Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Phép tính tích phân hàm một biến cung cấp cho người học các kiến thức: Tính chất, ông thức nguyên hàm cơ bản, các phương pháp tính, đổi biến số dạng 2, tích phân từng phần,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

HÀM MỘT BIẾN

CHƯƠNG 4

Định nghĩa nguyên hàm

• Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b) Ta nĩi F(x)

là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu:

• Ví dụ:

F x  f x  x a b

là một nguyên hàm của

trên

là một nguyên hàm của a trên R.

2

\ 2 1

2

ln





Tích phân bất định

• Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:

• Được xác định như sau:

• F(x) là một nguyên hàm của f(x)

• C: hằng số tùy ý

 

f x dx



f x dx  F x C



Tính chất

) ) )

i f x dx f x

ii k f x dx k f x dx iii f x g x dx f x dx g x dx







Cơng thức nguyên hàm cơ bản

x x







Các phương pháp tính

• Phân tích, biến đổi

• Đổi biến dạng 1

• Đổi biến dạng 2

• Tích phân từng phần

Trang 2

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Phương pháp phân tích

• Chia đa thức

• Nhân liên hợp

• Áp dụng các công thức biến đổi hàm số

• Sử dụng công thức cơ bản

Ví dụ

• Tính các tích phân sau

2 1 2 2

2 0

1

2 1

1

3 1

lim

1

x x

x

x x

x

dt

e

t t









  



Đổi biến số dạng 1

• Đặt t=u(x)

• Ta đưa tích phân về dạng:

• Phải tìm u’ hoặc biến đổi u’ xuất hiện trước

• Thường đặt u bằng căn thức, mũ của e, mẫu số

hay biểu thức trong ngoặc

 

Ví dụ

2 5





Đổi biến số dạng 2 (tham khảo)

• Đặt: x=u(t)

• Biến đổi biểu thức tính tích phân về dạng:

     .  

f x dx  f u t u t dt

Ví dụ

2

1

x





Trang 3

Tích phân từng phần

• Đưa biểu thức tính tích phân về dạng:

• Đặt:

• Khi đó:

     .

f x dx  h x g x dx

 

'



f x dx  h x g x dx uv v du

Tích phân từng phần

• Đưa biểu thức về dạng tích

• Chọn hàm để đặt u và dv

• Chú ý: chọn sao cho việc tính đạo hàm và tích

phân dễ tính

• Áp dụng công thức:

.

udvuv v du

Các dạng cần nhớ

 

sin

cos

.

n

ax

n

P x e dx



 

ln

arctan

arcsin

n



thuc

Lo

Ví dụ

2

1 2

0 3

e





Công thức Tanzalin

2 3x x 2 dx



x

x x dx x  x C



• Tính tích phân sau:  x sin x dx

x x dx  x  C



Đạo hàm Tích phân Dấu Tích

Trang 4

• Tính tích phân bất định:

• Đáp số:



Tích phân hàm mũ

• Công thức:

• Ví dụ Tính các tích phân sau:

 

1

ax b ax b

a iii e du e C



4

0 2

0

I

Ví dụ

• Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi

qua điểm (1;0) và:

• Đáp án:

3

x dy e dx





 3 2

y e  e

Diện tích dưới đường cong

• Ví dụ Một tòa nhà có cổng dạng parabol Ta cần gắn kính cho cổng nhà Hỏi diện tích kính cần gắn là bao nhiêu?

• Ta chia hình cần tính thành nhiều hình chữ nhật nhỏ.

• Cộng hết diện tích các hình chữ nhật nhỏ lại

• Ta được diện tích tương đối của hình cần tính

• Độ cao của mỗi hình chữ nhật được xác định thông qua giá trị của hàm số.

