TOAN CAO CP a1

∀a,b∈R+,a+b∈R+,ab∈R+ Tính chất 3: Tập R là đầy theo nghĩa sau đây: Mọi tập con X không rỗng của R bị chặn trên trong R đều có một cận trên đúng thuộc R và mọi tập con không rỗng X của R

BÀI GI NG

Biên so ạn: TS V Ũ GIA TÊ

Ths ĐỖ PHI NGA

CH ƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 S TH C

n

m ∈Q trong đó SCLN(m, n)=1 thì m2

=2n2 ⇒m=2p và 4p2

=2n2⇒n=2q Điều này vô

lí vì lúc này m, n có ước chung là 2 Chứng tỏ 2∉Q Những số xuất hiện và được dùng thường xuyên trong giải tích như e, πcũng không phải là số hữu tỉ

và kiểm tra lại sự thoả mãn tiên đề đó Chúng ta coi đó là các tính chất của tập hợp R

Tính ch ất 1: Tập R là một truờng giao hoán với hai phép cộng và nhân: (R, + , )

c b c a b a R c

,

,,

,

3 ∀a,b∈R+,a+b∈R+,ab∈R+

Tính chất 3: Tập R là đầy theo nghĩa sau đây:

Mọi tập con X không rỗng của R bị chặn trên trong R đều có một cận trên đúng thuộc R và

mọi tập con không rỗng X của R bị chặn dưới trong R đều có một cận dưới đúng thuộc R

Cho X⊂R và a∈R

Gọi a là cận trên của X trong R nếu x≤ ,a ∀x∈X

Gọi a là cận dưới của X trong R nếu x≥ ,a ∀x∈X

Gọi X bị chặn trên trong R(bị chặn dưới) khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một cận trên (cận

dưới) của X trong R

Gọi số nhỏ nhất trong các cận trên của X trong R là cận trên đúng của X trong R, kí hiệu

số đó là M* hay SupX (đọc là Suprémum của X)

Gọi số lớn nhất trong các cận dưới của X trong R là cận dưới đúng của X trong R, kí hiệu

± 2∈R \ Q nhưng

Q R

Q R

\2.2

\)2(2

∉

∉

−+

2 ∀x∈R\Q,∀y∈Q,x+y∈R\Q

Q R x

Q R xy

\1

3

dễ dàng chứng minh 6∉Q (tưong tự như chứng minh 2∉Q) Theo chú ý trên suy ra q+1=0

và q2+1=0 Điều này là mâu thuẫn Vậy q∉Q

Ví d ụ 2: Tìm các cận dưới đúng và cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập

,,

)1(2

1

N n u N

n n

8

12

11

2

13

112

12

1

4

30

2

12

1

1

1 2 1 2 1

2 1 2

2 2 2

−

≤

−

⇒+

=

+ +

+ +

u

u p

p u

u u p

u

p p

p p

p p

Ví d ụ 3: Cho A, B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên

a Chứng minh Sup (A∪ )=Max(Sup(A), Sup(B)) B

b Gọi A+B={x∈R,∃(a,b)∈A×B,x=a+b}, chứng minh

Sup(A+B) = Sup(A) + Sup(B)

Gi ải:

a Kí hiệu α =SupA,β =SupB,γ =Max(α,β) Vậy tập hợp các cận trên của

A∪ chính là X=B {x, x≥α và x≥β}hay X={x,x≥γ}Vậy γ =Sup(A∪B)

b

SupB b

B

b

SupA a

b a B A b

2,

B b

SupA a

A a

)(

,

*

B A Sup SupB SupA

M

SupB SupA

b a B A b a

+

=+

=

∃

⇒

−+

>

++

∈+

∃

1.1.2 Tập s thực mở rộng

Người ta thêm vào tập số thực R hai phần tử kí hiệu là − và ∞ +∞ Tập số thực mở rộng

kí hiệu là R vàR=R∪{−∞,+∞}, các phép toán + và , quan hệ thứ tự được định nghĩa như sau:

1 ∀x∈R

−∞

=+

=+∞

+

x x

x x

)()(

)()(

++∞

)()(

)()(

=+∞

x x

x x

)()(

)()(

x x

)()(

)()(

4

−∞

=+∞

+∞

))(

())(

(

))(

())(

(

5 ∀x∈R

+∞

≤

∞+

Cho a,b∈R và a≤b Trong R có chín loại khoảng sau đây:

