Bai ging toan 1

Cho hàm s fx xác nh trong kho ng a, b... TÍCH PHÂN XÁC #NH... Tích phân suy r ng... dàng tính qua nó... Vi t ph ơng trình ng cong này trong h$ to vuông góc... Trong ng tròn ã xét, ta ý r

th hàm s Không là th hàm s 1.2 Gi i h n hàm s :

1 Ví d 1: Xét hàm s y f x( ) x2 x 2 Ta l p b ng các giá tr c a hàm s t i

nh ng i m x g n x0 2

+ Khi tìm gi i h n, ta ch quan tâm n các giá tr “x d n t i x0” ch không ph i xét khi x x0 Do ó hàm s f x( ) có th không xác nh t i x x0 nh ng ph i xác

nh t i các i m thu c lân c n c a i m ó

Ví d 2: Hàm s f x x

x2

1( )

1 không xác nh t i x 1 Ta l p b ng tính các giá tr

c a f x ( ) khi x 1 T# ó xem f x( ) d n n giá tr nào

Nh n th y khi x ti n g n n x0 1 thì các giá tr các hàm s f x( ) ti n g n n 0,5 Ta nói r!ng hàm s có gi i h n b!ng 0,5 khi x x0 1

Cách mô t này ch y u cho ta dáng i$u c a f(x) khi x g n a, d oán giá tr c a

gi i h n, có l i v tr c giác và phù h p v i m c ích th c hành Tuy nhiên không

Gi i: t f x

x

1( ) cos

, n = 1, 2, 3…thì f x( ) 0 V y

x 0 x

1lim cos không t n t i

x a f x x a h x L

lim ( ) lim ( ) thì

x a g x L

lim ( )

Ví d 5: Ch ng minh r!ng

x

x x

x

x x

sinlim 0 , hay ta có pcm

5 M t s phương pháp kh d ng vô nh: 0, , , 1

0+ Phân tích a th c thành nhân t ho c nhân bi u th c liên h p kh d ng vô

0

ln( 1)

x a x

a e x

1

1lim

0 2

2 2 2

2

1lim

1 , + D ng 1

+ Ta có: cosx 1 1 cosx 1 2sin2 x

2

Ví d 13: Xét s t n t i c a

x

x x

lim 2 Nên f không liên t c t i 2

Ví d 17: Tìm a hàm s sau liên t c trên R

(0) lim ( ) lim(1 2 )

2 i m gián o n c a hàm s

nh ngh a: Hàm s f(x) c g i là gián o n t i x = a n u t i x = a hàm s không liên t c

N u t n t i f a( ), ( ) và f a f a ( ) f a( ) thì x = a c g i là i m gián o n lo i

1

N u f a( ) f a( ) thì x = a c g i là i m gián o n kh c

i m gián o n khác (không ph i lo i 1) g i là gián o n lo i 2

( )

1 1( S: x = - 1 là i m gián o n lo i 1)

Bài t p v nhà:Trang 87 ( Bài 1 – 19), trang 91 ( bài 18 – 62), 25 trang 251, Trang

278 ( Bài 33 - 43)

2 1 1 có kh vi t i x = 1 không

+ N u o hàm tr c ti p y

x

1, c)ng có dy

Có hàm s ngư c f 1( ) Không có hàm s ngư cx

Chú ý : : + N u y f x( ) có hàm

ng c f 1 thì

+ f 1 f x( ) x, x X + f f 1( )y y, y Y

d Hàm ngư c c a hàm tang

Xét hàm s :

Hình 9.19

0

1( )

2 2

)

11

Chú ý: ý r!ng ti p tuy n v i ng cong ôm sát ng cong * g n ti p i m

i u này có ngh a r!ng khi dx nh1, thì ng cong th c s g n v i ti p tuy n

c a nó, và vì th vi phân dy d dàng c tính toán, nó cho x p x t t i v i s gia

Cho hàm s f(x) xác nh trong kho ng (a, b) Gi s hàm s y = f(x) có o hàm y’ = f’(x) và f’(x) có o hàm thì ta g i o hàm c a f’(x) là o hàm c p hai c a hàm f(x) Kí hi$u y” = f”(x) = [f’(x)]’

Bài gi ng s 3

CÁC NG D NG C A O HÀM 3.1 BÀI TOÁN GIÁ TR# L$N NH%T, NH& NH%T

a) nh ngh a: Hàm s y=f(x) xác nh trên o n [a,b], ta nói :

[a,b]

min ( ) min f(a), f(b), f(c)

Chú ý : 1) N u hàm s y f x( ) liên t c trên D, và trên ó nó có duy nh t m t

+ L p b ng bi n thiên, suy ra GTLN c a P: max P=64, t i x = 8 V y x = y =8

Ví d 2: M t m nh v n hình ch nh t 450m2 c rào l i

N u m t c nh c a m nh v n c b o v$ b*i b c t ng c a

m t kho thóc, thì kích th c chi u dài c a t ng rào ng n nh t

là bao nhiêu?