Ví dụ Tại điểm c thì hình chữ nhật có độ cao là f(c)

• Tìm diện tích dưới đường cong y=1-x2giữa x-0,5 và x=1

• Sử dụng công thức tổng các diện tích hình chữ nhật để tính xấp xỉ (giả sử n=5)

Trang 5

• Với n=5 ta cĩ chiều rộng mỗi hcn là: 0,1

• Ta tính tổng của 5 hcn sau:

5

1

0, 75.0,1 0, 64.0,1 0, 51.0,1 0.36.0, 1 0, 19.0, 1 0, 245

i





Cách 1 Xấp xỉ

bằng tổng các

hình chữ nhật

ngồi

5

1

0, 64.0,1 0, 51.0,1 0, 36.0,1 0,19.0,1 0 0, 1 0, 17

i





Cách 2 Xấp xỉ

bằng tổng các

hình chữ nhật

trong

• Để cĩ được giá trị xấp xỉ tốt hơn ta lấy giá trị

trung bình của 2 cách tính trên

• Ta được:

0, 245 0,17 0, 2075 2

5

1

0, 6975 0, 5775 0, 4375 0, 2775 0, 0975 0, 1 0, 20875

i i





Cách 3 Xấp xỉ bằng tổng các hình chữ nhật

ở giữa

Nhận xét

• Nếu ta chia thành 10 hình chữ nhật với n=10 thì kết quả tìm được xấp xỉ tốt hơn

• Tính theo cách 1 ta cĩ kết quả sau:

• Theo cách 2 ta cĩ:

• Theo cách 3 ta cĩ: Trung bình cộng cách 1,2:

10 1

0, 75 0, 6975 0, 19 0, 0975 0, 05 0, 226875

i i



10 1

0, 6975 0, 19 0, 0975 0 0, 05 0, 189375

i i



10 1

0, 208438

i i



1

0, 208125

i i



 

Tích phân xác định

• Định nghĩa: Nếu f là hàm số xác định trên [a;b].

3 Gọi là các điểm mẫu bất kỳ trong những đoạn con

1 2

* 1

, , ,

;

n

i i i

x  x x 

2 Giả sử là các điểm biên những đoạn con Ta có

0 , , , , 1 2

n i

  

1 Chia đoạn thành phần bằng nhau, có chiều rộng

[ , ]a b n

x n



 

Trang 6

 

5

*

1 1

;

5

i







 * 1

n i i

x n







 



• Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là:

(nếu giới hạn này tồn tại).

• Khi đĩ ta nĩi hàm f khả tích trên [a,b].

1

lim

i n

i a







Ý nghĩa hình học

• Cho hàm số ( ) ≥ 0, liên tục trên [a;b] thì tích phân xác định của f(x) trên [a;b] là diện tích hình giới hạn bởi: f x ;x a x; b

Chú ý

 

: dấu tích phân : hàm lấy tích phân : các cận lấy tích phân : biến độc lập Tích phân là một số, không phụ thuộc vào

Tổng Riemann: *

1

,

b

a

n i i

f x









• Cơng thức:

• Trong đĩ F(x) là một nguyên hàm (tích phân bất định) của f(x)

b

b a a

f x dx F x F b F a



Trang 7

Ví dụ

• Tính chính xác diện tích dưới đường cong

y=1-x2, giữa x=0,5 và x=1 và trục Ox

• Giải

• Ta cĩ:

2

1

3

x

S  x dx x 



      



Ví dụ

• Tính chính xác diện tích dưới đường cong

y=x2+1, giữa x=0 và x=4 và trục Ox

• Giải

• Ta cĩ:

2

1

3

x

S  x  dx  x

      



Tính chất

• Giả sử f(x), g(x) khả tích trên [a;b] Khi đĩ ta cĩ:

a cf x dx c f x dx

b f x g x dx f x dx g x dx

c f x dx f x dx f x dx



Tính chất

d) Với a<b và g(x)≤f(x) trên [a;b] ta cĩ:

Hệ quả:

g x f x  x a b g x dxf x dx

f x dx f x dx

Tính chất

• e) Nếu

• thì:

b

a

m ba f x dxM ba

Tích phân hàm đối xứng

• Cho f liên tục trên [-a; a]

   

 

0

2

0

a

f x dx

f

f x

x

f











f) Nếu f là hàm chẵn thì:

g) Nếu f là hàm lẻ thì:

Trang 8

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Tìm chi phí khi biết chi phí cận biên

