BAI GING TOAN CAO CP

Ta biến đổi giới hạn để đưa về dạng 00 sau đó áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital... 3.3.1 Phương pháp đổi biến s ốPhương pháp đổi biến trong tích phân bất định có thể chia làm hai dạng

Giới hạn hàm số

Cho hàm số f x( ) xác định trong một lân cận của x (có thể trừ tại 0 x ) Số 0 L được gọi là giới hạn của hàm số f x khi x d( ) ần đến x nếu: 0

Giới hạn của hàm số f x khi x dần đến ( ) x còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy 0 số như sau:

Cho f x u x v x( ), ( ), ( ) xác định trong một lân cận của x có thể trừ tại 0 x 0

Nếuu x( ) f x( )v x( ) với mọi x thuộc lân cận đó và

   ta có bất đẳng thức cos sin x 1 x  x  , mà lim cos0 1 x x

1.1.3 Một số tính chất của giới hạn hàm số i) Nếu

  thì giới hạn đó là duy nhất ii)

  (C : hằng số) iii) Nếu f x( )g x( ),x thuộc một lân cận nào đó của x ho 0 ặc ở vô cực thì

   (nếu các giới hạn này tồn tại). iv) Nếu f x( )g x( )h x( ),x thuộc một lân cận nào đó của x ho 0 ặc ở vô cực và

  v) Giả sử các hàm số f x g x có gi( ), ( ) ới hạn khi xx 0 khi đó ta có các kết quả sau :

Vô cùng bé

Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình, chẳng hạn khi x  x o (Những kết quả đạt được vẫn đúng trong một quá trình khác)

Hàm ( )x được gọi là một vô cùng bé (VCB) trong quá trình x  x o nếu

Ví dụ sin , x tgx, 1 cos  x là những VCB khi x0, còn 2 1

Trong phân tích toán học, hàm số (x) và (x) là hai biến cố trong một quá trình xác suất, chẳng hạn khi x tiến gần tới một giá trị giới hạn x₀ Tốc độ tiến về giới hạn của chúng đôi khi mang ý nghĩa quan trọng trong việc xác định tính ổn định hoặc khả năng hội tụ của quá trình đó Để mô tả chính xác hơn, ta có các định nghĩa liên quan đến tốc độ tiến về không của các hàm này, giúp hiểu rõ hơn về hành vi của các hàm khi x tiến gần đến x₀.

  thì ta nói ( ) x là VCB bậc cao hơn VCB ( )x trong quá trình đó (( )x dần tới 0 nhanh hơn ( )x khi xx o )

Trong quá trình phân tích, nếu (x) và (x) bằng nhau thì ta nói chúng là hai VCB ngang cấp Khi đó, (x) và (x) dần ti gần đến 0 cùng nhau khi x tiến tới x₀ Đặc biệt, khi L = 1, chúng ta gọi (x) và (x) là hai VCB tương đương, ký hiệu là (x)  (x), phản ánh sự tương tự và mức độ giống nhau giữa hai hàm trong giới hạn.

1.2.3 Một số VCB tương đương cơ bản khi x 0 sin xx tgxx arcsin xx arctgxx;

-1 ln a x x a e x -1x a x n n a n  1 x n  1   a x p p a x p p , (n p a, p 0) Sinh viên có thể tự kiểm tra các tương đương này (xem như bài tập)

Ví dụ So sánh cấp của các VCB:

( ) sin cos sin lim lim lim lim 0

Do đó, ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x

Ví dụ So sánh cấp của các VCB: ( ) 1 cos ,x   x ( )x x 2 , x0

Do đó,  ( ) x và ( )x là hai VCB cùng cấp.

1.2.4 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao i) Nếu  ( ) x  1 ( ) x và ( )x  1 ( )x trong cùng một quá trình thì trong quá trình ấy

   ii) Cho ( )x và ( )x là hai VCB trong một quá trình và ( )x có cấp cao hơn  ( ) x Khi đó ( )x ( )x ( )x

Từ hai kết quả trên ta suy ra quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:

Giả sử  ( ) x và ( )x là hai VCB trong một quá trình nào đó  ( ) x và ( )x đều là tổng của nhiều VCB Khi đó giới hạn của tỉ số ( )

 bằng giới hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp nhất trong ( )x và ( )x

Ví dụ Tìm các giới hạn sau:

Khi x  0, ta có: sin 2 khi 0 tgx x x x x x x

.1 sin (1 cos ) 2 1 sin cos 1 2 x x x x tgx x x x

Hàm số liên tục

Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục tại x o  D nếu 0

  Khi đó x gọi là 0 điểm liên tục của hàm f x ( )

Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục trên ( , )a b nếu f x liên tục tại mọi điểm thuộc ( ) ( , )a b Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục bên trái (bên phải) x 0  D nếu

Hàm f x( ) được gọi là liên tục trên [ , ]a b nếu f x liên tục trên ( ) ( , )a b và liên tục bên phải tại a, bên trái tại b

1.3.2 Tính chất của hàm số liên tục

Giả sử f x( ), g x là hai hàm liên t( ) ục trên [ , ]a b Khi đó: i) f x( )g x( ) và f x g x liên t( ) ( ) ục trên [ , ]a b , nếu g x( )0 thì ( )

Trong phân tích hàm số, điều kiện liên tục của hàm trên đoạn đóng [a, b] là rất quan trọng Cụ thể, nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b], thì nó đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại một điểm nào đó trong đoạn đó Ngoài ra, phần tử u(x) liên tục tại x, với điều kiện f(u(x)) = 0 và hàm liên tục tại u(x), đảm bảo rằng hàm hợp f(u(x)) cũng liên tục tại x Những tính chất này giúp ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số và ứng dụng trong các bài toán tối ưu và giải tích.

Nếu f x không liên t( ) ục tại x 0 D thì ta nóif x( ) gián đoạn tại x 0 và điểm x g 0 ọi là điểm gián đoạn

Hàm số \(f(x)\) có điểm gián đoạn tại \(x_0\) khi nó không còn liên tục tại đó, mặc dù giới hạn của \(f(x)\) tại \(x_0\) vẫn tồn tại Nếu hàm số gián đoạn tại \(x_0\) do giới hạn trái và phải của \(f(x)\) tại đó không bằng nhau, thì \(x_0\) được gọi là điểm gián đoạn loại 1 Các điểm gián đoạn còn lại, khi giới hạn trái và phải đều tồn tại nhưng khác nhau hoặc hàm không xác định, được xem là điểm gián đoạn loại 2.

