Giáo án giải tích lớp 12 chuyên đề 3 bài 1 nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm

TOANMATH.com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản + Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm

 Kĩ năng

+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm

+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm

+ Vận dụng nguyên hàm vào các bài toán thực tế

TOANMATH.com Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa nguyên hàm Ví dụ: F x x là một nguyên hàm của hàm 3

số f x 3x vì 2  3 ' 2

3



Cho hàm số f x xác định trên K (K là khoảng, đoạn  

hay nửa khoảng) Hàm số F x được gọi là một  

nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu  

   

F x f x với mọi x K 

Định lí Nhận xét: Nếu F x  và G x  cùng là nguyên

hàm của hàm số f x  trên K thì:

 F x' G x' , x K

 F x G x C , với C là hằng số nào

đó

Giả sử hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số

 

F x trên K Khi đó:

 Với mỗi hằng số C, hàm số F x C cũng là

một nguyên hàm của f x trên K  

 Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của f x trên  

K thì tồn tại một hằng số C sao cho

   

G x F x C với mọi x K Do đó 

  , 

F x C C là họ tất cả các nguyên hàm

của f x   trên K Ký hiệu

    

 f x dx F x C

Ví dụ 2:



x

Nếu f x g x   , là hai hàm số liên tục trên K thì:

a) f x dx'   f x C

b) kf x dx k f x dx , với k là hai số thực khác 0      

c) mf x ng x dx m f x dx n g x dx với          

m,n là hai số thực khác 0

d) Với a b,  và a0 ta có:

    1   

f ax b dx F ax b C

a , ở đó F x  là một nguyên hàm của f x 

Sự tồn tại nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x  liên tục trên K đều có

nguyên hàm trên K

TOANMATH.com Trang 3

BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Nguyên hàm của hàm số sơ

cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp u = u x   

Nguyên hàm của hàm số hợp

u = ax + b;a 0  

dx x C 

1

1 1

x









1

u









1

ax b

a

















1

ln





2

x   x

u   u

a ax b







2 3 xdx x x C

3

a



1

2

a





e dx e C

a



 0, 1

ln

x

a

ln

u

a

ln

mx n





sinxdx cosx C

a



cosxdxsinx C

a



tanxdx ln cosx C

 tanudu ln cosu C tanax b dx   1aln cosax b C cotxdxln sinx C

 cotuduln sinu C cotax b dx 1ln sinax b C

a



2

1

cot sin xdx  x C

1

cot sin udu  u C

cot sin ax b dx a ax b C





2

1

tan cos xdx x C

1

tan cos udu u C

tan cos ax b dxa ax b C





1

ln tan

x

u

C







TOANMATH.com Trang 4

1

ln tan

x

x



u

u



1 cos 1

ln tan

dx

ax b

ax b

C a









HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

NGUYÊN HÀM: f x dx F x    C

1 Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f x xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số   F x được gọi là một  

nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu   F x'  f x  với mọi x K

2 Định lí

Giả sử hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K Khi đó:

 Với mỗi hằng số C, hàm số F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K

 Hàm số F x C C,  được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f x  trên K Kí hiệu

   

f x dx F x C

3 Tính chất

Nếu hai hàm số f x g x liên tục trên K và k 0   ,  thì ta luôn có:

a) f x dx'   f x C

b) kf x dx k f x dx , với k là hai số thực khác 0      

c) mf x ng x dx m f x dx n g x dx với m,n là hai số thực khác 0          

d) Với ,a b và a0 ta có:  f ax b dx   1F ax b  C

4 Sự tồn tại nguyên hàm

Mọi hàm số f x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa

Bài toán 1: Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp và hàm số mũ

Phương pháp giải

 Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên

hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu

thức chứa x, trong đó mỗi biểu thức

chứa x là những dạng cơ bản có trong

Ví dụ 1: Họ nguyên hàm của hàm số f x ex là: x

A ex x2 C B 1 2

2

x

e  x  C

TOANMATH.com Trang 5

bảng nguyên hàm

x

x

e   C Hướng dẫn giải

2

e x dx e dx xdx e  x C

Chọn B

Ví dụ 2: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y x ?

