Bài giảng toán cao cấp chương 5 hoàng mạng dũng

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tínhVvàoW hoàn toànđược xác định bởi ảnh một cơ sở củaV... TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU 5.3.1Toàn cấu Ánhxạ tuyến tính và toàn ánh

Trang 1

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ánhxạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ một không gian

véctơ vào không gian véc tơ là ánh xạ bảo toàn phép cộng véc

tơ và phép nhân một số với véc tơ

Nhà toánhọc Peano (Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệm

ánhxạ tuyến tính (1888)

Tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận của nó là một đẳng

cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân một số với ma trận và phép

nhân hai matrận

Chính vì lý do này nênmột bài toán về ma trận, hệ phương trình

tuyến tính có thể giải quyết bằng phương pháp ánh xạ tuyến tính

vàngược lại

Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma trận của nó

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Ánhxạf từ không gian véc tơVvào không gian véctơWthoả mãnvới mọiu,vV,R:

f    u   f u 

được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là đồng cấu) từ VvàoW

KhiV  Wthìfđược gọi là tự đồng cấu

Ví dụ 5.1

2) Ánh xạ đồng nhất Id :V V  V

u  Id ( )V u  u

1) Ánh xạ không 0 : V  W

u  0 ( ) u  0

Ánhxạ 1), 2), 3) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu;

ku u f

u a ( ) 

m n



 

  

Do đó ánh xạ T : n  m

) , , ( ) , , ( ) , , ( x1 xn a T x1 xn  y1 ym

ij

a

        

Ngược lại ta có thể chứng minh được mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn

vào Rmđều có dạng như trên

        

        

        

          

Ta có thể kiểm tra được đẳng thức

Xác định bới

7) Phép quay góc

( , ) x y  f x y ( , )  ( , ) X Y 

( , )

v  x y

( ) ( , )

f v  X Y

i

X  iY  e x iy     i  x iy 

Vậy phép quay góc làmột ánh xạ tuyến tính

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.2 Tính chất

Định lý 5.1 Nếuf : VWlàmột ánh xạ tuyến tính thì

(i) f ( 0 )  0

(ii) với mọi v  V: f (  v )   f v )

(iii)

( )

f x v x f v



    ,  x1, , xn  ,  v1, , vn V

Định lý 5.2

Ánhxạf : V  Wlàmột ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi với mọiu,vV,R:

f  u   v   f u   f v

Trang 2

Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tínhVvàoW hoàn toànđược xác

định bởi ảnh một cơ sở củaV.

Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tínhf : VWsao cho

n i u e

f (i)  i,  1 , ,

Nghĩa là với cơ sởB{e1,… ,en}chotrước củaV

khiđó với mỗi hệ véc tơu1,… ,unW

Tồn tại:

Với mọi v V, giả sử (x1, ,x n) là tọa độ của v trong cơ sở B, nghĩa

là v e1  e n Đặt f v)x u1 x u nW

f là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f(e i)u i,với mọi i1, ,n

Duy nhất:Giả sử g:VWlà ánh xạ tuyến tính sao cho e i)u i,với mọi

n

i1, , khi đó với bất kỳ vV,v e1  e n

( ) ( n n) ( ) n (n) n n ( )

g vg x e x e x g e  x g e x u x u f v

Vậy gf

Hệ quả 5.4 f,g : V Wlà hai ánhxạ tuyến tính

B{e1,… ,en}làmột cơ sở củaV

Khi đó f   g f e ( )i  g e ( );i   i 1, , n

Giả sử f : V  Wlà đồng cấu tuyến tính

Ví dụ 5.2

Chứng minh rằng f toàn cấu khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu

g : W  V sao cho fg(v)  v,  v  W Giả sử f toàn cấu, Be1, ,e n là một cơ sở của W

Tồn tại u1, ,u nV sao cho ( )f u i e i

Xét ánh xạ tuyến tính g:WV xác định bởi ( )g e i u i

Vì fg e( )i e i; e i B do đó fgIdW

5.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính

Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính bởi công thức

( f  g v )( )  f v ( )  g v ( ) ( kf )( ) v  kf v ( )