Ví dụ Xét tính liên tục của hàm

Vậy f x( ) gián đoạn tạix0,vàx0 là điểm gián đoạn loại 1

 Hàm số gián đoạn tại x0và

     nên x0 là điểm gián đoạn loại 1

 , có điểm gián đoạn tại x 0  2

Suy ra x 0  2 là điểm gián đoạn loại 2

Câu 1 Tìm miền xác định của hàm số a)yln 1x 2 b) 1 arctan y 1

   Câu 2 Tính giới hạn của các dãy số sau: a) lim ( 2 ) n n n n

Câu 3 Tính giới hạn của các hàm số sau: a)

 Câu 4 Tính giới hạn của các hàm số sau: a)

Câu 5 Tính giới hạn của các hàm số sau: a) cot

Câu 6 Tìm a để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng. a) 2

   Câu 7 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số và chúng thuộc loại nào a) 1

2 CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Đạo hàm

2.1.1 Đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f x( ) xác định tại x và tại lân cận 0 x 0 Khi đó nếu tỉ số 0

Khi giới hạn của hoặc x tiến tới x₀, ta nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm đó hoặc f(x) có đạo hàm tại x₀ Giới hạn này chính là đạo hàm của hàm số tại điểm x, thường được ký hiệu là f'(x) hoặc y'(x) Đạo hàm thể hiện tốc độ biến đổi của hàm số tại một điểm xác định, phản ánh sự liên tục và khả năng dự đoán giá trị tương lai của hàm số dựa trên giá trị ngay tại điểm đó Đây là khái niệm cốt lõi trong phân tích đạo hàm, giúp hiểu rõ hơn về đặc tính của hàm số và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kỹ thuật, vật lý và kinh tế.

Hàm số \( y = f(x) \) được gọi là có đạo hàm trên khoảng \( (a, b) \) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm \( x_0 \) trong khoảng đó Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) là một hàm số xác định trên \( (a, b) \) This ensures that the function is differentiable throughout the interval, allowing for analysis of its behavior and slopes at various points.

( , )a b Cho nên ký hiệu của đạo hàm của y f x( ) trên ( , )a b là f x hoặc '( ) y '

Ví dụ Xét hàm số y f x( )x 2

Ta có miền xác định của hàm số là R Đạo hàm của hàm số trên tập xác định là

2.1.2 Bảng các đạo hàm cơ bản

(cot ) ' 1 (1 cot ) sin x x x x tgx tg x x gx g x x

2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm

Nếu hai hàm u x và ( ) ( ) v x có đạo hàm tại điểm x thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm tại điểmx và:

2.1.4 Đạo hàm của hàm hợp

Xét hàm hợp y  y u x   ( ) n ếu h àm y  y u ( ) có đạo hàm đối với u và uu x( ) có đạo hàm đối với x thì y  y u x   ( ) có đạo hàm đối với x và y x'( )y u u x'( ) '( )

Ví dụ Xét hàm số y   (1 x 3 10 )

Ví dụ Giả sử ( ), ( )x  x có đạo hàm với mọi xR Tính đạo hàm của hàm

Ví dụ Tính các đạo hàm của hàm số sau: 1

Lấy đạo hàm hai vế ta được: ' 1 1 ln(1 )

Hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) được gọi là đạo hàm cấp nhất của hàm số đó Nếu \(f(x)\) khả vi, thì đạo hàm của \(f'(x)\) chính là đạo hàm cấp hai của hàm số \(f(x)\), ký hiệu là \(f''(x)\) Như vậy, đạo hàm cấp hai của hàm số được tính bằng \(f''(x) = \left( f'(x) \right)' \).

Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n1 của f x( ) được gọi là đạo hàm cấp n của f x ký hiệu ( ) f ( ) n ( )x vậy f ( ) n ( )x  f ( n  1) ( ) 'x 

Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n của y  f x ( )  xe x

Chứng minh bằng quy nạp ta đi đến kết quả sau y ( ) n  (n x e) x

Cho hàm số y f x( ) xác định trên ( , )a b và x( , )a b , nếu hàm số y f x( ) khả vi tại điểm x thì số gia của hàm số tại x có thể viết được dưới dạng

        với o(x) là VCB cấp cao hơn xkhi  x 0

Biểu thức f x'( ).x được gọi là vi phân của f x t( ) ại x Ký hiệu: df x ho( ) ặc dy x t( ) ức là

Xét hàm y f x( )x ta có f x'( )1nên df x( )    dx 1 x x từ đó ta có

( ) '( ) '( ). df x  f x  x f x dx Để ngắn gọn ta viết df  f x dx'( ).

Giả sử y f x x( ), ( )t là các hàm số khả vi, khi đó vi phân hàm y  f    ( ) t là

Dạng vi phân của hàm y = f(x) không thay đổi dù x là biến độc lập hay là biến khả vi theo biến t Tính chất này được gọi là tính bất biến của dạng vi phân, đảm bảo tính ổn định của dạng vi phân khi chuyển đổi biến Không phụ thuộc vào cách chọn biến, dạng vi phân vẫn giữ nguyên giá trị, giúp các nhà toán học và kỹ sư dễ dàng hơn trong việc phân tích và ứng dụng hàm số trong các lĩnh vực khác nhau.

Ví dụ Tìm vi phân của hàm ylnx Áp dụng định nghĩa dạng vi phân ta được (ln ) dx dy d x

2.1.7 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng

Cho hàm y f x( ) khả vi tại x 0 Theo định nghĩa vi phân ta có số gia của hàm tại x là : 0

Do đó khi x khá bé ta có công thức gần đúng

Ví dụ Tính gần đúng 122

Xét hàm y f x( ) x Áp đụng công thức gần đúng f x( 0   x) f x'( ) 0  x f x( 0 ) suy ra

Ví dụ Tính gần đúng sin 29 o

Ta có sin(x 0   x) cosx 0  x sinx 0 , áp dụng cho 0 , -

Ứng dụng đạo h àm

2.2.1 Định lí ( Quy tắc L’Hospital) i) Cho f x( ),g x( )0 là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cận x 0 (x 0 hữu hạn hoặc

    vàg x'( )0 với mọi x thuộc lân cậnx 0 Khi đó nếu

 g x  ii) Cho f x( ),g x( )0 là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cậnx Giả sử 0 lim ( ) lim ( ) o o x x f x x x g x

     vàg x'( )0, với mọi x thuộc lân cậnx 0 Khi đó:

Ta có: ln 1 lim lim ln

Chú ý : Khi x tiến tới một quá trình nào đó (chẳng hạn x tiến tới x ), nếu 0

 g x không tồn tại thì không kết luận được cho

 g x Nếu áp dụng quy tắc L’Hospital mà giới hạn vẫn còn dạng vô định 0

 thì có thể áp dụng quy tắc L’Hospital một lần nữa và tiếp tục cho đến hết dạng vô định

  Áp dụng liên tiếp hai lần quy tắc L’Hospital ta được

1 1 1 sin sin cos lim lim lim

  Áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital ta có:

3 6 6 lim lim lim lim 6 sin 1 cos sin cos x x x x x x x x x x x x

 Đối với các dạng vô định   , 0 , 0 , 0  0 và 1  ta phải đưa các dạng vô định đó về một trong hai dạng 0

 sau đó lại áp dụng quy tắc L’Hospital.