Gi i: + G i x là chi u r ng c a v n, y là chi u dài c a m nh

v n, L là chi u dài t,ng c ng c a hàng rào, v i x y L, , 0

x

y 450ft2

Barn

+ Vì v y kích th c c a hình ch nh t n i ti p l n nh t là 2x a 2 và y a 2

2 , hình ch nh t này có chi u dài g p ôi chi u r ng và kích th c ó làm cho A t GTLN và GTLN ó là : A a2

Ví d 4: M t cái dây dài L c c t thành hai o n M t o n b n i thành d ng hình vuông và o n kia thành hình tròn Cái dây s% b c t nh th nào sao cho t,ng di$n tích bao g m b*i 2 o n dây:

4 ;

L A

2 max 4 khi x = 0

Ví d 5: M t ng i bán hàng d nh bán 500kg khoai tây bóc v1 v i giá 1,5 USD/kg (giá g c là 70 cent /kg) Tuy nhiên n u c h giá m t cent thì s% bán thêm

c 25 kg H1i ng i bán hàng nên bán v i giá nào t l i nhu n l n nh t?

A

+ K t qu : h 2r

3.2 #NH LÝ V' GIÁ TR# TRUNG BÌNH

Nh n xét hình h(c : Gi a hai i m b t k" P

và Q trên th c a hàm s kh vi, t n t i ít nh t m t

i m mà t i ó có ng ti p tuy n song song v i

dây cung n i hai i m P và Q, nói cách khác : T n

tr c Ox t i 2 i m, thì khi ó s% có ít nh t m t i m c a ng cong này n!m gi a 2

i m trên mà t i ó ti p tuy n có ph ơng n!m ngang

< x < 1 Hàm s liên t c trên 0 ≤ x < 1 , không liên t c t i x =

1 o hàm f’(x) không b!ng 0 t i b t k" i m nào trên

0

y

x 2 1

kho ng này, và trong tr ng h p này k t lu n c a nh lý Rolle không còn úng

b) nh lý 2 ( nh lý giá tr trung bình) N u hàm s f(x) liên t c trên [a,b] và kh

vi trên (a,b), khi ó t n t i ít nh t m t s c n!m gi a a và b tho mãn:

+ Khi ó t n t i x b a f x f a f b a b

( ) ( ) ln ln( , ) : '

( ) ( )

Ví d 14: Ch ng minh r!ng: p

x

x x

lnlim 0 v i m i h!ng p>0

Gi i: + Gi i h n có d ng 2/2, theo qui t c L’Hospital ta có

lim (secx-tanx) lim lim 0

Bài s 4 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC #NH

I NGUYÊN HÀM ( TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC #NH )

1 nh ngh a: Cho hàm s f x( ) xác nh trong kho ng (a, b)

1

cotsinu du=− u c +

du+ =

x

e 2 + c

Ví d 4 Tìm

1

tan 21

x

e

dx x

dxx

D ng : I / p x( ).ln ( )q x dx ta t u q x

ln ( )' ( )

D ng : I / e K x dx ax ( ) trong ó K x( ) sin , cosax bx

sin n-2 x dx

4 Nguyên hàm c a m t s hàm s cơ b n

a Tích phân các hàm s lư ng giác

Xét tích phân d ng I / f(sin ,cos )x x dx

Ph ơng pháp chung: t t tanx

2

N u f( sin ,cos )x x f (sin ,cos ) t t x x cos x

N u f(sin , cos )x x f (sin ,cos ) t t x x sin x

Xét các tích phân d ng m n

I / sin x cos x dx (*)

N u n l*, m ch+n:

+ Tách ra th#a s cosxdx d(sin ) x

+ Vì s m) c a cos x là ch5n, nên ta có th s d ng tính ch t :cos 2 x = 1 - sin 2

x bi u di.n ph n còn l i c a tích phân ban u d i d ng t, h p c a sin x

N u m l*, n ch+n:

+ Tách ra th#a s sinxdx d(cos ) x

+ S d ng tính ch t: sin 2 x = 1 - cos 2 x t ơng t nh trên

N u n và m là s nguyên ch+n, không âm: S d ng công th c góc chia ôi

s d ng công th c nh th c Ví d , v i b t k" s m) d ơng l6 nào c a cos x:

cos 2n +1 x = cos 2n x cos x = (cos 2 x) n cos x = (1 - sin 2 x) n cos x,

Ta t u = sin x thì du = cos x dx, và khi ó:

+ D a trên các bi u th c: d(tan x) = sec 2 x dx

d(sec x) = sec x tan x dx,

tan 2 x + 1 = sec 2 x

Ví d 12 Ta có

4 6 4 4 2 4 2 2

tan sec tan sec sec tan (1 tan ) (tan )

tan (1 2 tan tan ) (tan ) (tan 2 tan tan ) (tan )

b Tích phân các hàm phân th!c h,u t-

Ý t *ng cơ b n là phân tích hàm phân th c h u t- ã cho thành t,ng các phân th c ơn gi n hơn (g i là các phân th c ơn gi n)

M t hàm h u t c g i là chính quy n u s m) l n nh t c a t s nh1 hơn s

m) l n nh t c a m0u s , ng c l i nó c g i là không chính quy

+ M t hàm không chính quy b t k"

)(

)(

x Q

x P

có th bi u di.n thành:

( )

)(

x Q

x P

= a th c +

)(

)(

x Q

x R

b c c a R(x) nh1 hơn b c c a Q(x)

Ví d 1 Tính

)3)(

1(

75+

−

+

x x

x )dx= 3 ln (x - I) + 2 ln (x + 3) + c

Ví d 2 Tìm

1

122

4

2 3

−

−++

x

x x x

dx

Gi i: Ta có

1

122

4

2 3

−

−++

x

x x x

+

−+

−++

)1)(

1)(

1(

122

2

2 3

x x x

x x x

1+

x

A

+ 1

1x

1xxx

4

2 3

−

−+

1x

1+ +

1x

1

− +

1x

4

2 3

−

−++

x

x x x

cosa

a cosθdθ = a

θ

θsina

dxx

x a

dx

+ = a

θ

θsec

sec2

a

a

dθ = secθdθ = ln(secθ + tanθ) +C

+ T#: x = a tanθ hay tanθ = x/a ta có: secθ =

x a

)2(

x x

dx x

−++

Gi i: + Ta có: 3 + 2x - x2 = 4 - (x2 - 2x + 1)= 4 - (x - 1)2 = a2 - u2,

+ Vì x = u + 1, nên ta có dx = du và x + 2 = u + 3, và do ó

2

23

)2(

x x

dx x

−+

+

=

2 2

)3(

u a

du u

−

+ =

2 2

u a

udu

− + 3

2 2

u a

Ví d 4 Tìm

52

2

+

− x x xdx

Gi i: + Ta vi t : x2 - 2x + 5 = (x2 - 2x + 1) + 4 = (x - 1)2 + 4 = u2 + a2

+ t: x = u + 1, dx = du, ta có

52

2

+

− x x

2 2

)1(

a u

du u

+

+ =

2 2

a u

udu

+ +

au

II TÍCH PHÂN XÁC #NH

1 Di n tích hình thang cong

Bài toán: Tìm di$n tích c a m t mi n n!m d i th c a hàm s liên t c

( )

y= f x v i a x b≤ ≤ , n!m gi a hai ng th ng th ng ng x = a và x = b, n!m phía trên tr c hoành

Chú ý :+ Khi ó ta nói r!ng hàm y f x( ) kh tích trên a b, Giá tr c a gi i

h n không ph thu c vào cách chia o n a b,

+ M i hàm liên t c u kh tích

Ví d 1 Xét hàm s y f x( ) x trên o n [a,b] Mi n n!m d i th này là

tam giác vuông có chi u cao là b và c nh áy là b Tính di$n tích c a c a mi n ó

Gi i : + Chia o n [0, b] thành (n-1) ph n b!ng nhau b*i các i m chia :

n

b x

f( 1)= ;

n

b x

f( 2)= 2 ; … ;

n

nb x

f( n)=

22

)1(

21

2

2 2

2

n

b n

n n

b n n

b n

b n

nb n

b n

b n

b n

b

+ Nh v y: Di$n tích c a mi n =

2)11(2

blimSnlim

2 2

n

b n

S = −

b

adx x

)

fb

a

− +

1 0 là

1 1

1( 1)

