãy số (un) có giới hạn là a nếu:

• Chênh lệch (un) và a có thểnhỏ tùy ýkhin đủ lớn

2

n

n u

 10



Hệ quả

• Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu:

• Tồn tại >0 sao cho với mọi n0đều tồn tại n1>n0

để chênh lệch giữa un1và a lớn hơn 

• Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cáchgiữa dãy (un) và a Độ chênh lệch giữa (un) và akhông thể nhỏ tùy ý

Trang 3

Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi:

• (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ

Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến - khi và chỉ khi:

• (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủlớn

• 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất

• 2 Cho lim n; lim n tồn tại hữu hạn Khi đó:

) lim lim lim

lim

lim ) lim lim

Trang 4

Cấp số nhân

• Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện:

•

• với q không đổi

• q được gọi là công bội của cấp số nhân

• |q|<1 cấp số nhân lùi vô hạn

1

1 2

(1 ) 1

n n

x S q

• Cho {an} là một dãy số vô hạn

• Tổng vô hạn sau được gọi là một chuỗi số:

• Tổng riêng thứ n của dãy:

• Nếu dãy {Sn} hội tụ tới S hữu hạn thì ta nói chuỗi

số (a1+a2+a3+…) là hội tụ và gọi S là tổng củachuỗi số, ký hiệu

• Nếu dãy {Sn} không hội tụ ta nói chuỗi là phânkỳ

n n

a 

1 2 0

n n

Trang 5

Ví dụ 2

• Nếu |q|<1 thì chuỗi hội tụ và:

• Nếu |q|>1 thì chuỗi số phân kỳ

• Nếu q=1 thì Sn=n nên chuỗi phân kỳ

• Nếu q=-1 thì

Dãy số Sn không tồn tại giới hạn nên chuỗi phân

kỳ

1 1

S q





0 1

n

n chan S

Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy

Định lý Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ là với mọi cho trước, tồn

tại số nguyên dương (phụ thuộc ) sao cho với mọi và với mọi

• Xét sự hội tụ của chuỗi sau:

Chuỗi là chuỗi hội tụ Vì với mọi thì tồn tại sao

cho với mọi và với mọi , ta có

1 sin

2n n

Tính chất của chuỗi số

• i) Chuỗi số không thay đổi tính chất (hội tụ hay

phân kì) nếu ta thêm vào hay bớt đi một số hữu

hạn các số hạng của chuỗi số

• ii) Nếu chuỗi số hội tụ thì

• Nếu thì chuỗi số phân kì

1 n

n u

Trang 6

• Chỉ là điều kiện cần để cho chuỗi hội tụ

• Đây chưa là điều kiện đủ

 được gọi là chuỗi số dương nếu u  với mọi n 0 n 1,2, 3

Ta có: S n1 S nu n1 S do u n n1  0nên  S là một dãy tăng.Vậy n

nếu dãy  S bị chặn trên thì chuỗi hội tụ Nếu n  S không bị chặn trên thì n

Trang 7

Tiêu chuẩn tương đương

• Ta thường so sánh các chuỗi số chưa biết tính

chất với các chuỗi số đã biết tính chất Chẳng

x k y

   hữu hạn thì hai chuỗi số đó cùng hội tụ hay cùng phân kỳ

 hội tụ khi   , phân kì khi 1   1

Tiêu chuẩn D’Alembert

• Chú ý: ta chưa kết luận được gì khi r=1

Cho chuỗi số dương

x r x

 hội tụ khi r  ; phân kì khi 1 r  1

Tiêu chuẩn Cauchy

• Chú ý: ta chưa kết luận được gì khi r=1

Cho chuỗi số dương

Trang 8

Tiêu chuẩn tích phân

• Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn này khi học chương 4

LÃI ĐƠN, LÃI GỘP

Lãi suất

• Định nghĩa Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi

trong một đơn vị thời gian với vốn gốc trongthời gian đó

• Ví dụ Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thu

được 112 triệu đồng Như vậy sau 1 năm nhàđầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là12%/năm

ã ấ = ã ộ đơ ị ờ

46

Lãi đơn

trong suốt thời hạn vay Nói khác đi, số lãi tính

theo tỷ lệ phần trăm trên vốn gốc chính là lãi đơn

Trong khái niệm này, chỉ có vốn sinh lời còn lãi

không sinh lợi

tài chính ngắn han

• Giá trị đạt được (hay giá trị cuối cùng, giá trị tương

lai): tổng số tiền thu được khi kết thúc đợt đầu tư

Giá trị đạt được gồm 2 phần: vốn gốc và lãi thu

Trang 9

Ví dụ 1

gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1%/tháng Xác

định giá trị đạt được và số lãi vào cuối đợt đầu tư 6

tháng?