Và phép nhânmột số với ánh xạ tuyến tính bởi công thức

Ví dụ 5.3:

Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: R3 R2có công thức xác định ảnh

( , , ) (3 5 2 , 4 6 )

f x y z  x y z x y z

( , , ) (2 6 7 , 5 )

g x y z  x y z x z

3 ( , , )f x y z (9x 15y 6 ,12z x 3y 18 )z

2 ( , , )g x y z (4x12y14 , 2z x10 )z

(3f 2 )( , , )g x y z (5x 27y 20 ,10z x 3y 8 )z

Cho fvàđa thức bậcn p t ( )  a0   a tn

p f  a    a f

n

f   f   f

lÇn 0

IdV

f  f

Ví dụ 5.4:

Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 R2có công thức xác định ảnh

( , ) (3 5 , 4 )

f x y  x  y x  y

2

f x y  x y  xy x y  xy   x y x y

Cho đa thức p t( )50 9 t 2t2

( )( , ) 50 IdV 9 2 ( , ) ( 5 , 4 3 )

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Giả sửf : VWlàmột ánh xạ tuyến tính

Ker f  f 0   v V f v ( )  0  V

: Ker ( )

Ảnh củaf Im f  f V ( )   f v v V ( )    W

Hạng của f r f( )dim Imf

Định lý 5.5

Kerf là không gian con củaV, Imf là kg con của W

Trang 3

Với mọi ánh xạ tuyến tínhf : VWta có

Định lý 5.6

dim V  r f ( ) dim Ker  f

Giả sử e1, ,e m là một cơ sở của Ker f (khi Ker f 0 thì m = 0)

Ta có thể bổ sung để e1, ,e m,e m1, ,e m k là một cơ sở của V

Ta sẽ chứng minh f e(m 1), , (f e m k) là một hệ sinh, độc lập tuyến

tính của Im f (do đó là một cơ sở)

u f v V u f v v x e x e x e xe



( ) ( ) m (m) m (m ) m k (m k)

uf vx f e  x f e x f e  x f e

1 ( 1) ( )

u xf e x  f e

1 (m1) k (m k) 1m1 k m k Ker

y f e  y f e  0 y e y e   f



1m1 k m k 1 1 m m

y e  y e z e z e

1m1 k m k 1 1 m m 1 k 0

y e y e z e z e y y

Slàmột hệ sinh củaVthìf (S)làmột hệ sinh của Imf

Do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của f e( ), , ( )1 f e n là cơ

sở của Im f

Đặc biệt nếuBe1, ,e n là một cơ sở của V thì f e( ), , ( )1 f e n

là một hệ sinh của Im f

Ví dụ 5.5

Xét ánhxạ tuyến tínhf:R4R3có côngthức xác định ảnh:

( , , , ) 2 3 5 ,3 2 3 4 , 3 6

f x y z t  x y z t x y z t x z t

Tìm một cơ sở của Im f, Ker f

Giải: ( , , )a b cImf( , , , )x y z t4: ( , , )a b c f x y z t( , , , )

nghiệm ( , , )a b c Imf









Từ đó suy ra hạng r ( f )

Sử dụng phương pháp khử Gauss ta được



Hệ phương trình có nghiệm khi b2a c 0

( , , ) Im ( , 2 , ) (1, 2,0) (0, 1,1)

u a b c f u a a c c a c 

Vậy Im fcó một cơ sở là (1, 2,0), (0, 1,1) 

( , , , ) Ker

v x y z t  f khi và chỉ khi (x,y,z,t) là nghiệm của hệ

3 6 0





 ( 3, 3,1,0), ( 6, 7,0,1)    

Vậy Ker fcó một cơ sở là Hạng r ( f )2

3 6

3 7

  



    