Ta biến đổi để đưa giới hạn về dạng 

1 lim ln limln lim lim 0

Ta biến đổi giới hạn để đưa về dạng 0 0 sau đó áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital

Ví dụ Tính x lim  x ln 3 x 

3ln 1 ln ln 6 ln 1 lim lim lim 3 lim lim 6 0

Vậy: x lim   x ln 3 x  lim x  x 1- ln x 3 x 1

2 ln lim ln 2 lim 2 lim lim 1 1 x x x x x x x x x x x e e e e

2.2.2 Sự biến thiên của hàm số

Cho hàm số y f x( ) liên tục trên [ , ]a b và có đạo hàm hữu hạn trên ( , )a b , khi đó ta có các kết quả sau :

Nếu f x( ) luôn tăng (giảm) trên [ , ]a b thì f x'( )  0, x ( , )a b ( f x'( )  0, x ( , )a b ) Nếu f x'( )  0, x ( , )a b (f x'( )  0, x ( , )a b ) thì trên [ , ]a b hàm ( )f x đơn điệu tăng (giảm)

Việc chứng minh hai kết quả trên dựa vào các khái niệm quan trọng như định nghĩa hàm số tăng giảm, định nghĩa đạo hàm và định lí Lagrange Sinh viên cần tự trình bày chứng minh như một bài tập để hiểu rõ hơn về các nguyên lý này Những kiến thức này đóng vai trò then chốt trong việc phân tích và chứng minh các tính chất của hàm số trong toán học cao cấp Chứng minh dựa trên các định nghĩa và định lí này giúp làm rõ các đặc điểm của hàm số và làm nền tảng cho các bài toán phức tạp hơn trong lĩnh vực đạo hàm và tối ưu hóa.

Từ hai kết quả trên ta có nhận xét : Nếu hàm ( )f x có đạo hàm đồng nhất bằng 0 trên [ , ]a b thì ( )f x là hàm hằng trên [ , ]a b

Trong phân tích đạo hàm, nếu hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trong một lân cận của điểm tới hạn \(x_0\), thì các thay đổi dấu của đạo hàm tại \(x_0\) cho biết tính chất cực trị của hàm tại đó Cụ thể, nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x_0\), thì \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_0\); nếu đổi dấu từ dương sang âm, thì \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\); còn nếu \(f'(x)\) không đổi dấu, thì không có cực trị tại \(x_0\).

Ví dụ Tìm cực trị của hàm số y f x( ) (x 1) 3 x 2

Miền xác định của hàm số là R

Bảng xét dấu của đạo hàm :

 x , với các điểm tới hạn là : 2

Ta có hàm số đạt cực đại x0 và đạt cực tiểu tại 2 x5

Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng [a, b] và khả vi liên tục đến cấp hai trên (a, b) Nếu tại điểm x₀ thuộc đoạn (a, b), chúng ta có f'(x₀) = 0 và f''(x₀) < 0, thì hàm số đạt cực đại tại x₀ Ngược lại, nếu tại x₀, f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0, thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm đó.

Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số x 3 2 4 y x

 x   : đường cong có tiệm cận đứng x0

 x   : đường cong không có tiệm cận ngang

      đường cong có tiệm cận xiên yx

Ta có bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại x2 và y min 3

Giao điểm của đồ thi với trục hoành ( 3 4, 0)

Câu 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) ysin 2 x b)ycos(x 2 3 )x c) yln(x 2 3 )x d)y x 2  x 1 e) ye  s in x f) yx x g) yx sin x h) yln x 2 3x i)

Câu 2 Tính đạo hàm cấp 3 của các hàm số sau a) ysinax b) 1 y ax b

Câu 3 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau a)

Câu 4 Tìm cực trị của các hàm số sau a)yxlnx b)y 3x 2 sin 2 x c)

2 x ye  Câu 4 Tính các giới hạn sau bằng quy tắc L’hospital a)

Nguyên hàm

Hàm F x( ) được gọi là một nguyên hàm của f x trên ( , )( ) a b nếu

Ví dụ tg x là m( ) ột nguyên hàm của 1 tg x 2 trên R \  2 n  1   2 , sinx100 là một nguyên hàm của cos x…

Có thể chứng minh rằng nếu \(F_x\) là một nguyên hàm của \(f_x\) trên khoảng \((a, b)\), thì mọi nguyên hàm của \(f_x\) trên khoảng đó đều có dạng \(F_x + C\), trong đó \(C\) là một hằng số Các nguyên hàm này được gọi là tích phân bất định của hàm \(f_x\), ký hiệu là \(\int f_x\, dx\).

 trong đó dấu  được gọi l à dấu tích phân, f x( ) là hàm dưới dấu tích phân, f x dx là bi( ) ểu thức dưới dấu tích phân và x là biến số tích phân.

3.1.2 Một số tính chất của tích phân bất định

) C f x dx C f x dx ii    , C là hằng số

Việc chứng minh các tính chất trên xem như bài tập

3.1.3 Tích phân bất định của một số hàm số cơ bản kdx kx C

  e dx  x  e   x  C , (   0) cos(ax b dx) 1sin(ax b) C

  sin( ax b dx  )  1 a cos( ax b  ) C

( ) cos ( )dx tg ax b C ax b  a  

( ) sin ( )dx cotg ax b C ax b  a  

Tích phân xác định

Hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a, b]\) và \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn đó Giá trị của \(F(b) - F(a)\) được gọi là tích phân xác định của hàm \(f(x)\) trên \([a, b]\), với ký hiệu \(\int_{a}^{b} f(x) dx\) Tích phân xác định thể hiện diện tích tổng quát của đồ thị hàm số và là công cụ quan trọng trong tính toán diện tích, thể tích và các ứng dụng thực tế khác.

 Người ta thường viết F x( ) b a F b( )F a( ) Vậy

Nhận xét Tích phân xác định không phụ thuộc vào ký hiệu của biến dưới dấu tích phân, nghĩa là

3 x là một nguyên hàm của f x( )x 2 , do đó

 hàm số ln(cos )x là một nguyên hàm của tgx nên

0 ln(cos ) ln( 2) ln(1) ln 2 tgxdx x 2

3.2.2 Các tính chất của tích phân xác định

Giả sử f x g x là các hàm khả tích trên ( ), ( )   a b , khi đó:

) ( ) v f x khả tích trên   a b , và b ( ) b ( ) a a f x dx  f x dx

Khi tìm nguyên hàm hoặc tính tích phân xác định, nếu hàm dưới dấu tích phân phức tạp hoặc không dạng như các hàm cơ bản, ta cần biến đổi hàm này để phù hợp với các công thức tích phân dễ dàng áp dụng Có hai phương pháp chính để biến đổi tích phân trong trường hợp này, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và đạt được kết quả chính xác hơn.

