Giáo án đại số lớp 11 chuyên đề cấp số nhân

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG CẤP SỐ NHÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm cấp số nhân + Nắm được tính chất 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân + Nắm được công thức tổng quát, công

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG CẤP SỐ NHÂN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững khái niệm cấp số nhân

+ Nắm được tính chất 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân

+ Nắm được công thức tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

 Kĩ năng

+ Nhận biết được một cấp số nhân dựa vào định nghĩa

+ Tìm được yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, tổng n số hạng

đầu tiên, công bội, số số hạng của cấp số nhân

+ Áp dụng tính chất cấp số nhân vào các bài toán giải phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

+ ứng dụng vào các bài toán thực tế

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích

của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu  u n là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi u n1u q n với n *

Đặc biệt:

 Khi q0, cấp số nhân có dạng u1,0,0, ,0,

 Khi q , cấp số nhân có dạng 1 u u u1, , , , , 1 1 u1

 Khi u1 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0 0,0,0, ,0,

Số hạng tổng quát Định lí 1 Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u và công bội q thì số hạng tổng quát 1 u được xác định bởi n

công thức

1

1 n

n

u u q  với n 2

Tính chất Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của

hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

2

1 1

k k k

u u  u  với k 2

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Định lí 3 Cho cấp số nhân  u n với công bội q1

Đặt S n     Khi đó u1 u2 u n 11 

1

n n

S

q







Chú ý: Nếu 1q thì cấp số nhân là u u u1, , , , , 1 1 u1 khi đó S nnu1

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh một dãy  u n là cấp số nhân

Phương pháp giải

Chứng minh u n1u q n n ,  trong đó q là một số không đổi 1

Nếu u n   0, n * thì ta lập tỉ số n1

n

u k u

 

* k là hằng số thì  u n là cấp số nhân có công bội q k

* k phụ thuộc vào n thì  u n không là cấp số nhân

Để chứng minh dãy  u n không phải là cấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên tiếp không

tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn 3 2

Để chứng minh a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân, ta chứng minh ac b  hoặc b2  ac

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó

a)  2 1

4 n

n

n

Hướng dẫn giải

CẤP SỐ NHÂN

u n u n1.q

Số hạng tổng quát

1

1 n n

Số hạng thứ k

2

1 1

u u u

k 2

Tổng n số hạng đầu tiên

1

n

S nu khi q 1

1 1 1

n n

S

q





 khi q 1

a) Ta có  

2 1

2 1

4

4 16 4

n

n n

u u







 là số không đổi nên  u là cấp số nhân với công bội q = 16 n

b) Ta có    

 

1 3 1 1

3 1

3 1

7 5

7.5 875

7 5

n n n

n n n

u u







 không đổi nên  u là cấp số nhân với công bội n

875

Ví dụ 2. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó

a)

1 1

3 9

n n

u u

u









1 2 1

2

n n

u







Hướng dẫn giải

1

9

9

n n

n

u



Do đó có 1 3 5 2 1

n n





     



 

 12

Theo đề bài ta có 1 2

1

9

u

Từ (1), (2), (3) suy ra u1u2 u3u4 u5  u2n u2n1

Do đó  u là cấp số nhân với công bội q = 1 n

suy ra 2

1

4 2 2

u

256 16 16

Do đó  u không là cấp số nhân n

Ví dụ 3 Cho  u là cấp số nhân có công bội n q0;u1 Chứng minh rằng dãy số 0  v với n

2

n n n

v u u cũng là một cấp số nhân

Hướng dẫn giải

Ta có

3

q

   nên  v n là cấp số nhân với công bội là q3

Ví dụ 4. Cho dãy số  u n được xác định bởi 1

1

2

u

n



 Chứng minh rằng dãy số  v n xác định bởi 3,v n u n   là một cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân n 1

đó

Hướng dẫn giải

Ta có v n u n (1) 3 v n1u n1 (2) 3

Theo đề ra u n14u n 9 u n1 3 4u n (3) 3

Thay (1) và (2) vào (3) ta được 1

n

v

v



      (không đổi) Suy ra  v là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu n v1   u1 3 5

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

2 1

1 2

u

 







B u n1nu n. C 1

1

2 5

u





  

 . D u n1u n1 3

Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

3

n n

3

n n

3

n

3

n

Câu 3: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

1

3

u





 B u n1 u n C

1 1

1 6

u





 D u n12u n 3

Câu 4: Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?

3

n

u  n B u n n2 C 2 32n

n

Câu 5: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?

3

n n

5

n n

3

n

3

n

Câu 6: Dãy số nào trong các dãy số sau vừa là một cấp số cộng, vừa là một cấp số nhân?

A 1; 1; 1; 1; 1;     B 1;0;0;0;0; C 3;2;1;0; 1;  D 1;1;1;1;1;

Câu 7: Cho cấp số nhân có u1 và công bội 00 q Trong các nhận xét sau, nhận xét nào đúng?

A u n  với mọi n 0 B u n  với mọi n lẻ và 0 u n với mọi n chẵn 0

C u n  với mọi n 0 D u n với mọi n chẵn và 0 u n  với mọi n lẻ 0

Câu 8: Hỏi 1

2,

1

4,

1

8,

1

32 là bốn số hạng đầu của dãy số nào sau đây?

2

n

u

n

n

u n



1 2

n n

n



Câu 9: Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân?

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?

n

1 1

2 1 3

u







2 3 5

n

n

1

n

n u n







Câu 11: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?

2 1

1 2

u

 







1

1 2 2

u

 





  



C u n n2 D 1 1 2

n n n







Câu 12: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?

3 1

n n

1 3

3

n

u   n D u n n3 1

Câu 13: Cho dãy số  u n là một cấp số nhân với u n 0,n  Dãy số nào sau đây không phải là cấp số 

nhân?