( 3 6 , 3 7 , , ) ( 3, 3,1,0) ( 6, 7,0,1)

v  z t z t z t   z   t

Nhận xét 5.1 Giả sửf : VW làmột ánh xạ tuyến tính

Cóthể chứng minh được{ f(e1),… ,f(en)}làmột hệ sinh

củaIm f

dođó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của{ f(e1),… ,f(en)}

làcơ sở củaIm f

Ví dụ trên có hạng r ( f )2 Vì vậy ngoài cơ sở(1, 2,0), (0, 1,1) 

hai véc tơ cột bất kỳ của ma trận 2 1 3 5



đều là cơ sở củaIm f

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.3 TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU 5.3.1Toàn cấu

Ánhxạ tuyến tính và toàn ánh được gọi là toàn cấu

Ba mệnh đề sau tương đương (i) f toàn cấu

(iii) r( f )dimW

(ii) Ảnh của hệ sinh củaVlàhệ sinh củaW

(i) (ii): Slà hệ sinh của Vthìf(S)là một hệ sinh của f(V)và f(V) = Wdo đó

f(S)là một hệ sinh của W

(ii)  (i): Giả sử e1, ,e n là một cơ sở của V thì f e( ), , (1 f e n) là

hệ sinh của WWspanf e( ), , (1 f e n)f V( )f toàn cấu ( )i ( ) :iii f V( )Wdim ( ) dimf V  Wr f( ) dim W

Trang 4

Ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu

5.3.2 Đơn cấu

Bốn mệnh đề sau tương đương

(i) fđơn cấu

(iv) r( f )dimV

(ii) Ker f{0}

(iii)Ảnh của hệ độc lập tuyến tính củaV làhệ độc lập

tuyến tính củaW

(i)  (ii): Hiển nhiên

( )ii( ):i f v( )f v( ) 0 f v( )f v( )f v( v) v v  0 vv

( )ii( )iii: Giả sử v1, ,v m độc lập

 

1, ,m :1 ( ) 1 m (m) 1 1 m m Ker

Do đó f v( ), , (1 f v m) độc lập

( )iii ( )iv: Giả sử e1, ,e n là một cơ sở của V thì f e( ), , ( )1 f e n là

hệ sinh độc lập tuyến tính của ( ) Do đó r f( )dimV

  ( ) Ker

Ker 0 Ker ( )

dim dim

V r f



5.3.3 Đẳng cấu

Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa toàn cấu được gọi là đẳng cấu

Hai không gianV,Wđược gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến

tínhđẳng cấuf : V W

Định lý 5.8

Hai không gianV,Wlàđẳng cấu khi và chỉ khidimV dimW

Định lý 5.9

Giả sửf : V W là ánhxạ tuyến tính vàdimVdimW

Khi đó

f đơn cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu

Ví dụ 5.6 Ánh xạ tuyến tính 2 2

:

f    xác định bởi

f x y  x  y x  y

làmột đơn cấu vì

f x y   x  y x  y   x y 

do đó flà một đẳng cấu

Ví dụ 5.7 Ánh xạ tuyến tính 3 xácđịnh bởi

2 :   P

2 ( , , ) ( 2 3 ) (2 5 6 ) ( 8 )

f x y z  x  y  z  x  y  z t   x z t

Hệ phương trình







chỉ có nghiệm tầm thường

do đó flà một đẳng cấu

5.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN

5.4.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính

B’{ 1,… ,m}làmột cơ sở củaW

Matrận của hệ véc tơ{ f (e1),… ,f (en)}trongcơ sởB’

Được gọi là ma trận củaf trongcơ sởBvàB’

A  f B

B

ij m n



 

  

1

m

j ij i i



Xác định như sau

Trường hợp tự đồng cấuf của không gian véc tơV

Matrận củaf trong cùngmột cơ sởB{e1,… ,en}củaV

được ký hiệu

 

A  f B

Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc được gọi là

ma trận chính tắc

Ví dụ 5.8 Xét ánh xạ tuyến tính f: R3 R2 xác định bởi

( , , ) (2 4 ,3 5 )

f x y z  x   y z x  z

(1,0,0) (2,3) 2(1,0) 3(0,1)

(0,1,0) (1,0) 1(1,0) 0(0,1)