A 2

3x x 

C 1

3x x  Hướng dẫn giải

3 xdx x x C

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm

số y x Chọn C

Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x23x là

A x33 ln 3x  C B 3 3

ln 3

x

x   C

C x33x  C D 3 ln 3

3x

x   C Hướng dẫn giải

3

3

ln 3

x

Chọn B

 Áp dụng các công thức nguyên hàm

trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm

nguyên hàm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Nguyên hàm của hàm số   4 3

2

2 5

x

2

4

x

2

4

x

2

3 3

x

20

3

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com Trang 6

5

4



Chọn A

Ví dụ 2 Nguyên hàm của hàm số f x  4x2 x 6

x

A 2x22 x6 ln x C B x22 x6 ln x C

C 2x22 x6 ln x C D x2 x3ln x C

Hướng dẫn giải

Chọn C

Chú ý: Tính chất phân thức: a b c a b c

    

Ví dụ 3 Nguyên hàm của hàm số f x  2xx 1

e



 là:

A 2

ln 2

x

x

e



ln 2 12 

x

x

e



 C ln 2 12 

x

x

e



 D ln 2 12 

x

x

 Hướng dẫn giải

Ta có:

ln 2 1

x

 

Chọn C

Ví dụ 4 Nguyên hàm của hàm số    2019

2

f x x x là:

A  2021  2020

C

C

C  2021  2020

C

C

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ví dụ 5 Nguyên hàm của hàm số   2

1 1

x

f x e



 là:

A xln e2 x  B 1 C 1ln 2 1

2

x

x e   C C lne2 x  1 C D xlne2 x   1 C

TOANMATH.com Trang 7

Hướng dẫn giải

1 1

1

 

2

1

x x

x

d e e



Chọn B

Ví dụ 6 Nguyên hàm của hàm số   1

f x



   là:

A 1   3 3

1

6 x  x C

6 x x 6 x  C Hướng dẫn giải

Ta có:

4



Chọn A

Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: a b a b





3

a

Ví dụ 7 Nguyên hàm của hàm số   25 13

x

f x





  là:

A 2 ln x 3 3ln x 2 C B 3lnx 3 2 ln x 2 C

C 2 ln x 3 3ln x  2 C D 2 ln x 3 3ln x  2 C

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

Ta sẽ phân tích: 5x13A x  2 B x3  1

Thế x  và 2 x  lần lượt vào (1) ta có 3 B  và 3 A  2

2

2 ln 3 3ln 2

Chọn D

TOANMATH.com Trang 8

Ví dụ 8 Nguyên hàm của hàm số f x  15 x4





 là:

2

x  x   C B ln x lnx4  1 C

2

2

x  x   C Hướng dẫn giải

4

1

Chọn C

Ví dụ 9 Nguyên hàm của hàm số   3 32 3 3

f x



  là:

A ln 2 2 ln 1 3

1

x

3

1

x



C 2 ln 2 ln 1 3

1

x

3

1

x

 Hướng dẫn giải

Ta có:

   

2 3

3x 3x 3 A x1 B x1 x 2 C x2

Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay A1,C và 3 B  2

(thay x   2 A 1;x    và 1 C 3 x   ) 0 B 2

Khi đó

2

Chọn A

Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho các nguyên hàm hữu tỉ  

 

P x

Q x

 , với P x  và Q x  là các đa thức, cụ thể như sau:

 Nếu degP x  degQ x   thì ta thực hiện phép chia P x  cho Q x  (ở đây, kí hiệu

 

deg P x là bậc của đa thức P x )  

 Khi degP x  degQ x   thì ta quan sát mẫu số Q x ta tiến hành phân tích thành các nhân  

tử, sau đó, tách P x theo các tổ hợp của các nhân tử đó Đến đây, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức  