• b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãi

đơn), sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời

118 triệu vào cuối đợt đầu tư Hỏi thời gian đầu tư

bao lâu?

là bao nhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6

tháng (tính theo lãi đơn)?

Chú ý

không đồng nhất thì trước tiên ta phải biến đổi đểchúng đồng nhất với nhau rồi mới áp dụng côngthức

• Ví dụ.

• a) Đầu tư 100 triệu (tính theo lãi đơn), sau 6 thángthu được tổng số tiền là 105,6 triệu Hỏi lãi suấtđầu tư là bao nhiêu?

thời gian rút hết ra thu được 106 triệu Hỏi thờigian đầu tư mất bao lâu?

50

Lãi suất ngang giá (tương đương)

• Hai lãi suất i và iktương ứng với 2 chu kỳ khác nhau

được gọi là tương đương nhau khi cùng một số vốn ,

đầu tư trong cùng một thời gian thì cho cùng mức lãi

như nhau (giá trị đạt được bằng nhau).

• Giả sử có hai lãi suất i (chu kỳ 1 năm) và ik(chu kỳ 1/k

• Ví dụ Đầu tư 20 triệu trong vòng 9 tháng với lãi

suất 12%/năm theo phương thức lãi đơn Kếtthúc đợt đầu tư, giá trị đạt được là:

• Theo lãi suất hàng tháng:

• Theo lãi suất hàng năm:

Tỷ suất lợi tức bình quân

• Tỷ suất lợi tức bình quân trong lãi đơn được

tính theo phương pháp bình quân có trọng số

• Trong đó:

• ij là các mức lãi suất khác nhau trong các

khoảng thời gian njkhác nhau

1 1

.

k j j k j j

n i i n

• Tính:

• a) Lãi suất trung bình của số vốn vay

• b) Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khiđáo hạn

Trang 10

Lãi kép

• Việc tính lãi bằng cáchlấy lãi của kỳ trướcnhập

vào vốn để tính lãi cho kỳ sau đó là phương

pháp tính theo lãi kép Số tiền lãi thu được theo

phương pháp này gọi là lãi kép

• Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài

• Vốn đầu tư ban đầu:

• Thời gian đầu tư:

• Lãi suất đầu tư:

log / 1

Sau 4 năm thu được cả vốn lẫn lời là 146,41 triệuđồng (tính theo lãi kép) Hỏi vốn đầu tư ban đầu làbao nhiêu?

10%/năm Sau một thời gian thu được cả vốn lẫnlời là 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép) Hỏithời gian đầu tư là bao lâu?

10%/năm Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lời là214,358881 triệu (tính theo lãi kép) Hỏi lãi suấtđầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu?

58

Lãi suất ngang giá (tương đương)

• Hai lãi suất i và ik tương ứng với hai chu kỳ khác

nhau được gọi là tương đương nhau khi với cùng

một số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian sẽ cho

cùng mức lãi như nhau (cùng giá trị đạt được).

• Giả sử lãi suất i tính theo năm, lãi suất ik tương ứng

với chu kỳ 1/k của năm (1 quý, 6 tháng …) là tương

• Giải

• Điều này chứng tỏ rằng hai lãi suất 6%/6 tháng

và 12,36%/1 năm là tương đương nhau

Trang 11

Lãi suất tỷ lệ

• Hai lãi suất i và ik được gọi là tỷ lệ nhau khi tỷ lệ

của chúng bằng với tỷ lệ của hai thời gian tương

• Ghi chú Nếu thời gian đầu tư n không là số

nguyên, ta có thể chia n thành hai giai đoạnnhư sau:

• Ta tính lãi và giá trị cuối theo 2 phương pháp:

• Giá trị cuối đến thời điểm k:

• Lãi thu về trong kỳ u/v:

Phương pháp thương mại

• Ông Tư gửi ngân hàng số tiền là 100 triệu đồng

theo lãi suất 8%/năm, thời gian gửi là 3 năm 9

tháng Hãy tính số tiền lãi và giá trị thu được:

• a) Theo phương pháp hợp lý

• b) Theo phương pháp thương mại

0 0

n n

Lãi suất bình quân trong lãi kép.

• Ví dụ Người ta đầu tư 150 triệu đồng tính lãi

kép với lãi suất lũy tiến

• 8%/năm trong vòng 2 năm đầu tiên;

• 9%/năm trong vòng 3 năm tiếp theo;

• 11%/năm trong vòng 4 năm cuối

• a) Vào cuối năm thứ 9 tổng lãi là bao nhiêu?

• b) Lãi suất trung bình hàng năm là bao nhiêu?

Trang 12

Lãi suất bình quân trong lãi kép.