Hai phương pháp tính tích phân cơ bản

3.3.1 Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến trong tích phân bất định có thể chia làm hai dạng

Dạng 1: Đặt x( )t , trong đó ( )t là hàm khả vi và đơn điệu đối với biến t Ta có:

 x Đặt xt 3 , x khả vi và đơn điệu với mọi t , suy ra dxx t dt'( ) 3t dt 2

3 sin 3cos 3cos x t t dx tdt t C x C x  t       

Ví dụ Tính  1 x dx 2 Đặt sin , arcsin , ( 1 1)

2 2 x t    t   t x   x Ta có dxx t dt'( ) costdt

1 1 sin cos cos cos (cos 0 )

Dạng 2: Đặt uu x( ) trong đó u x là hàm kh( ) ả vi Ta có

 Đặt u e x duu x dx'( ) e dx x Suy ra

3 3 ( ) x x x x x e dx u du u du e u u u e u arctg u e arctg e C

Ví dụ Tính sin 2 4 cos 4 xdx x

 Đặt ucos 2 xduu x dx'( )  2 sin cosx xdx Suy ra

 Đặt u x 2 du2xdx , khi đó:

Phương pháp tính tích phân xác định có thể được áp dụng bằng cách đặt \(x = \varphi(t)\), trong đó \(\varphi(t)\) là hàm liên tục có đạo hàm trên khoảng \([\alpha, \beta]\) Khi đó, nếu \(\varphi(\alpha) = a\) và \(\varphi(\beta) = b\), và biến thiên của \(t\) trong khoảng \([\alpha, \beta]\), thì biến thiên của \(x\) nằm trong khoảng \([a, b]\) Áp dụng công thức biến đổi tích phân, ta có thể viết: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \, \varphi'(t) \, dt\) Đây là một phương pháp hữu ích giúp đơn giản hóa việc tính tích phân xác định bằng cách biến đổi biến số phù hợp.

I  x x dx Đặt sin , (0 ) cos x t  t 2  dx tdt

1 sin 1 sin cos sin cos

I x x dx t t tdt t tdt tdt t dt x t

  Đối với dạng 2: Đặt uu x( ) với u x( ) đơn điệu, khả vi liên tục trên [ , ]a b và ( )f x dx trở thành g u du th( ) ỏa ( ) g u liên tục trên [ ( ), ( )]u a u b Khi đó

2 2 cos 1 sin cos cos sin (sin ) x x

     Đặt usinxducosxdx và 2

3.3.2 Phương pháp tích phân từng phần

Nếu uu x v( ), v x( ) là hai hàm khả vi liên tục trên một khoảng nào đó, khi đó: udv uv vdu

Công thức tích phân từng phần giúp giảm độ phức tạp của phép tính bằng cách chuyển đổi tích phân của tích hai hàm thành tích của tích phân khác Thay vì tính tích phân của biểu thức \( u\, dv \), ta có thể tính tích phân của \( v\, du \) dễ dàng hơn, giúp tiết kiệm thời gian và công sức Để áp dụng phương pháp tích phân từng phần trong việc tính tích phân \( \int f(x) dx \), ta cần phân tích hàm \( f(x) \) thành các phần phù hợp, xác định đúng các hàm \( u \) và \( dv \) để quá trình tính toán diễn ra thuận lợi hơn.

Việc chọn u và dv trong phương pháp tích phân từng phần cần đảm bảo u' đơn giản và v = ∫h(x)dx để dễ tính toán Các dạng tích phân sau đây thường được xử lý bằng cách áp dụng phương pháp tích phân từng phần, dựa trên cách đặt u và dv phù hợp để thuận tiện cho việc tính toán Chọn đúng u và dv là bước quan trọng giúp quá trình tích phân trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.

P x xdx P x arctgxdx P x arc gxdx P x xdx P x xdx

     đặ t n ( ) dvP x dx với P x n ( ) là đa thức bậc n theo x

Ví dụ Tính I(2x3)e dx 2 x Đặt 2 2

I   e   e dx   e  e    C x e  C Áp dụng vào tích phân xác định ta tiến hành như sau:

Nếu u x v x là hai hàm kh( ), ( ) ả vi liên tục trên [ , ]a b Khi đó b b b a a a udvuv  vdu

Cách đặt u và dv tương tự như trong tích phân bất định.

Ví dụ Tính các tích phân sau:

I  xdx Đặt ln dx u x du dv dx x v x

 Đặt cos sin x x u e du e dx dv xdx v x

 , ta tiếp tục tích phân từng phần J 1 Đặt sin cos x x u e du e dx dv xdx v x

Chúng ta đã xây dựng khái niệm và hướng dẫn cách tính tích phân khi các cận lấy tích phân hữu hạn và hàm tích phân liên tục Trong bài viết này, chúng ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân để áp dụng cho các trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn, giúp hiểu rõ hơn về các kỹ thuật tính tích phân trong các bài toán phức tạp hơn.

Tích phân suy r ộng

3.4.1 Tích phân suy rộng dạng ( ) a f x dx

Xét hàm số f x( ) xác định trên [ ,a ), khả tích trên mọi đoạn [ , ],a b  b a Ta định nghĩa tích phân suy rộng của f x trên [ ,( ) a ) là lim ( ) b b a f x dx

Nếu giới hạn trên là hữu hạn ta nói ( ) a f x dx

  hội tụ, nếu giới hạn vô hạn hoặc không tồn tại ta bảo tích phân phân kì

1 1 lim lim ln lim ln ln1

3.4.2 Tích phân suy rộng dạng b f x dx ( )

Tương tự ta cũng định nghĩa tích phân suy rộng với khoảng lấy tích phân là (, ]b và ( , )

Tích phân suy rộng của f x trên (( ) , ]b là lim ( ) , ( ) b a a f x dx a b

   , nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói ( ) b f x dx

  hội tụ, ngược lại ta bảo tích phân ( ) b f x dx

3.4.3 Tích phân suy rộng dạng  f x dx ( )

Tích phân suy rộng của f x trên (( )  , ) là lim ( ) b a a b f x dx

  Với giả thiết f x khả tích trên mọi khoảng [ , ]( ) a b , như vậy ta có thể viết

  h ội tụ    c f x dx ( ) và   c f x dx ( ) cùng h ội tụ.

2 2 lim lim a arctgc arctga b arctgb arctgc arctgc   arctgc 

Các tiêu chuẩn hội tụ

Thông thường, để xác định liệu một tích phân suy rộng có hội tụ hay không, ta không nhất thiết phải tính trực tiếp tích phân đó Thay vào đó, ta dựa vào các tiêu chuẩn hội tụ, là những kết quả quan trọng giúp đánh giá tính hội tụ của tích phân một cách nhanh chóng và chính xác Các tiêu chuẩn hội tụ này đóng vai trò quan trọng trong phân tích tích phân suy rộng, giúp người làm toán dễ dàng nhận biết và đưa ra kết luận về tính hội tụ mà không cần thực hiện phép tính tích phân phức tạp.