• Tìm doanh thu khi biết doanh thu cận biên

• Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên

là:

• Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200

  90 120 27 2

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên

là:

• Giả sử Q=1 thì chi phí là 60 Tìm hàm chi phí

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận biên là:

• Giả sử Q=1 thì R=37 Tìm doanh thu và hàm giá theo sản lượng

• Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:

• Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4 (triệu đồng) Tìm doanh thu và hàm sản lượng theo giá

Tích phân trong phân tích kinh tế

• Ví dụ 1 Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức

sản lượng Q là MC=8e0,2Qvà chi phí cố định là FC=50 Xác định hàm tổng chi phí và chi phí khả biến

• Ví dụ 2 Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi

mức sản lượng Q là MR=50-2Q-3Q2 Xác định hàm tổng doanh thu

Trang 9

Thặng dư tiêu dùng & Thặng dư sản xuất

Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế

của người mua

Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của

người bán

Thặng dư tiêu dùng

• Consumer surplus (CS)

• Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của

người mua trừ đi mức giá mà họ thực sự trả

• Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người

mua chấp nhận mua sản phẩm

• Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một

sản phẩm hay dịch vụ,

Dùng đường cầu để đo TDTD

• Đường cầu thị trường mô tả các mức sản lượng

mà người tiêu dùng sẵn lòng và có thể mua tại

những mức giá khác nhau

• Diện tích phía dưới đường cầu và trên mức giá

chính là thặng dư tiêu dùng

Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng

Consumer surplus

Quantity

(a) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P 1

Price

0

Demand

P1

Q1

B A

C

Initial consumer surplus

Quantity

(b) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P 2 Price

0

Demand

A

B

C

F

P1

Q1

P2

Q2

Consumer surplus

Additional consumer surplus to initial consumers

Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng

Thặng dư sản xuất

• Producer surplus (PS)

• Thặng dư sản xuất là mức giá người bán được trả trừ đi chi phí cho sản phẩm

• Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thị trường

Trang 10

Dùng đường cung đo TDSX

• Thặng dư tiêu dùng liên quan đến đường cầu

• Thặng dư sản xuất liên quan đến đường cung

• Diện tích phía dưới mức giá và trên đường cung

chính là thặng dư sản xuất

Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất

Producer

surplus

Quantity

(a) Thặng dư sản xuất ở giá P 1

Price

0

Supply

B

A

C

Q1

P1

(b) Thặng dư sản xuất ở giá P 2 Price

P1 B

C

Supply

A

Initial

producer

surplus

P2

Producer surplus

Additional producer

surplus to initial

producers

F

Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất

PS và CS khi cân bằng thị trường

Equilibrium price

Equilibrium quantity

Producer surplus

Consumer surplus

Price

Supply

Demand A

C

B

D

E

Công thức chung

• Tại mức giá cân bằng P0 và lượng cân bằng Q0

ta có:

• Trong đó: D-1(Q) và S-1(Q) là hàm cầu đảo và hàm cung đảo

0

1

0 0 0

1

0 0 0

( ) ( )

Q





Ví dụ

• Cho các hàm cung và hàm cầu:

• Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng

dư của người tiêu dùng

Trang 11

Ví dụ

• Sản lượng cân bằng Q0 là nghiệm của pt:

• Thặng dư của nhà sản xuất:

• Thặng dư người tiêu dùng:

0

3

18

Q

D Q S Q

p





 

3

2 0

18.3 1 2 27

PS  Q  dQ

 

3

2 0

43 2 18.3

CS  Q dQ

Xác định quỹ vốn

• Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và quỹ

vốn K là hàm theo biến thời gian t.

• Ta có: I=I(t); K=K(t)

• Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tại

thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểm

đó)

I(t)=K’(t)

• Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹ

vốn như sau:

K t K t dt I t dt

Tích phân trong phân tích kinh tế

• Ví dụ 3 Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2(nghìn đô la

một tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là

K(1)=10 (nghìn đô la) Hãy xác định hàm quỹ

vốn K(t) và lượng vốn tích lũy được từ tháng 4

đến tháng 9

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	817,94 KB