Ta có:

Với

là tổng thời gian đầu tư.

iklà mức lãi suất trong các khoảng thời gian nk.

So sánh lãi đơn và lãi kép.

ã đơ

ã kép

1 0

68

So sánh lãi đơn và lãi kép.

• Ví dụ Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực

12%/năm Hãy tính :

a) Lãi đơn và giá trị đạt được sau khoảng thời

gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm

b) Lãi kép và giá trị đạt được sau khoảng thời

gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm

c) Vẽ đồ thị của các lãi suất

Khấu hao tài sản cố định

• Tài sản cố định (TSCĐ) trong doanh nghiệp là

những tài sản có giá trị lớn và dự tính đem lại lợiích lâu dài cho doanh nghiệp TSCĐ phải đảm bảocác tiêu chuẩn:

lai từ việc sử dụng tài sản đó;

• b) Có thời gian sử dụng trên 1 năm trở lên;

tin cậy và có giá trị từ 30.000.000 đồng (Ba mươitriệu đồng) trở lên

70

Phân loại TSCĐ

• Theo hình thái biểu hiện: hữu hình, vô hình

• Theo quyền sở hữu: TSCĐ của doanh nghiệp,

TSCĐ thuê ngoài (thuê hoạt động, thuê tài

• Nguyên giá (NG) của TSCĐ là giá trị thực tế của

TSCĐ khi đưa vào sử dụng tại doanh nghiệp

• Giá trị hao mòn (GTHM) của TSCĐ là sự giảm

dần giá trị và giá trị sử dụng của TSCĐ khi thamgia vào quá trình kinh doanh

• Giá trị còn lại (GTCL) của TSCĐ là giá trị thực tế

TSCĐ tại một thời điểm nhất định

NG TSĐ= GTCL TSCD + GTHM TSCĐ

Trang 13

Khấu hao tài sản cố định

• Khấu hao TSCĐ: là việc chuyển dịch phần giá trị

hao mòn của TSCĐ trong quá trình sử dụng vào

giá trị sản phẩm sản xuất ra theo các phương

pháp tính toán phù hợp

• Tỉ lệ khấu hao: tỷ lệ phần trăm giá trị của tài

sản được trích khấu hao (phụ thuộc vào từng

phương pháp khấu hao) Tỷ lệ khấu hao bằng tỷ

lệ của lượng trích khấu hao (mức khấu hao

năm) so với nguyên giá

Các pp tính khấu hao

• a) Phương pháp khấu hao đường thẳng

• b) Phương pháp khấu hao theo số dư giảm dần

Khấu hao theo đường thẳng

• Còn được gọi là phương pháp khấu hao bình

quân, phương pháp khấu hao đều hay phương

pháp khấu hao cố định

• Đây là phương pháp khấu hao đơn giản nhất và

được sử dụng khá phổ biến cho việc tính khấu

hao các loại TSCĐ

• Lượng trích khấu hao hàng năm là như nhau

hay mức khấu hao và tỷ lệ khấu hao hàng năm

của TSCĐ được tính là không đổi trong suốt

thời gian sử dụng của TSCĐ

Khấu hao theo đường thẳng

• Là phương pháp khấu hao mà mức khấu haohàng năm của TSCĐ là đều nhau trong suốt thờigian sử dụng tài sản

• Giá trị đào thải (giá trị thải hồi ước tính hay giátrị còn lại ước tính của TSCĐ sau khi đã tínhkhấu hao)

Mức KH năm =Nguyên giá − Giá trị đào thải

Khấu hao đều

• Ví dụ 1 Một TSCĐ đầu tư mới có nguyên giá

(tính cả chi phí lắp đặt và chạy thử) là 120 triệuđồng, đưa vào sử dụng năm 2000 với thời gian

sử dụng dự tính là 5 năm Giá trị thải hồi ướctính là 35 triệu đồng Hãy tính lượng trích khấuhao cho từng năm trong suốt vòng đời củaTSCĐ đó

Trang 14

Khấu hao đều

• Theo công thức ta có:

• Lượng trích khấu hao hàng năm:

• (120-35)/5=17

• Giá trị còn lại năm đầu: 120-17=103

Nguyên giá Giá trị còn lại Thời gian sử dụng

Năm 2000 2001 2002 2003 2004

Khấu hao theo tổng số năm

• Mức khấu hao TSCĐ ở năm thứ t = Nguyên giá * Tỷ lệ khấu hao của năm thứ t

• Tỷ lệ khấu hao = Số năm sử dụng còn lại của TSCĐ theo thứ tự năm sử dụng / tổng số năm sử dụng còn lại của TSCĐ.