4

1( 1)

4 + Di$n tích i s c n tìm là: I A1 A2 0

N u f(x) kh tích trên [a, b] f x( ) c)ng kh tích trên [a, b] và :

/ ( ) ( ) ( ) ( )

+ t

dx du

Trang 280 (bài 1 - 30), trang 282 (bài 13 - 24), Trang 304 ( bài 1 -30), trang 308 (

bài 1 - 23), trang 312 (bài 1 - 28), trang 315( bài 1 - 16), trang 321(2 - 13), trang 326

(bài 1 - 25)

Tích phân suy r ng

C%U TRÚC ' KI1M TRA GI2A K3 MÔN TOÁN I Hình th!c thi: T lu n - Th4i gian: 50 phút Câu 1 (3,5 i m) Gi i h n và tính liên t c c a hàm s

BÀI GI/NG S 5 TÍCH PHÂN SUY R NG

V n : N u ít nh t m t trong các s ,a b b!ng vô cùng ho c hàm ( )f x không b

ch n trên o n a b, thì ta có th nói gì v tích phân ó?

Chú ý: N u t n t i gi i h n thì có th vi t

lim ( ) ( )

a a

/ s% h i

t n u p > 1 và phân k" n u p 1

Gi i: N u p = 1 thì c th hi$n trong ví d 3a

t lim tan$& x%' t lim tan$& x%'

1 nh ngh a: Cho hàm s f(x) không b ch n trên o n h u h n [a, b] Gi s f(x)

b ch n và kh tích trong o n [a, b ], v i 0 bé tu" ý và không gi i n i khi

tích phân suy r ng c a f(x) trên [a, b]

N u gi i h n là h u h n ta nói tích phân suy r ng h i t , n u gi i h n là vô cùng

ho c không t n t i ta nói tích phân suy r ng phân k"

T ơng t , ta nh ngh a cho tích phân suy r ng v i x = a là i m b t th ng:

/ h i t n u h!ng s p < 1 và phân k" n u 1

/ là tích phân Riemann v i 2 1 nên h i t

+ Theo nh lý 2 suy ra tích phân ã cho h i t

Bài t p v nhà: Trang 372 (bài 1-24)

c c

Ta có : y2 x3 hay y x3/2 là ph ơng trình vuông góc c a ng cong

3 Cách thi t l p và chuy n ,i gi a ph ơng trình ng cong tham s và vuông góc

+ Ch n m t i l ng trung gian mà x, y u d dàng tính qua nó

+ M t ng cong có th có nhi u ph ơng trình tham s nh ng ch có duy nh t m t

ph ơng trình vuông góc

+ M t s g i ý chuy n ng cong d ng tham s sang vuông góc :

Coi x ho c y nh là tham s : y f ( x ), chuy n thành y f ( x )

S d ng nghiêng c a ti p tuy n t i i m x y, nh m t tham s :

Xét tham s : m y

x là nghiêng c a ng th ng bán kính n i i m x y, v i g c O Khi ó: y mx và x2 4py 4pmx

dv dv

c a m t hành tinh quay xung quanh qu8 o c a nó c xác nh b*i l c h p d0n

c a m t tr i ng cong nh v y c mô t t t nh t nh là m t chuy n ng

d ơng tr cOx Góc này c mô t theo chi u ng c chi u kim ng h n u

d ơng và theo chi u kim ng h n u θ âm, nh trong l ng giác

Thu t ng “kho ng cách nh h ng” t c là r có th là s âm khi mà v i

h ng cho tr c, khi ta chuy n ng c qua g c m t kho ng r theo h ng

Khi ã bi t x và y ta c)ng có:

y x

tan Khi s d ng các công th c này c n ph i c/n th n xác nh chính xác d u c a

+ Mà m t i m P r, có nhi u c p to khác nhau nên P n m trên ! th

n u m t c p to b t kì trong các to c a i m ó tho mãn ph ơng trình

Ví d 10 V% ng có ph ơng trình r a , trong ó a là m t h!ng s d ơng

Gi i: th là m t ng tròn tâm t i g c và có bán kính b!ng a

Ví d 11 Ch ra r!ng ng có ph ơng trình r 2cos bi u di.n m t ng tròn

+ ki m tra k t qu : Ta có r 2cos suy ra

r2 2 cos ,r x2 y2 2 ,x x2 2x y2 0, x 12 y2 1

ây là m t ng tròn tâm 1,0 và bán kính b!ng 1

Nh n th y vi$c nhân 2v c a pt v i r, làm cho g c to luôn

n!m trên th Tuy nhiên, trong pt này g c to ã n!m trên

pt nên vi$c nhân này không nh h *ng n th hàm s

Chuy n p/trình c c v p/trình trong h to vuông góc.

θ =

α

α

r = α α

r

=a

r

=2a

Ta s d ng m i liên h$:

y r x r y x

Ví d 12: V% ng cong cardioid r a 1 cos , v i a > 0 ( ng hình tim)

Vi t ph ơng trình ng cong này trong h$ to vuông góc

Có th s d ng tính ch t c a hàm cos , i x ng qua tr c Ox, nên ta ch c n v%

th trong 0, r i l y i x ng qua tr c Ox

+ Khi t3ng, r gi m, b!ng 0 khi 2cos 1, t c là khi 2 / 3

+ Khi t3ng liên t c n , r gi m liên t c t# 0 n giá tr âm a , và ta v%

c n a d i c a vòng trong c ch trong Hình 16.9

+ Khi t3ng liên t c qua góc ph n t th ba và th t , r nh n l i giá tr c a nó

v i v trí o ng c; vòng trong hoàn thành t i 4 / 3 , và vòng ngoài hoàn thành

- N u góc là m t góc sao cho f 0 thì có hai h i m t ơng ng trên

ng cong v i r 1 f Các i m này có kho ng cách b!ng nhau t i tâm

nh ng h ng ng c nhau, vì v y th c a r2 f luôn luôn i x ng qua g c

+ Hai giá tr r trong (1) ng th i v% nên hai ph n c a ng cong trong Hình 16.10

+ Khi ti p t c t3ng qua n a th hai c a góc ph n t th nh t và n a th nh t

c a góc ph n t th hai, 2 bi n ,i qua góc ph n t th hai và th ba và cos2

âm, vì v y không có th cho t p i m này

Qua n a th hai c a góc ph n t th hai, cos2 l i d ơng, và hai giá tr c a r

cho b*i (1) ng th i hoàn thành hai vòng b t u * bên trái hình v%

III PH5.NG TRÌNH C6C C0A CÁC 57NG TRÒN, 57NG CÔNIC VÀ CÁC

ng cong Trong ng tròn ã xét, ta ý r!ng tam giác OPA trong hình bên

ph i là tam giác vuông T# tam giác OPA vuông v i r là c nh bên k v i góc nh n

Hình 16.15

+ Tâm n!m trên tr c Ox, ta có 0 , ph ơng trình t ơng ng: r 2 cos a

+ Tâm n!m trên tr c Oy, ta có / 2 , ph ơng trình t ơng ng: r 2 sin a

Ví d 18 Tìm ph ơng trình c c c a ph n ng cônic v i tâm sai e n u tiêu

i m t i g c to và ng chu/n t ơng ng là ng th ng x p n!m bên trái g c to

Gi i + Tiêu i m , ng chu/n, tâm sai c a ph n cônic là

PF

+ ng cong là elip, parabol hay hyperbol tu"

thu c theo e 1,e 1 hay e 1

1 cos (10)

ây là ph ơng trình c c c a conic ta ang xét

Ví d 19 Tìm ph ơng trình c c c a ng cônic v i tâm sai 1

1 cos 3 cos

P = (r, θ) a

C = (b, ) α

r

b

α θ

+ ng cong này là elip

Bài t p v nhà: Trang 515( bài 1 - 9), 519 (bài 1 - 10)

c tr c các m c: 7.2, 16.5, 7.3, 7.4, 7.5, 16.4, 7.6, chu/n b cho Bài s 7

"ng d ng c a tích phân

e P

y = a

H ình 16.21

+ ho c d i n!m ngang v i chi u r ng dy

Bư c 3: Tính ra vi phân di$n tích dA, bi u th dA theo bi n x ho c y

Bư c 4: L y tích phân dA theo các c n c a x ho c y