1 1 1

; ; ;

Câu 14: Cho dãy số  u n được xác định bởi u12;u n 2u n13n Công thức số hạng tổng quát của 1

dãy số đã cho là biểu thức có dạng 2a nbn c , với a, b, c là các số nguyên với n2;n Khi đó

tổng a + b + c có giá trị bằng

Câu 15: Cho dãy số  u n có các số hạng đầu là 5, 10, 15, 20, 25,… Số hạng tổng quát của dãy là

A. 5(u n  n B 1) u n 5n C u n   D 5 n u n 5n 1

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1

1-C 2-B 3-C 4-C 5-B 6-D 7-B 8-C 9-B 10-B

11-B 12-B 13-D 14-C 15-B

Câu 1:

1

2

5 5

n

n

u









  

 là cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội 52 q 

Câu 2:

Xét 12 1 11

n

n n n

u

u



Vậy  u n là cấp số nhân có công bội 1

3

Xét n1 6

n

u

u

  nên  u là cấp số nhân có công bội n q6

Câu 4:

2 2 1

3

n n

n n

u

u      nên 32n

n

u  là cấp số nhân có công bội q9

Câu 5:

1

3

1 1 5

5

n n

n

n

u

u







  nên 12

5

n n

u   là cấp số nhân có công bội 1

5

Câu 6:

Dãy số 1; 1; 1; 1; 1;… vừa là cấp số cộng công sai là 0, số hạng đầu là 1 vừa là cấp số nhân số hạng đầu

là 1, công bội là 1

Câu 7:

Câu 8:

Xét cấp số nhân  u n với 1 1, 1

Ta có

1 1

1

n n



 

Câu 9:

Dãy 1; 1; 1;1

   có

2

1 1.1

   

 

  nên không là cấp số nhân

Câu 10:

Dãy số

1

1 1

2

1

3

n n

u

u u









 là cấp số nhân với 1

1 2, 3

Câu 11:

Dãy số 1

1

1 2 2

u





  



có n 1 2

n

u u

   nên là một cấp số nhân với công bội là q  2

Câu 12:

1

:

n

n

u u

u



       

Suy ra 12

3

u    là một cấp số nhân với công bội là 1

3

Câu 13:

Dãy u u u1; ; ; 3 5 là cấp số nhân công bội q 2

Dãy 3 ;3 ;3 ; u u1 2 u3 là cấp số nhân công bội 3q

Dãy

1 1 1

; ; ;

1

q

Dãy u11;u21;u31; không phải là cấp số nhân

Câu 14:

Ta có u n 2u n13n 1 u n3n 5 2u n13n 1 5 với 2;n n 

Đặt 3v n u n n , ta có 5 v n 2v n1 với n2;n

Như vậy  v n là cấp số nhân với công bội q = 2 và v110

Do đó 10.2n1 5.2n

n

Suy ra 3 5 5.2n

n

u  n  hay 5.2n 3 5

n

u   n với 2;n n  Vậy a5,b 3,c  nên 5 a b c         5    3 5 3

Câu 15:

Ta có u15;u210 5.2; u315 5.3;  u n 5.n

Dạng 2: Xác định số hạng đầu, số hạng thứ k, công bội, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Phương pháp giải

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu u Giải hệ phương 1

trình này tìm được q và u 1

Nếu cấp số nhân  u n có số hạng đầu u và công bội q thì số hạng tổng quát 1 u được xác định bởi n

công thức 1 

n

Tổng của n số hạng đầu tiên

1 1 1

n

n n

S

q









 



khi

khi

1 1

q q





Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết

a) 1 5

51 102

 



  

2 3

6 43

u S





 



Hướng dẫn giải

a) Ta có  

4 4

1

Chia từng vế của (**) cho (*) ta được  

4 1

4 1

51 1







51 51

q

 Vậy u1 và q = 2 3

1

1

2

1

1

u

q

q





chia từng vế của (*) cho (**) ta được

1

6 43 1

u q

 

6

6

q

q







 



 Với q   6 u1 1

 Với 1 1 36

6

q  u

Vậy

1

6 1

q u





 

 hoặc

1

1 6 36

q u

 





 



Ví dụ 2 Cho cấp số nhân u có công bội nguyên và các số hạng thỏa n

mãn 2 4

10 21

 



    

 a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân

b) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiện bằng 1365?

c) Số 4096 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?

a) Ta có

3

3

51

10

u q q

q q

2

10q 21q 10q 21q 10 0 10 q 21 q 10 0

2

      Ta có phương trình

Sử dụng công thức

1

1 k k

Đưa hệ phương trình

về hệ phương trình hai ẩn q và u 1

Sử dụng công thức

1

1 k k

Và

1

1

1

n n

q

q



 Đưa hệ phương trình

về hệ phương trình hai ẩn q và u 1

Sử dụng công thức

1

1 k k

Đưa hệ phương trình

về hệ phương trình hai ẩn q và u 1

 2  2

5 2

2 5

t

t



 



 



2

1

2

q

 





  



Mà q nguyên nên q 2

q

        (vô nghiệm)

Ta có q 2 u1 10 3 1

q q

 Vậy q 2;u1  1

b) Ta có 1365 1.1 1365

1

n n

q

q





1 2

n

 

 Vậy tổng của 12 số hạng đầu tiên bằng 1365

1

k

Vậy số 4096 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân

Ví dụ 3 Tính các tổng sau

a) 1 12 13 1

S     

b)

n

Hướng dẫn giải

a) Ta có dãy số 1 1 1; 2; 3; ; 1

2 2 2 2n là một cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu 1 1

2

u  và công bội

2

1 1 2

1 2 2

Do đó 1

1 1

1

2

n n

q

q

 

  