3.5.1 Định lí (Tiêu chuẩn hội tụ thứ nhất)

Cho ( ), ( )f x g x là hai hàm không âm trên [ ,a ), khả tích trên mọi khoảng [ , ]a b và ( ) ( ) f x g x Khi đó i) Nếu ( ) a g x dx

  h ội tụ th ì   a f x dx ( ) h ội tụ ii) Nếu ( ) a f x dx

3.5.2 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ hai)

Cho f x g x là hai hàm không âm trên [ ,( ), ( ) a ), khả tích trên mọi khoảng [ , ]a b Khi đó i) Nếu ( ) lim , 0

 g x     thì các tích phân ( ) a f x dx

  và   a g x dx ( ) sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ ii) Nếu ( ) lim 0

  hội tụ suy ra ( ) a f x dx

  h ội tụ iii) Nếu ( ) lim ( ) x f x

  phân kỳ suy ra ( ) a f x dx

Ví dụ Xét sự hội tụ của các tích phân sau

  phân kì Suy ra tích phân

  phân kì nên tích phân đã cho phân kì Trường hợp f x có dấu tùy ý ta có kết quả sau ( )

3.5.3 Định lí (Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ)

  h ội tụ th ì   a f x dx ( ) h ội tụ.

Khi đó ta nói ( ) a f x dx

  hội tụ tuyệt đối còn nếu ( ) a f x dx

  hội tụ thì ta nói ( ) a f x dx

Ví dụ Xét sự hội tụ của 2

  hội tụ tuyệt đối Chú ý Các tích phân ( ) , ( ) b f x dx f x dx

    cũng có những định lý tương tự.

Ứng dụng tích phân

3.6.1 Tính diện tích hình phẳng

Cho hàm số f x liên tục và ( ) f x( )0 trên [ , ]a b Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong f x( ) và hai đường thẳng xa x, b và trục Ox là

Hàm số f x liên tục [ , ]( ) a b thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong f x ( ) và hai đường thẳng xa x, b và trục Ox là | ( ) | b a

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong f x và ( )( ) g x liên tục trên [ , ]a b và hai đường thẳng xa x, b cho bởi công thức sau | ( ) ( ) | b a

Trong quá trình tính diện tích hình phẳng ta nên chú ý đến tính chất đối xứng của hình phẳng để việc tính diện tích đơn giản hơn

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườn yx 2 ,

2 y x và y2x Để tính diện tích này ta chia nó làm hai phần, phần thứ nhất ứng với

[0, 2] x phần thứ hai ứng với x[2, 4]

Diện tích hình phẳng đã cho là S  S 1 S 2 4

Ví dụ tính diện tích hình elip

2 2 1 x y a b  Đường elip chính tắc đối xứng qua các trục tọa độ nên diện tích là :

3.6.2 Tính thể tích vật thể

Vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a và x = b, với điều kiện a < b, có diện tích thiết diện thay đổi khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc Hiểu rõ đặc điểm và diện tích của thiết diện giúp phân tích hình học của vật thể một cách chính xác hơn Việc xác định diện tích này đóng vai trò quan trọng trong các ứng dụng thực tiễn liên quan đến tính toán thể tích và đặc tính hình học của vật thể.

Ox tại x là S x , ( )( ) S x là một hàm liên tục trên đoạn [ , ]a b Khi đó thể tích vật thể được tính như bằng công thức ( ) b a

Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi elipsoid

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ là x thiết diện nhận được là một elip có phương trình

Diện tích của elip này là : ( ) (1 x 2 2 )

Thể tích của vật thể là

Khi vật thể hình thang cong giới hạn bởi đường cong \( f(x) \) liên tục trên đoạn \([a, b]\), trục Ox và hai đường thẳng \( x=a \) và \( x=b \) quay quanh trục Ox, ta thu được một vật thể tròn xoay Các thiết diện vuông góc với trục Ox tại điểm \( x \) là các hình tròn có tâm nằm trên trục Ox và bán kính bằng \( f(x) \), diện tích của các thiết diện này là \( S(x) = \pi [f(x)]^2 \) Do đó, thể tích của vật thể tròn xoay được tính bằng tích phân từ \( a \) đến \( b \), cụ thể là \( V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx \).

Ví dụ Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi elip x 2 2 y 2 2 1 a b  khi nó quay quanh trục Ox

  a  Theo công thức ta có

Câu 1 Tính các tích phân sau: a) sin xdx 2 cox x

Câu 2 Tính các tích phân sau a)  x arctgx dx b)  ln xdx c)  x cos xdx d)  x e dx 2 x e)  x ln xdx f)    x  1 sin xdx

Câu 4 Tính tích phân sau a)

I dx b) I   1 e ln xdx c) 1 0 cos(arctan ) 2

Câu 5 Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau: a)

 ; ds hội tụ Câu 6 Tính diên tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y 2 2 ,x x 2 2y ; ds 4

3 b)y x 2 4,y x 4; ds 1/6 Câu 2 Tính thể tích các vật thể cho bởi: a) y 2x x 2 ,y0 xoay quanh trục Ox ; ds 16

15 b) yx 2 ,y1 xoay quanh trục Oy ; ds 1

Hàm nhiều biến

Một qui luật f đặt tương ứng mỗi cặp số thực ( , )x y  D D D, R với một và chỉ một phần tử zR thì ta nói f là hàm hai biến số trên D D Ký hiệu f D D:  R hay

Ví dụ Các hàm zxy t,   x 2 y 2 1 Đối với hàm ba biến thì ta có định nghĩa tương tự, khi đó ta có: u f x y z( , , ) Chẳng hạn

Tập hợp các cặp ( , )x y mà ứng với chúng có thể xác định được giá trị của z được gọi là miền xác định của hàm hai biến z f x y( , ), ký hiệu là D f ( )

1) Miền xác định của hàm

   là x 2  y 2 4 Vậy D f gồm các điểm nằm ( ) trong vòng tròn tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 2

2) Miền xác định của hàm zsin(xy) là R 2

4.1.2 Giới hạn của hàm hai biến

Số L được gọi là giới hạn của hàm z f x y( , ) khi điểm M x y ti( , ) ến đến điểm

M x y nếu với mọi  0 bé tuỳ ý cho trước có thể tìm được  0 sao cho khi

Giới hạn của hàm hai biến có thể được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy các điểm tiến tới điểm M Cụ thể, hàm số \(f(x, y)\) xác định trong miền \(D\) chứa điểm \(M(x_0, y_0)\), và giới hạn của \(f\) khi \((x, y)\) tiến tới \((x_0, y_0)\) chính là giá trị của giới hạn của dãy các giá trị \(f(x_n, y_n)\) khi các điểm \((x_n, y_n)\) tiến tới \((x_0, y_0)\) Điều kiện này giúp xác định rõ ràng hơn về cách hàm số tiếp cận giá trị tại điểm giới hạn, là nền tảng quan trọng trong phân tích hàm nhiều biến.