• Tkh là tỷ lệ khấu hao theo năm sử dụng

• T là thời gian dự kiến sử dụng TSCĐ

• i là thứ tự năm tính khấu hao.

1 2 1

ihk bd dt khi khi

Khấu hao theo tổng số năm

• Một TSCĐ hữu hình A cónguyên giá là 50 triệu

đồng,đời sống của TSCĐ A là 5 năm Xác định

mức khấu hao năm theo phương pháp trên

Khấu hao theo số dư giảm dần có điều chỉnh

lĩnh vực có công nghệ đòi hỏi phải thay đổi, pháttriển nhanh

trích khấu hao theo phương pháp số dư giảm dần

có điều chỉnh phải thoả mãn đồng thời các điềukiện sau:

• - Là các loại máy móc, thiết bị; dụng cụ làm việc đolường, thí nghiệm

X

Hệ số điều chỉnh

Tỷ lệ khấu hao tài

khấu hao của tài sản cố định

Trang 15

• Ví dụ Công ty A mua một thiết bị sản xuất các

linh kiện điện tử mới với nguyên giá là 50 triệu

đồng Thời gian trích khấu hao của tài sản cố

định xác định theo quy định tại Phụ lục 1 (ban

hành kèm theo Thông tư số /2013/TT-BTC) là

5 năm

Ví dụ

• Xác định mức khấu hao hàng năm như sau:

• - Tỷ lệ khấu hao hàng năm của tài sản cố địnhtheo phương pháp khấu hao đường thẳng là20%

• - Tỷ lệ khấu hao nhanh theo phương pháp số

dư giảm dần bằng 20% x 2 (hệ số điều chỉnh) =40%

• - Mức trích khấu hao hàng năm của tài sản cốđịnh trên được xác định cụ thể theo bảng dướiđây:

Mức khấu hao hàng tháng

Khấu hao luỹ

• + Từ năm thứ 4 trở đi, mức khấu hao hàng năm bằng giá trị còn lại của tài sản cố định (đầu năm thứ 4) chia cho số năm sử dụng còn lại của tài sản cố định (10.800.000 : 2 = 5.400.000).

• Vì tại năm thứ 4: mức khấu hao theo phương pháp số dư

khấu hao tính bình quân giữa giá trị còn lại và số năm sử dụng còn lại của tài sản cố định (10.800.000 : 2 = 5.400.000).

88

Phương pháp MACRS

Là một phương pháp khấu hao nhanh, trong đó các tài

sản được chia làm 6 nhóm theo đời sống và tỉ lệ khấu

hao trong từng năm của từng nhóm được tính sẵn, lập

thành bảng để sử dụng.

MKH năm i= Tỉ lệ khấu hao năm i * nguyên giá tài sản

Năm Nhóm TSCĐ có thời gian khấu hao

Trang 16

• (Ví dụ) Mức khấu hao của TSCĐ A, là tài sản

được tính khấu hao theo phương pháp

Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm

Khái niệm Là phương pháp khấu hao mà mức khấu hao hàng

tháng, hàng năm thay đổi phụ thuộc vào lượng sản phẩm thực

92

• - Căn cứ vào hồ sơ kinh tế - kỹ thuật của tài sản cố định, doanh

nghiệp xác định tổng số lượng, khối lượng sản phẩm sản xuất

theo công suất thiết kế của tài sản cố định, gọi tắt là sản lượng

theo công suất thiết kế.

• - Căn cứ tình hình thực tế sản xuất, doanh nghiệp xác định số

lượng, khối lượng sản phẩm thực tế sản xuất hàng tháng, hàng

năm của tài sản cố định.

Mức trích khấu hao trong tháng của tài sản cố định

=

Số lượng sản phẩm sản xuất trong tháng

X

Mức trích khấu hao bình quân tính cho một đơn vị sản phẩm

94

Mức trích khấu hao bình quân tính cho một đơn vị sản phẩm = Nguyên giá của tài sản cố định

Sản lượng theo công suất thiết kế

• Trích khấu hao theo tháng:

X

Mức trích khấu hao bình quân tính cho một đơn vị sản phẩm

Mức trích khấu hao bình quân tính

cho một đơn vị sản phẩm = Nguyên giá của tài sản cố định

Sản lượng theo công suất thiết kế

• Trích khấu hao theo năm:

• Ví dụ: Công ty A mua máy ủi đất (mới 100%) với nguyên giá 450 triệu đồng Công suất thiết kế của máy ủi này là 30m 3 /giờ Sản lượng theo công suất thiết kế của máy ủi này là 2.400.000 m 3 Khối lượng sản phẩm đạt được trong năm thứ nhất của máy ủi này là:

Tháng Khối lượng sản phẩm hoàn thành (m 3 )

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	586,63 KB