(0,0,1) ( 4,5) 4(1,0) 5(0,1)

Trang 5

Nhận xét 5.2

Bằng cách tính toán như ví dụ trên ta có thể kiểm tra được rằng

f   

1

m

A



  



Ví dụ 5.9

Ánh xạ tuyến tính f: R3 R3 xác định bởi

f x y z  x  y  z x   y z x   y z

ma trận chính tắc

1 2 2

3 1 5

1 1 1

A

  

B{e1,… ,en}làmột cơ sở của không gian véc tơV

B’{ 1,… ,n}làmột cơ sở của không gian véc tơW

Định lý 5.10 Với   '   '

,

A  f B B  gB

ta có các tínhchất sau:

f  g B  f B  g B

r f  r A

B{e1,… ,en}, B ’{e’1,… ,e’m},B ”{e”1,… ,e”l}lần

lượt là các cơ sở của không gian véc tơV, V’, V”

Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g : V  f V ' g V "

A  f B

B

  "

'

B  gB

B

ij m n



 

  

1

m

j ij i i



 ki l m

B  b 

1 ( ' ) " ; 1, ,

l

k



  "    " '

'

Vậy



Khi VV’V”và ta chọn cố định một cơ sở của Vthì có tương ứng 1-1 giữa các tự đồng cấu của Vvà các ma trận vuông cấp n

Định lý 5.11

 

A f

B

có các tínhchất:

 f  g      B  f B  g B

 

r f  r f B

 f  g       f g

Hệ quả 5.12

Cho f  End (V),Blàmột cơ sở củaV ĐătA  [ f ]B

flàtự đẳng cấu khi và chỉ khiAkhả nghịch

Ma trận của f 1trong cơ sở B có dạng [f 1]BA1

Hệ quả 5.13

Giả sử p t ( )  a0   a tnlà một đa thức bậc n

p f a   a f trong cơ sở B là 0

Ví dụ 5.13 Xét ánh xạ tuyến tính : 3  3xác định bởi

( , , ) ( 2 2 ,3 5 , )

f x y z  x y z x y z x y z

Ma trận chính tắc của flà

1 2 2

3 1 5

1 1 1

A



6 4 8 1

2 1 1 2

4 3 5

A



Do đó flà một đẳng cấu và ánh xạ ngược xác định như sau

( , , ) (6 4 8 , 2 , 4 3 5 ) 2

f x y z  x y z x   y z x y z

Cho đa thức p t ( )    2 4 t 3 t2

Ma trận chính tắc của p( f )là

2



Trang 6

5.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

1

'

ij

T      t B B là ma

trận

chuyển

cơ sở

1 e1, , en

B sangB'1e'1, ,e'ncủa V

  2

2

'

ki

P  p B

B B2  1, , m B'2'1, ,'mcủa W

  2

1

A  f B

của f

trong cơ sở

  2

1

'

A  f B

B

1, 2

B B

' , '

1 '

  2 2 '

1 '

m

i



B

1

1 '

n

i



 

B



i

m

i ki ij m

k ki k ij m

i ij i

e f

1

' '

' ' ) ' (

suy ra

' ; 1, , ; 1, ,

ki ij ki ij

1

1 ( )

m

ki m n i ki k

i



B

  2 1 ' '

1

m

i

B

Đặc biệt nếu flà tự đồng cấu của không gian véc tơ V

GọiA,A’là matrận của f trong haicơ sởB,B ’vàTlà matrận

chuyển từ cơ sởBsangB ’thì A '  T1AT



Hai ma trận A, Bđược gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận không

suy biến Tsao cho BT1AT

Hai matrận của một tự đồng cấu bất kỳ trong hai cơ sở khác nhau

làđồng dạng

Nếu A, Bđồng dạng thì detAdet B Vì vậy ta có thể định nghĩa

định thức của một tự đồng cấu f là

  det f  det f

B

Ví dụ 5.14

Tự đồng cấu tuyến tính fcó ma trận trong cơ sở B{e1, e2, e3, e4}

A



Ta tìm ma trận A’của f trong cơ sở B ’{e1, e3, e2, e4} Đặt e'1e e1, '2e3, 'e3e2, 'e4e4