M Ta nói rằng 0 L là giới hạn của f x y( , ) khi điểm M x y dần tới điểm ( , ) M x y nếu 0 ( , 0 0 ) với mọi dãy M n (x y n , n )thuộc D dần tới M 0 ta đều có lim ( n , n ) n f x y L

 , do đó   ( x y n , n )   (0, 0) ta đề u có

( , )x y tiến về (0, 0) theo các hướng khác nhau thì ( , )f x y có những giới hạn khác nhau Do đó 2 2

4.1.3 Tính liên tục của hàm hai biến.

Giả sử M x y 0 ( , 0 0 )D f( ) Hàm z f x y( , ) được gọi là hàm liên tục tại điểm M 0 nếu

Hàm số liên tục trong miền đó là hàm số có giá trị xác định và không có điểm gián đoạn tại mọi điểm trong miền Điểm gián đoạn của hàm số là điểm mà tại đó hàm không liên tục, gây ra sự ngắt quãng hoặc không xác định trong đồ thị hàm số Việc xác định tính liên tục của hàm số đóng vai trò quan trọng trong phân tích toán học và ứng dụng thực tế.

Ví dụ Hàm số f x y( , ) x 2 y 2 liên tục tại mọi điểm của R 2

 gián đoạn tại (0, 0) vì không tồn tại 2 2

Đạo hàm riêng

Cho hàm z f x y( , ) Nếu xem y là một hằng số (tham số) thì f trở thành hàm của một biến số x Ta gọi đạo hàm riêng của z theo biến x là giới hạn

  Tương tự ta cũng định nghĩa đạo hàm riêng của hàm z f x y( , ) theo biến y

2) Hàm số z  x y Ta có z yx y-1

4.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao

Hàm số \( z = f(x, y) \) có các đạo hàm riêng cấp một như \( f_x' \) và \( f_y' \), phản ánh tốc độ biến thiên của hàm theo các biến tốc độ thay đổi của hàm theo từng chiều Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một được gọi là đạo hàm riêng cấp hai, thể hiện mức độ biến đổi của đạo hàm theo các biến khác Ký hiệu của đạo hàm riêng cấp hai thường được viết dưới dạng \( f_{xx} \), \( f_{yy} \), hoặc \( f_{xy} \), giúp phân biệt các loại đạo hàm riêng theo các biến và thứ tự khác nhau Việc nắm vững các đạo hàm riêng cấp hai là quan trọng trong việc phân tích tính bội của hàm số và xác định các điểm cực trị của hàm.

Trong một lân cận U của điểm M0 (x0, y0), nếu hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng f_x và f_y liên tục tại M0, thì đạo hàm riêng hỗn hợp f_xy và f_yx tại đó bằng nhau Điều này đảm bảo tính liên tục của các đạo hàm riêng hỗn hợp trong vùng giới hạn, thúc đẩy tính khả đồng và tính chất trơn của hàm số Để xác định sự đồng nhất của các đạo hàm riêng hỗn hợp, cần kiểm tra tính liên tục của chúng tại điểm M0, từ đó đảm bảo tính nhất quán trong các phép tính đạo hàm của hàm số đa biến.

Vi phân toàn phần

Nếu hàm số z f x y( , ) có các đạo hàm riêng trong lân cận điểm (x y 0 , 0 ) và các đạo hàm riêng f , f x y

   liên tục tại ( ,x y thì ta có 0 0 )

   được gọi là số gia toàn phần của z Hàm 0( ) là vô cùng bé cấp cao hơn  khi 0 Ta cũng nói hàm z khả vi tại điểm ( ,x y 0 0 )

Khi z f x y( , ) khả vi tại (x y 0 , 0 ) ta gọi phần tuyến tính f ( ,0 0) f ( ,0 0) x y x x y y x y

  được gọi là vi phân toàn phần của z f x y( , ) tại ( ,x y 0 0 ) và ký hiệu dz x y Vậy ( 0 , 0 )

Xét hàm zx y ta có: z z y 1 y ln dz dx dy yx dx x x dy x y

Vi phân cấp hai của hàm số z = f(x, y) là vi phân toàn phần của df(x, y), còn gọi là d²f hoặc d z, phản ánh các thay đổi bậc hai của hàm Vi phân cấp hai được xác định dựa trên đạo hàm riêng cấp hai của hàm, giúp phân tích chính xác hơn về tính cong và tính biến đổi của Hàm số Công thức tính vi phân cấp hai dựa trên đạo hàm riêng cấp hai là công cụ quan trọng trong lĩnh vực phân tích toán học và tối ưu hóa để hiểu rõ hơn về đặc điểm của hàm số.

4.3.3 Áp dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng

Xét hàm z f x y( , ) khả vi tại ( ,x y Khi 0 0 ) x và y đủ bé ta có công thức gần đúng sau:

Ví dụ Tính gần đúng giá trị 1, 02 3,01

Cho z f u v( , ) với uu x y v( , ), v x y( , ) thì các đạo hàm riêng được tính như sau: z z u z v x u x v x

Ví dụ Với ze u 2  v 2 ,uacos ,x vasinx thì:

2 ( cos sin ) u v u v u v dz z du z dv dx u dx v dx e u a x e v a x ae v x u x

C ực trị hàm hai bi ến

4.4.1 Điểm cực đại-điểm cực tiểu

M x y được gọi là điểm cực đại của z f x y( , ) nếu tại mọi điểm M x y trong lân ( , ) cận của M 0 ta đều có f x y( ,0 0) f x y( , ) Trong trường hợp này ta cũng nói là hàm

( , ) z f x y đạt cực đại tại M x y Nếu thay chữ “đại” bởi chữ “tiểu” và bất đẳng thức 0 ( , 0 0 )

( , ) ( , ) f x y  f x y thì M 0 ( ,x y 0 0 ) được gọi là điểm cực tiểu của z f x y( , ) Điểm cực đại và cực tiểu khi chưa cần phân biệt được gọi chung là cực trị.

Hàm z = x + y - 2 + (y - 1)^2 có giá trị tại điểm (0,1) là z = 2, là điểm cực tiểu của hàm theo điều kiện z(x, y) ≥ 2 Điểm (0,1) là điểm cực tiểu của hàm z, với giá trị cực tiểu là 2 Tuy nhiên, điểm (2,3) không phải là điểm cực trị của hàm z vì trong khoảng lân cận của nó có các điểm mà giá trị của hàm có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị tại (2,3).