[ ]a,b ={x∈R;a≤x≤b}được gọi là đoạn hay khoảng đóng bị chặn

(a b] {x R a x b

b x a R x b

;,

được gọi là khoảng nửa đóng hoặc nửa mở

b x a R x b

a

a x R x a

x a R x a

;,

;,

;,

;,

;,

} }

được gọi là các khoảng mở

Các số thực a,b gọi là các mút của khoảng

1.1.4 Giá trị tuyệt đ i của s thực

A Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số thực x, kí hiệu x là một số thực không âm xác định

x khi x

n

i i n

i i n

x x R x

x x

R x x x x N

n

y x xy R

,,,,

,,

1 1

3 2 1

4

x x R

∈

∀

n i i n

i i

x x x N

n

y x y x R y

x

1 1

2 1

*

,,

,,,

,,

y x y x y

x Max R y

x

−

−+

=

−++

2

1),(,,

7 ∀x,y∈R, x − y ≤ x− y

1.1.5 Khoảng cách thông thường trong R

A Định nghĩa: Khoảng cách trong R là ánh xạ

( )x y x y

R R R d

−

→

×a,:

Đó là hình ảnh trực quan về khoảng cách giữa 2 điểm x và y trên đường thẳng trục số

1.2 S PH C

)

Chúng ta đã biết rằng trong trường số thực R không thể phân tích thành thừa số tam thức

thức này thành dạng

c bx

ax2 + +

04

a trong đó α,β∉R.Nhằm mục đích này thêm vào R một

phần tử mới, kí hiệu là i (gọi là đơn vị ảo) kết hợp với các cặp số thực để tạo ra các

Gọi x là phần thực của z, kí hiệu Rez =x

y là phần ảo của z, kí hiệu là Imz =y

Gọi môđun của z,kí hiệu z xác định bởi số thực không âm

1 z =x+iy gọi là dạng chính tắc hay dạng đại số của số phức z

2 z =r ( cos θ + i sin θ ) gọi là dạng lượng giác của số phức z

B Biểu diễn hình học của các s phức

Xét mặt phẳng 0xy với hệ toạ độ trực chuẩn

Ánh xạ đặt mỗi số phức z=x+iy ứng với điểm M có toạ độ (x,y) trên mặt

∀ ϕ )gọi là toạ vị của M, đó là số phức z∈C Ngoài ra cũng được gọi

là véctơ biểu diễn số phức z Như vậy

Trên mặt phẳng phức 0xy nhận thấy:

Trục 0x biểu diễn các số thực z= x∈R, trục này gọi là trục thực,còn trục 0y biểu diễn các

số phức z = iy, y R∈ gọi là các số ảo thuần tuý,người ta gọi trục 0y là trục ảo

=+

∈

' '

' 4

' '

,,

,,

y y

x x iy

x iy x R

y x y

z z z z z z

z z z z

=

⇔

=

−+

=

−

Từ các phép toán trên, nhận được các tính chất dưới đây:

1.∀z∈C,z= z

2.∀( )z,z' ∈C2, z+z'= z+z'

z z z C

i i

n i i n

i i n

z z

z z

C z z z N n

1 1

1 1

2 1

*

,,

,,,

C C C z C

∀

'' z

z z

G Phép lu ỹ thừa, công thức Moavrờ ( Moivre)

Cho z=r(cosθ+isinθ ), ∀k∈Z

Gọi là luỹ thừa bậc k của z Bằng qui nạp, dễ chứng minh được k

z

z k =r k(coskθ +isinkθ ) (1.1)

Gọi (1.1) là công thức Moivre

H Phép khai căn bậc n của z∈C*

Cho *, (cosθ sinθ ) Gọi là căn bậc n của z, kí hiệu

i r

z N

=

π θ

ρ

k n

n

k

π θ

1 , 0

\

1 0

1

1 1

k

N n

ω

ω ω

ω

d Các số phức ωkbiểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn lượng giác và một trong các đỉnh là điểm có toạ vị bằng 1 Đa giác này nhận 0x làm trục đối xứng, chẳng hạn với n=2, n=3, n=4, biểu diễn hình học các sốωkcho trên hình 1.2

y y y

2

32

1

i

−

−n=2 n=3 n=4 h.1.2

Ví dụ 1: Hãy tìm tất cả các ánh xạ f : C → C sao cho:

R i

z

i z z

C C f

khi ) 1 ( 1

, khi

khi

1 :

1

1

1θ

2 , 3 ,

2

π θ

) 12

5 cos(

2 4

z = trong đó z1 = 3 − i , z2 = 1 + i

4 ,

2

6 ,

2

2 2

2 2

1 1

1 1

π θ

π θ

r

Argz z

r

5 )

4 6 (

2 2

π π

i

e e

−

=

3 2

2 3

z r i z

3

2 sin 3

2 (cos

) 3 1 ( 8

1 ) 3

5 sin 3

5 (cos 2

) 3 ( 8

1 ) 6

7 sin 6

7 (cos 2

) 3 1 ( 8

1 ) 3

2 sin 3

2 (cos 2

) 3 ( 8

1 ) 6

sin 6 (cos 2

4 4

3

4 4

2

4 4

1

4 4

0

i i

i i

i i

i i

−

= +

=

+

−

= +

=

+

−

= +

=

+

= +

=

π π

ξ

π π

ξ

π π

ξ

π π

ξ

Ví d ụ 3 Tìm môđun và acgumen của số phức 200

100

) 3 (

) 1 (

i

i z

1 . −

= z z z

6 ,

2

4 ,

2

2 2

2

1 1

1

π θ

π θ

Argz z

200 ,

2 200 2 200

200

Argz z

Cuối cùng 50 200 150

2 2

Ví dụ 4: Chứng minh rằng ∀z∈C thì

11

2

11

2 ≥+

≥+

⎢⎣

⎡

z z

2

11

2

z z

04

32204

320

4

32

0)(

2)(

2 2

2

2 2 2

2

2 2 2 2 2

<

++

<

−+

+

x x x

y x

y x x

y

x

y x y

x

02

12

31

c

b c

1,aa

a

b Arg a

c

b c Arg

b

a Arg a c

b c Arg

k b

a a c

b c Arg

b

a a c

b c a

b b

a c a

c b b

a a c

b c b

a a c

b c

21

02

0

.1

111

11

2

2 2

2 2

Ví d ụ 6: Cho a∈Rhãy tính căn bậc 4 trong tập C của số phức:

z =8a2−( )1+a2 2 +4a(1+a2)i

Giải:

Nhận xét [ 2 ]2

)1(

)1()1(2

1)

1(2

)1()1(2

1)

1(2

i a a

i a a

i a a

i a a

Suy ra các giá trị của 4 z sẽ là:

2

2,

)1()1(2

⇔+

=

04sin

cos24cos

cos2)4sin4

(cos

3

3 4

ς

θ θ

θ

z z z

θ

cos2

0cos

204

θπ πθ

cos2

0cos

24

Lấy 6

1

24

5sin4

5cos2

)1(24

3sin4

3(cos22

3 1 6

1 4

3 1 6

1 3

3 1 2

i i

z

i i

z z

ππ

1.2.3* Áp dụng s phức vào lượng giác

A Khai tri ển cosnθ,sinnθ,tgnθ

Cho *.Áp dụng công thức Moivre và công thức nhị thức Newton

i C

i n

i n

0

sin.cossin

cossin

θ θ

θ θ θ

θ

3 3 3 1

1

2 2 2

sincos

sincos

sin

sincos

coscos

n n n

n

n n n

C C

n

C n

Sau khi thay 2θ 2θ vào các công thức trên sẽ có:

cos1

θ θ

θ

3 3 1

1cos

coscossincos

sin

tg C tg C

tg C tg C n

n n

n tgn

n n

n n

n n

B Tuyến tính hoá pθ pθ pθ qθ

sin.cos,sin,cos

ω ω ω ω

θ ω

1sin

2

1cos

2,

i

e N

p

Vậy

p p

Sử dụng công thức nhị thức Newton và xét các trường hợp sau đây:

+

−+

=

++

) 1 2 ( 2

2 1

2 1

2

2 2

2 2 2 1 2 2

2 2

2

)(2cos2

12

cos

2cos2

`)1(2cos2

2cos2

11

cos2

m k

k m m

m m

m

m m m

m m

m m m

m m m

m m

m

k m C

C

C C

m C

m

C C

θ θ

θ θ

ω ω

ω θ

−

−

=

−++

2 2

) 1 2 ( 2

2 1

2

2 2

2 2 2 1 2 2

2 2

2

)(2cos)

1(2

)1(12

sin

)1()

1(2cos2

2cos2

)1(1

1sin

)1(2

m k

k m k m

m

m m m

m

m m m m

m m m m

m m m

m m

m m

k m C

C

C m

C m

C C

θ θ

θ

ω ω

ω θ

LL

+ +

+

−

− +

+ +

+ +

−+

=

++

−+

k m m m

m m m

m m m

m m

m m

m m

k m

C

C m

C m

C C

0 1 2 2 1

2

1 2 1

1 2

1 2 1

2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1

2 1

2

)212cos(

2cos

cos2

)12cos(

2)12cos(

2

11

1cos

2

θ θ

θ θ

θ

ω

ω ω

ω ω

ω θ

θ

ω

ω ω

ω θ

)212sin(

)1(12sin

sin)

1(2)

12sin(

.2)12sin(

2

11

sin)1(

2

1 2 0

2 1

2

1 2 1

1 2

1 2 2

1 1 2 1 2 1 2 1

2 1

2

k m

C

C i

m C

i m

i

C i

k m m

k

k m

m m

m m m m

m

m m m

m m

m m

−+

−

−

=

−++

−

−+

+ +

−

− +

+ +

+ +

∑

LL

sin

sau đó thực hiện phép nhân rồi cùng tuyến tính hoá các số hạng thu được pθ qθ

sin,cos

Ví dụ 7: Cho (n,a,b)∈N×R×R, tính các tổng:

k n n

k

C

0 0

)sin(

),cos(

Giải:

=

= + =

=

k

k ib ia n

k

kb a i n

C

0 0

) (

.2

1sin.2

sin22

1sin21

2

2 ) 1 ( 1

b

b n e

b i e

b

n i e

e e

e e iS C

nb a i b

i

b n i ia ib

n ib ia n n

2sin2

1sin2sin,

2sin2

1sin2

cos

b

b

n nb a S

b

b

n nb a

12

1sin

n

n k

Giải:

Vì sin0 = 0 và sink ≤1 nên

n n

n k n

k k

k k

n k

n k n

k n

k n

k

cos.1sin

)1sin(

.2

12

12

cos.2

121

)2cos1(.2

1sinsin

sin

0

0 0

2 0

1cos

.1sin

)1sin(

12

1sin

hay đơn giản nhất,kí hiệu (un)

Với n=n0∈Nxác định, u n0gọi là số phần tử thứ n0 của dãy, un thường là một biểu thức phụ thuộc vào n gọi là phần tử tổng quát của dãy, chẳng hạn cho các dãy sau đây:

n n

11,

1,

B Sự hôi tụ, sự phân kì của dãy s

1 Dãy (un) hội tụ về a∈R nếu

∀ε >0,∃n0∈N,∀n∈N,n >n0 ⇒ u n −a <ε

Kí hiệu u n a, rõ ràng (u

n→∞ =

2 Dãy (un) hội tụ nếu có số a∈R để u n a

n→∞ =lim

3 Dãy (un) phân kì nếu nó không hội tụ, nghĩa là:

1 Nói rằng (un) bị chặn trên bởi số A∈ nếu R ∀n∈N,u n ≤ A

2 Nói rằng (un) bị chặn dưới bởi số B∈ nếu R ∀n∈N,u n ≥B

3 Nói rằng (un) là dãy bị chặn nếu tồn tại M ∈ R+ sao cho ∀n∈N,u n ≤M

1.3.2 Tính chất của dãy hội tụ

A Tính duy nhất của giới hạn

Định lí: Dãy (un) hội tụ về a thì a là duy nhất

Chứng minh: Giả sử lim a1,lim a2,a1 a2

n

n→∞ = →∞ = ≠

1 1

2

1, ,

a u n n

a u n n N

n n

n n

n

2 Mọi dãy không bị chặn sẽ phân kỳ

3 Một dãy tiến tới +∞ thì không bị chặn trên, điều ngược lại không đúng, chẳng hạn:

n→∞ = ⇒lim→∞ =

2 lim→∞ =0⇔ lim→∞ n =0

n n

3 lim→∞u n =a,lim→∞v n =b⇒lim→∞(u n +v n) =a+b

4 u a u n a

n n

n n

u b

v a u

n

n n n

n n

n − ≤ − <ε ⇒lim→∞ =

2 Vì ta có u n −0 = u n = u n−0

3

2:

0 n0 n n0 u n a

λ

λλ

5 ∃M ∈R+ sao cho ∀n∈N,v n ≤M

εε

εε

u v u

M u

n n n

n n n n

n

1

1,

Vì lim→∞v n = b ≠0

22

1

b v

b b v n n N

∃

b b v

b v b

n n

2,

0

2 2

2

b b v n n N

n

11

0

Ta thấy

n n n

n

v

u v

= ,theo 6 ta nhận được

b

a v

3 Giả sử 3 dãy (un), (vn), (wn) thoả mãn:

∃n0,∀n>n0 ⇒u n ≤v n ≤w nvà u w n a

n n

n→∞ =lim→∞ =lim

Khi đó v n a

n→∞ =lim

u a a l l u n n n

n n

n n

1 1

a u n n

n n

2 1

Lấy n3=Max(n0,n1,n2),∀n>n3 sẽ có:

−ε <u n −a≤v n−a≤w n −a<ε

Vậy v n a

n→∞ =lim

4 LấyA∈R+ ∃n1 ∀n> n1 ⇒u n > A

*

,,

k n

n u

1

*

2 ,lim

lim

Gi ải:

1lim1limlim

1

11

,

1 2

2 2 1

2 1

=+

≥

=+

=+

≤+

n n

n

n n

k n

n n

k n

k n

u w

v

w n

n n n

n u

v n

n n

n k

n

n u

1 0

lim

a khi

a khi

a khi

an

n

⇒+∞

=

+

≥

=+

n

n i

i i n n

n

a nh

nh

nh h

C h

a

lim)

1(lim)

(

lim

11

n n

a a

a a

Với a=0 rõ ràng an

= 0,∀ ⇒lim→∞ n =0

n

n a n

Xét a=1⇒ =1⇒lim→∞ n =1

n

n

a a

=

=

1 0

0

11

1

11

1

k

n k

n k n

n k

k n

k n

n n

n n

a n a

C a

a C a

a a

⇒∀n∈N* thì 0≤ −1≤ −1= ⇒lim→∞n =1

n n n

a n

h C a

n k

k k n

n

−

≥

−++

n n

1

2 1

lim2

α α

a n

a n

a n

n

n n

n

lim

1

Áp dụng nguyên lí kẹp dễ dàng thấy được kết quả vẫn đúng ∀α∈R

Người ta nói rằng hàm mũ tăng nhanh hơn hàm luỹ thừa

2

.1

n

a n

a a a n

a n

a n

a a a n

a

n n

n

n

ε

Người ta nói rằng giai thừa tăng nhanh hơn hàm số mũ

1.3.3 Tính đơn điệu của dãy s

A Dãy đơn điệu

1 Dãy (un) tăng nếu ∀n∈N,u n ≤u n+1,

Dãy (un) tăng ngặt nếu ∀n∈N,u n <u n+1

2 Dãy (un) giảm néu ∀n∈N,u n ≥u n+1,

Dãy (un) giảm ngặt nếu ∀n∈N,u n >u n+1

3 Dãy (un ) đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm

Dãy (un ) đơn điệu ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt

Định lí 1:

1 Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ

2 Mọi dãy giảm và chặn dưới thì hội tụ

1 Dãy (un) tăng và không bị chặn trên thì dần đến +∞

2 Dãy (un) giảm và không bị chặn dưới thì dần đến − ∞

Chứng minh:

1 (un) không bị chặn trên ⇔∀A>0 n,∃ 0 sao chou n0 > A

Vì (un) tăng nên ∀n>n ⇒u n ≥u n > A⇒nlim→∞ =+∞

2 Nếu (un) tăng và hội tụ đến l thì l =Sup(u n,n∈N) và ∀n∈N ⇒u n ≤l

3 Nếu (un) tăng thì dãy bị chặn dưới bởi u0.

= ∑n=k n

k n

0)22)(

12(

11

122

112

1

1

≤+

≤

>

++

=+

−+

++

=

−

+

n n u

n n

n n

n u u

n

n n

Vậy (un) tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ

Ví dụ 8: Tìm giới hạn của dãy số cho dưới dạng ẩn sau:

2

5

1 1

x x

n n n

Giải: Trước hết dùng qui nạp chứng minh xn > 0 ∀ n

5(2

1

1 1

Suy ra xn2 ≥ 5 hay

n n

Chứng tỏ dãy ( xn) đơn điệu giảm

Kết hợp hai kết quả trên ta có lim→∞xn = a ≥ 5

n

Vì

1

2 1

2

5 lim lim

n

x x

Từ đó ta có

a

a a

2

5 + 2

Giải phương trình đối với nhận được a a = 5

Ví d ụ 9: Cho 2 dãy (un),(vn) thoả mãn

lim→∞ = lim→∞ n =0, (v

n n

v v

u u

n n

n n

u u n n N n

n n

n n

1

1 0

,

Lấy p,n∈N sao cho p >n > n0 sẽ có:

( p p) ( p p ) ( p p)

n n n

n n

n

v v lv

u lv u

v v lv

u lv

+

1 1

1

1 1

(wn) giảm và hội tụ về 0⇒ w n ≥0 ∀n hay un ≤ vn

Chứng tỏ (un) tăng và bị chặn trên bởi v0, (vn) giảm và bị chặn dưới bởi u0

Suy ra limu l1,limv n l2

n n

+

−

−++

−

−+

−++

n n

k n

n k n

n n

n n n

n n

n n n n

n n n

n n

e

n

n n

11

11

!

11

1

21

11

!

11

1

!2

111

1

2.1

)1) (

1(1

3.2.1

)2)(

1(12.1

)1(11

11

3 2

LL

LL

L

Suy ra

)11

()1

11()!

1(

1)1

11()1

11(

!

1)

1

11(

!2

1111

1

1

1 1

+

−+

−+

++

−

−+

−+++

−++

n n

n n

n n

11

12

12

!

1

!3

1

!2

12

Gọi giới hạn của (en) là số e, rõ ràng e > 0.Sau đây dùng số e làm cơ số của logarit

1

'

n n e

!

1limlim→∞ − ' = →∞ =

n n e

v

n n n n

Hơn nữa ta có:

)!

1)(

1(

1

!

1)!

1)(

1(

1)!

1(1

!

1)!

1)(

1(

1

' ' 1 1

++

−

=

−++

++

=

−+++

n n

n n n

n e e v

!

12

!1

' 0

* '

q q q

a q

p q

a v e e

N a q

a q k

e

q q

q k q

!

1)

21)(

11(

!3

1)

11(

!2

12

n

k n

k n

n n

1

!2

Hệ quả: (Định lí về các đoạn lồng nhau)

Cho hai dãy (an), (bn) thoả mãn :∀n∈N,a n ≤b n,[a n+1,b n+1] [⊂ a n,b n] và

0)

(u2n) và (u2n+1) là các dãy con của (un)

( )u n2 là các dãy con của (un)

(u n2−n) không phải là dãy con của (un) vì số hạng u0 xuất hiện 2 lần ứng với n=0,n=1

Định lí : Nếu (un) hội tụ về a∈R thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về a

Chứng minh:

∀ε >0,∃n0,∀n>n0 ⇒ u n−a <ε

Vì n k →∞ khi k →∞, nên ∃k ∀k >k n >n ⇒ u −a <ε

k n

0

k n

klim→∞ =

Chứng minh: Dùng phương pháp chia đôi

Ta sẽ xây dựng bằng qui nạp hai dãy thực (an), (bn) kề nhau và một dãy con

u

vô hạn Do đó tồn tại (an+1,bn+1)∈R2 sao cho a n+1 ≤b n+1 Tập {u n [a n b n ]k N}

k ∈ +1, +1, ∈ là

2

1)(

2

1

0 0 1 1

N n

120

0

20

1 2

2 2

→+

n u

n

n u

n

n

Vậy lim→∞ n =0

CH ƯƠNG II: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

X gọi là tập xác định của , f f ( X) gọi là tập giá trị của Đôi khi ký hiệu f

y = f(x), x∈X x gọi là đối số, y gọi là hàm số

3 Nói rằng (x) đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm f

Nói rằng (x) đơn điệu ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt f

E Hàm s bị chặn

1 Hàm số (x) bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho:

f A x

:

0

x f g x

R X f g

a

→

Hay y = g(f (x)) là hàm số hợp của hai hàm và g f

Định lí:

Nếu f,g:X → R bị chặn trên thì +f g cũng bị chặn trên và

Sup(f(x) g(x)) Sup f(x) Sup g(x)

X X

1 Nếu f,g:X → R bị chặn trên và không âm thì f g bị chặn trên và

Sup(f(x).g(x)) Sup f(x).Sup g(x)

X X

Theo hệ quả suy ra Sup(f(x) g(x)) Sup f(x) Sup g(x)

X X

Tương tự như trên

3 Coi λ như hàm hằng Ap dụng 2 sẽ có Sup f(x) Sup f(x)

(

)()

(

)(

1))(

1(

x f Sup x

f

x f Sup x

f Sup

x f Sup x

f Sup

X X

X X

X X

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

4 Giả sử f (x)bị chặn dưới, đặt m Inf f(x) f(x) x X, f(x) m

( Inf ))

( ( )

( ))

( ( )

(

x f Sup x

f x

f Sup x

f

X X

)(

1

x f

Ví dụ 1: Cho f,g:R → R thoả mãn ∀x,y∈R, (f(x)− f(y))(g(x)−g(y))=0

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hàm số là hằng số

0))()())(

()((:

x g a g x f b f

x g a g x f a f R x

Trừ từng vế và để ý đến g(a)=g(b) suy ra:

(f(a)− f(b))(g(a)−g(x))=0⇒ g(x)=g(a)

Ví dụ 2: Tìm hàm f (x) trên R sao cho x.f(x)+ f(1−x)= x3+1 ∀x∈R

Gi ải: Giả sử tồn tại f (x),thay x bởi 1-x vào hệ thức đã cho:

(1−x).f(1−x)+ f(x)=2−3x+3x2−x3

Suy ra (x2 −x+1)f(x)=(x2 −x+1)2

⇒ f(x)= x2 −x+1

Kiển tra f(x)= x2 −x+1 thoả mãn

Ví dụ 3: Cho f(x)= x vầ g(x)= 1−x trong [0,1] Kiểm tra tính ngặt của bất đẳng thức:

[ ]( ( ) ( )) [ ] ( ) [ ] ( )

) ( )

( ))

( ) ( (

1 , 0 1

, 0 1

, 0

1 , 0 1

, 0 1

, 0

x g Sup x f Sup x

g x f Sup

x g Sup x

f Sup x

g x f Sup

=

=

1 , 0 1

, 0 1

, 0 1

, 0 1

()((

;1)()

(x Sup g x Sup f x g x Sup Sup

Nếu α >0, coi rằng Pα(0)=0 Nếu α =0, coi rằng P0(0)=1

Đồ thị của Pα(x) cho bởi h.2.1

Xét Hàm mũ cơ số a, kí hiệu là , là ánh xạ từ R vào , xác định như

}{

\

* +

∈ R

.exp

a x a R

\

* +

∈ R

y

a x x a y

R R y

2 ∀x,y∈R+*,

y x

y x

y x

xy

a a

a

a a

a

logg

lolog

loglog

∈

∀ +

Chú ý: Sau này người ta thường lấy cơ số a là số e và gọi là lôgarit nêpe hay lôgarit tự nhiên

của x, kí hiệu y = lnx và suy ra

a

x x

E Các hàm s lượng giác ngược

1 Hàm arcsin là ánh xạ ngược của sin: [ ]1,1

1,

• f(x)=arcsin(sinx) là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2π và cho dưới dạng:

π

,2

2,0)

(

x x

x x

x f

nÕu

nÕu

Đồ thị của y=arcsinx cho trên hình 2.4

cos π

Vậy

2arcsin

3 Hàm actang là ánh xạ ngược của ,

2

,2

arc

Vậy ta có x R y y arccotgx x cotgy

2,0