( ' ) ( ) 3 2 ' 2 ' 3 ' '

f e f e  e e  e e e  e  e e

( ' ) ( ) 3 3 ' ' '

f e f e   e ee  e e e

( ' ) ( ) 2 5 2 2 ' 5 ' 2 '

f e f e  e e  e  e  e  e

( ' ) ( ) 2 3 ' ' 2 ' 3 '

f e f e  e e  e e e e  e  e

'

A





AT





Hoặc áp dụng công thức

Gọi Tlà ma trận chuyển cơ sở B{e1, e2, e3, e4}

sang cơ sở B ’{e1, e3, e2, e4}

T



1

'

ATAT

1

T



1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1



1

'

A  TAT

Ví dụ 5.15 Hai ánh xạ tuyến tính 2 3

:  3 2

:

g   ( , ) ( 2 , , 3 4 )

f x y  x y x x y g x y z( , , ) (  x 2y 5 ,3z x4 )y

Matrận chính tắc của fvàg:

1 2

1 0

3 4

A



  



1 2 5

3 4 0

7 6

   

7 6





Trang 7

5.4.3 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính

Giả sửf : VW làmột ánh xạ tuyến tính

(x1,… ,xn)  (v)Blàtọa độ củavVtrongcơ sởB

(y1,… ,ym)  ( f (v))B’ là tọa độ củaf (v)Wtrongcơ sởB’

1

n

i i

i





1 ( )

m

k k k



  1

( )

m

i ki k k



 

  '

ij m n



 

  

B

Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f trongcơ sởBvàB’

     ' '

ij m n

a



1

n

i i i





1 ( )

m

k k k



  1

( )

m

i ki k k



 

( ) ( )

      

1

n

i



5.4.4 Ánh xạ tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính

Đẳng thức

ij m n

a



        

có thể viết dưới dạng hệ

phương trình tuyến tính

1 11 1 1

1 1

n n







Điều này cho phép giải quyết các bài toán về ánh xạ tuyến tính

thông quahệ phương trình tuyến tính

TìmIm f : b W b  ,      b1 1  bm m

1 1

Im

n n







có nghiệm TìmKer f : v  x e1 1   x en n V

1 1

Ker

n n







Hệ phương trình

Nhận xét 5.3:

Từ hai định lý 6.11, 6.12, hệ quả và các ví dụ trên ta thấy rằng

một bài toán về ánh xạ tuyến tính có thể chuyển sang bài toán

matrận, bài toán hệ phương trình tuyến tính và ngược lại

Chẳng hạn để chứng minh định thức của ma trậnAkhác0ta

chỉ cần chứng minh tự đồng cấu tuyến tínhfvớiA[ f ]

Blàđơn cấu hoặc toàn cấu, hoặc hệ phương trình tuyến tính tương ứng

có duynhất nghiệm

dimKer f làchiều của không gian nghiệm của hệ phương trình

thuần nhất có hạng của ma trận hệ số bằng hạng của f

dim V  r f ( ) dim Ker  f

Ápdụng định lý chiều của không gian nghiệm hệ phương trình

thuần nhất ta nhận được đẳng thức đã biết

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5 CHÉO HOÁ MA TRẬN

Trong phần này ta giải quyết bài toán:

Với tự đồng cấu tuyến tính f của không gianV, hãy tìmmột cơ

sở củaVđể ma trận của ftrongcơ sở này có dạng chéo

1

n





Bài toán trêncũng tương đương với bài toán: Cho ma trậnAtìm

matrận không suy biếnTsao choT1ATcódạng chéo

Trang 8

5.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng

 được gọi là giá trị riêng của ma trận A  [ aij]nnnếu tồn tại

x1, … , xnkhông đồng thời bằng 0sao cho

A



    

Khi đóv(x1, … , xn) nđược gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị

riêngcủa ma trậnA

0

n

x

A I x

   

   

      

     

 