4.4.2 Cách tìm cực trị hàm hai biến

Người ta chứng minh được rằng nếu hàm z f x y( , ) đạt cực trị tại M 0( ,x y 0 0) thì tại đó hoặc không tồn tại hai đạo hàm riêng hoặc các đạo hàm riêng f , f x y

Để xác định các điểm cực trị của hàm hai biến, trước tiên cần tìm các điểm (x, y, o) mà tại đó không tồn tại hai đạo hàm riêng hoặc các điểm dừng Quá trình này giúp nhận diện các điểm có khả năng là cực trị của hàm số, là bước quan trọng trong phân tích tối ưu hóa hàm hai biến Việc xác định các điểm này đảm bảo phân tích đầy đủ và chính xác các điểm cực trị tiềm năng của hàm, phù hợp với các nguyên tắc SEO liên quan đến tối ưu hóa nội dung toán học.

Giả sử M 0 ( ,x y 0 0 ) là một điểm dừng của z f x y( , ) và tại M 0 hàm z có các đạo hàm riêng

Nếu B 2 AC0 thì hàm đạt cực trị tại M 0 (đạt cực tiểu nếu A0, đạt cực đại nếu A0)

Nếu B 2 AC0 thì hàm không có cực trị tại M 0

Nếu B 2 AC0 thì chưa có kết luận.

Tìm cực trị của hàm số f x y( , )  x 3 y 3 6xy

Ta có f x ' 3x 2 6 ,y f y ' 3y 2 6x ( , )x y hay hàm số luôn tồn tại hai đạo hàm riêng Các điểm dừng là nghiệm của

Giải hệ ta được hai điểm dừng M 0 (0; 0) và M 1 (2; 2)

B AC  nên tại M 0 không phải là cực trị.

B AC   Mà A 12 0 Do đó (2, 2) là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu là f(2, 2)    8 8 24 8

Câu 1 Miền xác định của hàm số a)

Câu 2 Miền giá trị của hàm số a) zcos(1xy) b) wxysinz c) w   x 2 2x 4 y 2

Câu 2 Tính các giới hạn a)

  Định nghĩa f(0,0) để hàm số liên tuc trên R 2 Câu 4 Tìm a để các hàm số liên tục a)    

Câu 5 Tính các đạo hàm riêng cấp một a) z x 3 lny 3 3xy b) ze x 2  yx lnx c) 2 sin x z x

Câu 6 Tính các đạo hàm riêng cấp hai a) ze x siny x 3 2y b) z    x 3 y 3 ln   xy c) z  x  y d) zsin(2x3 )y b) z x 2 y 2 c) z  cot g x   y 

Câu 8 Cho ze x 2  y 2 , xacos ,t yasint Tính z t

Câu 9 Cho zlnx y y, sinx Tính z x

 Câu 10 Tìm cực trị của các hàm số sau: a) z x 4 8x 2  y 2 5 b) z   x 2 y 2 2x 1 c) z x 2 y 2 d) z  xy 3x 2y b) z x 2 y 2 c) z4(x  y) x 2 y 2

5 CHƯƠNG 5 MA TR ẬN - ĐỊNH THỨC

Ma trận

Ma trận A cấp m n trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được biểu diễn như sau:

Trong đó: a ij R : là phần tử thuộc dòng ivà cộtj của ma trận A

 a i 1 a i 2 a in  : dòng thứ i của ma trận A

: cột thứ j của ma trận A

Ký hiệu M m n  ( )R là tập hợp các ma trận cấp m n trên R

Ví dụ Xét ma trận 1 0 2

  Ma trận B là ma trận cấp 2 3

5.1.2 Các dạng đặc biệt của ma trận.

Ma trận dòng là ma trận có một dòng và n cột, ký hiệu là A =  a 1 a 2 a n 

Ma trận cột là ma trận có mdòng và một cột, ký hiệu là :

Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu 00 m n 

Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng n, ký hiệu là

Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu : AM n ( )R Đường thẳng đi qua các phần tử a 11 ,a 22 ,a 33 , ,a nn được gọi là đường chéo chính của ma trận

A Đường thẳng đi qua các phần tử a 1 n ,a 2( n  1),a 3( n  2), ,a n 1 được gọi là đường chéo phụ của ma trận A

    là một ma trận vuông Đường thẳng đi qua các phần tử 1,2,-3 là đường chéo chính

Ma trận chéo là ma trận vuông có các phần tử không nằm trên đường chéo chính bằng 0

6) Ma trận đơn vị cấp n

Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 Ký hiệu là II n

5.1.3 Các phép toán về ma trận

1) Hai ma trận bằng nhau

Hai ma trận cùng cấp A  M n m  ( ) R và BM n m  ( )R gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau, tức là: A   B a ij b ij ( i j, )

Theo định nghĩa trên giải được a2,b 1

2) Phép nhân một số với ma trận.

Cho c0 và ma trận A   a ij m n M m n  ( ) R

   Khi đó : cA(ca ij m n ) 

3) Phép cộng hai ma trận

  Tổng của A và B là ma trận C   c ij m n

  được xác định như sau:

Nhận xét Phép cộng hai ma trận chỉ thực hiện được khi hai ma trận đó cùng cấp

4) Phép nhân hai ma trận

Cho A  M m k  ( ) R và B  M k n  ( ) R Gọi A1, A2, , Am là m dòng của A; B (1) ,B (2) , ,B ( ) n là n cột của B

Khi đó C = AB gọi là ma trận tích của A với B và phần tử c của ij C được xác định như sau

Phép nhân hai ma trận AB chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A là số dòng của ma trận

Nói chung ABBA Trường hợp ABBA thì ta nói A và B là hai ma trận giao hoán.

B     B     B     B     Khi đó ma trận AB xác định bởi :

AB     BA không thực hiện được.

Chuyển vị của ma trận A là ma trận có được từ A bằng cách viết các hàng của ma trận A theo thứ tự thành cột, ký hiệu là A t

5.1.4 Các tính chất của các phép toán trên ma trận

Phép cộng hai ma trận có các tính chất sau:

Phép nhân hai ma trận có các tính chất sau:

5.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Các phép biến đổi biến ma trận A thành ma trận A’ sau được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Loại 1 : Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hiệu :

Loại 2 : Biến dòng i thành c lần dòng i (c0), ký hiệu :

Loại 3 : Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j (c0,i j), ký hiệu :

Ví dụ Cho ma trận

Ma trận bậc thang là ma trận có các đặc điểm sau:

1) Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới

2) Dòng bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới so với dòng khác 0

Ta có thể dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa một ma trận bất kỳ về dạng bậc thang

Ví dụ Hãy đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng và bậc thang dòng

Dùng phép biến đổi dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng như sau:

Ví dụ Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang:

Trong chương trình ma trận, ma trận A ∈ M_{m×n}(R) và B là ma trận bậc thang nhận được từ A thông qua các phép biến đổi sơ cấp hữu hạn, thì hạng của ma trận A, hay còn gọi là rank(A), chính là số dòng hoặc số cột khác không của ma trận B Hạng của ma trận phản ánh mức độ độc lập tuyến tính của các hàng hoặc cột trong ma trận, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định khả năng giải hệ phương trình tuyến tính và tính chất của ma trận trong các lĩnh vực toán học và kỹ thuật.