Như vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng là các nghiệm khác

không của phương trình thuần nhất (6.30) Không gian nghiệm của

(6.30) được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng

được gọi là mộtgiá trị riêng của tự đồng cấuf nếu tồn tại véctơvV,v0 sao chof (v) v

vlà véc tơ riêng ứng với giá trị riêng

Ví dụ 5.17

a)Xét ánh xạ đồng nhất IdV: VV Với mọi vV, IdV(v)v

Vậy 1là một giá trị riêng của IdV b)f:R2 R2xácđịnh bởi:f (x,y)(3xy,2x4y)

Dễ dàng thấy f (x,x)2(x,x)

Vậy 2là một giá trị riêng và mọi véc tơ v(x,x); x0là véc

tơ riêng tương ứng

c) Phép quay góc

:

f  

( , )x y f( , )x y( cosx ysin , sinx ycos )

v

( )

f v



 Khi  0, f là ánh xạ đồng nhất Id32: chỉ có giá trị riêng là 1

 Khi   , f: chỉ có giá trị riêng là 1

 Khi  0,, f không có giá trị riêng

Chotự đồng cấu fcủaV.Với mỗiR, kýhiệu

 ( )  Ker  IdV

Định lý 5.14

1)là giátrị riêng củaf khi vàchỉ khi V{0}

2)Nếu là giá trị riêng của fthì mọi véc tơ v 0củaV đều là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 

Nhận xét 5.4

Chof  End (V), Blàmột cơ sở củaV ĐătA  [ f ]B

Khi đó vVlà véc tơ riêng ứng với giá trị riêng của fkhi và

chỉ khi ( v )Blà véc tơ riêng ứng với giá trị riêng của A

Nghĩa là

0

n

x

   

   

     

 

B

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.3 Đa thức đặc trưng

Alàmột ma trận vuông cấpn.Định thức

( )   det( A   I )

P

là một đa thức bậc ncủa được gọi là đa thức đặc trưng củaA

Cho f  End(V),Blàmột cơ sở củaV.ĐătA  [ f ]B

Khiđó định thức

( )   det f   IdV  det( A   I )

P

khôngphụ thuộc vào cơ sở củaV,cũng được gọi làđa thức đặc trưng của f

Trang 9

Định lý 5.15

0là giátrị riêng củaA(tương ứng của f) khi vàchỉ khi0là

nghiệm của đa thức đặc trưng củaA(tương ứng củaf)

0

 là giá trị riêng khi và chỉ khi V0 0

Điều này tương đương với các điều sau:

a) Ánh xạ f 0IdV không đơn cấu

b) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  0  1

0 0

n

x

A I x



   

    

 

  có nghiệm không tầm thường

Vậy 0 là giá trị riêng khi và chỉ khi r f 0IdVn

do đó detf0IdV0 hoặc detA0I0

Nghĩa là P (  0) 0

Ví dụ 5.18

Tìm véctơ riêng và giá trị riêng của tự đồng cấu của không gianR2(vídụ 6.13)

Đa thức đặc trưng

P

A   

     

f:R2 R2xácđịnh bởi:f (x,y)(3xy,2x4y)

Véc tơ riêng v(x,y)ứng với giá trị riêng 12là nghiệm của hệ

0 0

x

y

x y

Hệ phương trình tương đương với phương trìnhx   y 0 y x

Vậyv(x,x)x (1,1),x0

Véc tơ riêng v(x,y)ứng với giá trị riêng 25là nghiệm của hệ

0 0

x

y

x y



       

Hệ phương trình tương đương với phương trình

Vậyv(x,2x)x (1,2),x0

2x    y 0 y 2x

Ví dụ 5.19 Phép quay góc  có công thức xác định ảnh

( , ) ( cos sin , sin cos )

f x y  x   y  x   y 

Đa thức đặc trưng

sin cos

V

 P

Do đó f chỉ có giá trị riêng khi

2

0

1



 





  













5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá được

Tự đồng cấu f của không gian véc tơVchéo hoáđược nếu

tồn tại một cơ sở củaVđể ma trận của f trongcơ sở này có

dạng chéo

Như vậy f chéo hoáđược khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của