Ví dụ Tìm hạng của ma trận

Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang:

Ma trận bậc thang A’ có hai dòng khác 0 nên rank A( )2

Định thức

Cho A   a ij 2  M 2 ( ) R , định thức cấp 2 của ma trận A được xác định và ký hiệu như sau

Cho A    a ij 3  M R 3 ( ) định thức cấp 3 của ma trận A được xác định và ký hiệu như sau :

5.2.3 Các tính chất của định thức

Dựa vào định nghĩa của định thức ta suy ra được các tính chất sau:

1) Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi , tức là detAdetA t

2) Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là:

3) Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một số c0 thì định thức không đổi i i j ' d d cd

4) Ta có thể đưa thừa số chung c0ra ngoài định thức, tức là:

5) Cho ,A BM n ( )R khi đó detABdetAdetB

1) Dựa vào các tính chất trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để tính định thức cấp n

  Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0.

3) Cho A  a ij n là ma trận vuông cấp n Khi đó rank A( ) n detA0

Ví dụ Cho ma trận

Tìm hạng của ma trận A theo m.

Ta có detA m 9 Nếu m9 thì rank A( )2; nếu m9 thì rank A( )3.

Ma trận nghịch đảo

Cho ma trận A  M n ( ) R Ta nói ma trận A khả nghịch nếu   B M n ( ) R thoả mãn:

Ta nói B (tồn tại duy nhất) là ma trận nghịch đảo của A Ký hiệu B  A  1

5.3.2 Tính chất của ma trận nghịch đảo

Nếu A B ,  M n ( ) R là hai ma trận khả nghịch thì :

5) Nếu A khả nghịch thì det A  1   det A   1

6) Cho AM n ( )R Khi đó A khả nghịch nếu và chỉ nếu detA0

5.3.3 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

Kết quả đã được chứng minh như sau: Với ma trận A thuộc không gian M_n(R) là ma trận khả nghịch, thì bất kỳ phép biến đổi sơ cấp nào trên dòng biến A thành ma trận nhị phân I đều cũng biến ma trận I thành ma trận nghịch đảo A^{-1} theo cùng thứ tự.

Từ đó ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo như sau: Để tìm ma trận A  1 với

Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đối với   A I n để biến A thành I n khi đó I n bi ến th ành A  1

5.3.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức

Ta gọi ma trận phụ hợp P c A ủa ma trận A là ma trận được xác định như sau:

  P A ij  A ji ; i j, 1,n Để tìm A  1 ta thực hiện hai bước

Nếu detA0 thì A không khả nghịch

Nếu detA0 thì A khả nghịch, chuyển sang bước 2.

Bước 2 Lập ma trận phụ hợp P A Khi đó: 1 1

Ví dụ Dùng phương pháp định thức tìm A  1 của

Câu 1 Thực hiện các phép toán trên ma trận

Tính a) 3A+2B T b) AB c) AB-BA d) BC e) ABC f)BA-3C+I 3

Tìm ma trận nghịch đảo A  1 ,B  1 (nếu có) bằng 2 phương pháp đã học.

Câu 6 Tính các định thức sau:

Câu 7 Giải các phương trình sau:

 Câu 8 Tìm hạng của các ma trận sau:

6 CHƯƠ NG 6 H Ệ PHƯƠNG TR ÌNH TUY ẾN TÍNH

H ệ phương tr ình tuy ến tính

6.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát.

Hệ phương trình gồm m phương trình n ẩn có dạng:

(3.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.Trong đó a b ij , i R, x x 1 , 2 , ,x n là các ẩn số

   gọi là ma trận hệ số của (3.1)

 : cột hệ số tự do,

    gọi là ma trận bổ sung (mở rộng) của hệ (3.1).

Với cách đặt như trên hệ (3.1) được viết lại : AX B

Khi B=0 hệ (3.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ngược lại ta gọi là hệ không thuần nhất

6.1.2 Nghiệm của hệ phương trình

Nghiệm của hệ (3.1) là bộ số

 sao cho ACB Quá trình đi tìm tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gọi là giải hệ phương trình tuyến tính.

Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng số ẩn (số phương trình có thể khác nhau) gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

Ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính là:

Ma trận nghịch đảo của A (đã có được từ Ví dụ trước) là

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

Hệ phương trình tương đương A X t    C X   A t  1 C

6.1.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

6.1.4 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính (3.1) được gọi là hệ Cramer nếu mn và detA0

Trong phần (3.2), đặt D = det(A) và D_j (j = 1, , n) là định thức được tạo thành bằng cách thay cột j của ma trận A bằng cột tự do Công thức nghiệm duy nhất của hệ phương trình theo định lý Cramer được xác định bằng cách chia D_j cho D, giúp giải quyết các bài toán hệ phương trình tuyến tính một cách chính xác và hiệu quả.

Ví dụ Giải hệ phương trình :

Vậy hệ có nghiệm duy nhất : 1 2 3

Hệ (3.1) có nghiệm khi và chỉ khi r A( )r A B( ) Hơn nữa i) ( )r A r A B( )  n : hệ (3.1) có nghiệm duy nhất. ii) ( )r A r A B( )  n : hệ (3.1) có vô số nghiệm phụ thuộc (n r ) tham số iii) ( )r A r A B( ) : hệ (3.1) vô nghiệm

6.1.6 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Để giải hệ (3.1) ta thực hiện các bước:

Bước 1: Lập ma trận mở rộng của A:

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận (A B v) ề ma trận (A B ' ' ), trong đó

A là ma tr' ận bậc thang (rút gọn) Dựa vào Định lý Kronecker – Capelli để kết luận nghiệm

Ví dụ Giải hệ phương trình :

Ma trận hoá hệ phương trình trên ta thu được :

Hệ có nghiệm duy nhất là : x 1  40, x 2 15, x 3 11

Ví dụ Giải hệ phương trình :

Suy ra : (r A B)3 Mà ( )r A  2 r A B( ) Vậy hệ vô nghiệm

Ví dụ Giải hệ phương trình :

    Suy ra : ( )r A r A B( )  2 n 3, vậy hệ có vô số nghiệm

Vậy tập nghiệm của hệ có dạng

Câu 1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:

Tìm A  1 , rồi giải các hệ phương trình sau:

Câu 3 Trong một ngày, khẩu phần ăn của mỗi người cần có 80g Protit, 50g Lipit, 450g Gluxit Hàm lượng các chất trên có trong 1g thức ăn A và B như sau:

Hãy lập phương trình ma trận cho bài toán trên Hãy cho biết các ẩn số trong phương trình ma trận trên cho biết điều gì?