Vgồm các véc tơ riêng củaf

Matrận vuôngAchéo hoáđược nếu tồn tại ma trận không

suybiếnTsao choT1ATlà matrận chéo

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.16

Giả sửv1,… ,vmlà các véctơ riêng ứng với các giá trị riêng phânbiệt1,… ,mcủa tự đồng cấuf(hoặc ma trậnA) thìhệ véctơ{v1,… ,vm}độc lập tuyến tính

Ta chứng minh quy nạp theo k rằng hệ v1, ,v k độc lập tuyến tính với 1 k m

Giả sử hệ v1, ,v k với 1  k m 1 độc lập tuyến tính

x v1 1  x v k kx k 1v k 10 (*)

f x v x v xv x v x v xv

Nhân 1 vào (*) rồi trừ cho (**) ta được

1 1 1 1 1

(k )x v   ( k k)x v k k0

Vì v1, ,v k độc lập và các 1, ,m khác nhau từng đôi một suy ra

1 k 0 k1 0

x x  x 

Trang 10

Hệ quả 5.17

Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấuf trong không giann

chiềuV(hoặc ma trậnAvuôngcấpn) cóđúngnnghiệm thực

phânbiệt thìf(tương ứng ma trậnA) chéo hoáđược

1 ( ) ( 1) (n ) (m )m k

k

P

m1…mknvà các giátrị1,… ,kkhác nhautừng đôi một

Khiđóf(tương ứng ma trậnA) chéo hoáđược khi và chỉ khi

dim Vi mi;   i 1, , k

Vìđa thức đặc trưng có đủnnghiệm thực phân biệt nênnvéctơ riêng tương

ứng vớingiátrị riêng này là một hệ độc lập, do đó là một cơ sở củaVgồm

các véctơ riêng củaf.Vậyfchéo hoáđược

() :Trong mỗi Vi ta chọn một cơ sở gồm m véc tơ i

Hệnvéctơ gộp lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lập tuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở củaVgồm các véc tơ riêng củaf

Vậyfchéo hoáđược (): Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại cơ sở gồm các véc tơ

riêng để ma trận f có dạng chéo

1

n





1

( ) ( 1) (n ) ( n)

Do đó các giá trị riêng 1, ,n phải trùng với 1, ,k

Vì vậy trong các giá trị riêng 1, ,n có đúng i m giá trị bằng i, với

1, ,

i k và có đúng m i véc tơ riêng độc lập ứng với giá trị riêng i Nói cách khác dim

i i

V m

5.5.5 Thuật toán chéo hoá

Bước 1: Viết đa thức đặc trưng dạng

1

        

P

trongđóQ(  )làđa thức không có nghiệm thực

 Nếu m1   mk n (khi bậc của Q ( )   2): không chéo hóa

được

 Nếu m1   mk n thì chéo hóa được 1, , k là các giá

trị riêng; tiếp tục bước 2

Bước 2: Với mỗi giá trị riêngitìmmột cơ sở của không gian riêngVi

là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất Các véc tơ riêngv  x e1 1  x en n có x1, , xn

0

i n

x



   

   

     

 

V  d   n r A   I

 Nếu d im i với i nào đó, 1ik thì f không hoá chéo được

 Nếu d im i,  i :1   i k Tiếp tục bước 3

Bước 3: Với mỗi giá trị riêngi;i1,… ,k tađã chọn được

mivéctơ riêng độc lập tuyến tính

Gộp tất cả các véc tơ này ta được hệ gồmm1…mknvéc

tơ riêng độc lập, đó là cơ sở B ’cần tìm

Ma trận Tcó các cột là tọa độ của hệ véc tơ B ’

Ví dụ 5.21

Chéo hóa ma trận

A



P





Đa thức đặc trưng củaA

Do đó Acó các giá trị riêng 1  1, 2 1, 3 3

(3  ) ( 25) 24 ( 1)( 1)(3 )

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	786,13 KB