(hoặc giá trị riêng) để đưa về dạng tổng của các phân thức

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp

TOANMATH.com Trang 9

Trường hợp 1:

ax b cx d1  ad bc ax b cx d1 a c

Trường hợp 2:

ax b cx dmx n  ax b cx dA B Ax Ba x Ad Bbax b cx d  

Ta đồng nhất thức mx n Ax Ba x Ad Bb     1

Cách 1 Phương pháp đồng nhất hệ số

Đồng nhất đẳng thức, ta được Ac Ba m

Ad Bb n



 Suy ra A, B

Cách 2 Phương pháp giá trị riêng

Lần lượt thay x b;x d

    vào hai vế của (1), tìm được A, B

Trường hợp 3:

ax b



Trường hợp 4:

2

*

cx d ax b

Lần lượt thay x b;x d;x 0

     vào hai vế của (*) để tìm A, B, C

Trường hợp 5:



Trường hợp 6:

Ví dụ 10 Cho hàm số f x xác định trên   \ 1

2

 

 

 

 thỏa mãn '  2 ;  0 1

x

 và f 1  Giá 2 trị của biểu thức P f    1 f 3 là:

A 3ln 5 ln 2 B 3ln 2 ln 5 C 3 2 ln 5 D 3 ln15

Hướng dẫn giải

1 2

1

ln 2 1

ln 1 2

2

x

x C khi x





Vì  

  12

2

C f

TOANMATH.com Trang 10

1

ln 2 1 2

2 1

ln 1 2 1

2

f x

x khi x



 



Do đó P f    1 f 3  3 ln 3 ln 5 3 ln15  

Chọn D

Chú ý:

Chú ý đến tính liên tục của hàm số f x và cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối ' 

Ở đây, ta sử dụng hai hằng số khác nhau ứng với 1

2

x  và 1

2

x 

Ví dụ 11 Cho hàm số f x xác định trên   \ 1;1 , thỏa mãn '  22 ;    3 3 2 ln 2

1

x

0

f  f 

    Giá trị của biểu thức P f      2 f 0  f 4 là:

A 2 ln 2 ln 5 B 6 ln 2 2 ln 3 ln 5  C 2 ln 2 2 ln 3 ln 5  D 6 ln 2 2 ln 5

Hướng dẫn giải

x



Hay  

1 2 3

1

1

1

1

x

C khi x x

x

     

   





   



Theo bài ra, ta có:

   

2

3 3 2 ln 2

2 ln 2

C



      



     



3

5

Chọn C

Bài toán 2 Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Yêu cầu chung: Nắm vững công thức lượng giác

và biến đổi lượng giác

 Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số

  cos3 cos 2

f x  x x trên  ta thu được kết quả:

TOANMATH.com Trang 11

về dạng tổng, hiệu của các hàm số lượng

giác trong đó, mỗi hàm số là những dạng cơ

bản có trong bảng nguyên hàm

 Áp dụng các công thức nguyên hàm trong

bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên

hàm

A  f x dx  sin 510xsin2x C

B   sin 5 sin

5

x

f x dx  x C



C   1sin 3 sin 2

6



D   sin 5 sin



Hướng dẫn giải

Ta viết:   1cos 5 cos 

2

Khi đó:   sin 5 sin



Chọn A

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Nguyên hàm của hàm số  2 cosx3cos 5x dx là:

A 2sin x15sin 5x C B 2sin 3sin 5

5

C 2sin 3sin 5

5

x x C D 2sinx5sin 5x C Hướng dẫn giải

Ta có: 2 cos 3cos 5  2sin 3sin 5

5



Chọn C

Lưu ý: cosaxdx sinax C; sinaxdx cosax C

Ví dụ 2 Nguyên hàm của hàm số sin 5 sin 2 x xdx là:

A 1 cos 5 cos 2

6 x14 x C

C 1sin 3 1sin 7

2 x2 x C Hướng dẫn giải

Ta có: sin 5 sin 2 1 cos3 cos 7  1cos3 1 sin 7

Chọn B

Ví dụ 3 Nguyên hàm của hàm số 4 cos2xdx là:

TOANMATH.com Trang 12

A 4x2sin 2x C B 4 cos3

3

x C

 C 2xsin 2x C D 2xsin 2x C Hướng dẫn giải

Ta có: 4 cos2xdx2 1 cos 2   x dx 2xsin 2x C

Chọn D

Chú ý: Dùng công thức hạ bậc: 2 1 cos 2 2 1 cos 2

Ví dụ 4 Nguyên hàm của hàm số  2

1 2sin x dx

A 3x4 cosxsin 2x C B  3

1 2sin 3

x C





C 3xsin 2x C D 3x4 cosxsin 2x C

Hướng dẫn giải

2

3 4 sin 2 cos 2 3 4 cos sin 2

x





Chọn A

Ví dụ 5 Nguyên hàm của hàm số  sinxcosxsinxdx là:

A 1 1sin 2 1cos 2

2x4 x4 x C B 1 1sin 2 1cos 2

2x4 x4 x C

C 1sin 2 1cos 2

2x4 x4 x C Hướng dẫn giải

Ta có: sin cos sin sin2 sin cos 

sin 2 cos 2





Chọn B

Ví dụ 6 Nguyên hàm của hàm số 2 1 2

sin xcos xdx

A tan xcotx C B tanxcotx C C tanxcotx C D cotxtanx C Hướng dẫn giải

Ta có:

tan cot

Chọn B

Ví dụ 7 Nguyên hàm của hàm số 4 1 2

4 cos x4 cos x1dx

TOANMATH.com Trang 13

A cot 2

2

x C

 B tan 2x C C cot 2x C D tan 2

2

x C

 Hướng dẫn giải

x

Chọn D

Chú ý: Công thức nhân đôi: cos2x2 cos2x 1

Ví dụ 8 Nguyên hàm của hàm số cos3xdx là:

A

4

cos

4

x C

 B 3sin 1sin 3

3

x x C C sin 1sin3

3

x x C D 4 sin 4sin 3

3

x x C Hướng dẫn giải

Chọn C

Chú ý: Công thức nhân ba: 3

3

cos3 4 cos 3cos sin 3 3sin 4sin

Ví dụ 9 Nguyên hàm của hàm số tan3xdx là:

A

2

tan

ln cos 2

x

x C

2

tan

ln sin 2

x

x C

C

2

tan

ln cos 2

x

x C

4 2

tan

4 cos

x C

x Hướng dẫn giải

Từ tan3xtanx1 tan 2xtanx

x

Chọn A

2

1 tan ' 1 tan

cos

x

Ví dụ 10 Gọi F x là nguyên hàm của hàm số   f x sin 2 tanx x thỏa mãn 3

F   

  Giá trị của

4

F 

 

  là:

A 3 1



 

B 3 1



 

C 3 1



 

D 3 1



  Hướng dẫn giải

TOANMATH.com Trang 14

sin 2 tan 2sin cos 2 sin

cos

x

x

Suy ra   1 cos 2  sin 2

2

x

F x   x dx x  C

F        C  C 

x

F x  x   

F           

Chọn D

Ví dụ 11 Gọi F x  là nguyên hàm của hàm số f x cos 24 x thỏa mãn F 0 2019 Giá trị của

8

F 

 

  là:

A 3 16153

64

8

64

32

 Hướng dẫn giải

2

x

x





Do đó   1 3 4 cos 4 cos8  1 3 sin 4 1sin8



Mà F 0 2019 nên ta có C 2019

Vậy   1 3 sin 4 1sin 8 2019

F x   x x x

F     

  Chọn C

Ví dụ 12 Gọi F x là nguyên hàm của hàm số     cos5

1 sin

x

f x

x



 , với x 2 k2 ,k

   và thỏa mãn

  3

4

F   Giá trị của

2

F 

  là:

A 2

5

1 3 Hướng dẫn giải

TOANMATH.com Trang 15

5

cos

cos 1 sin 1 sin cos cos sin

1 sin

sin cos

x

x



Theo giả thiết, ta có   3

4

F   nên C  1

Vậy   sin sin3 cos4

F 

Chọn D

Chú ý:

1

n

n





  sin 1

1

n

n





Bài toán 3: Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm

Phương pháp giải

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình

 

S S t , với S t  là quãng đường mà chất

điểm đó đi được trong thời gian t, kể từ thời

điểm ban đầu

Gọi v t và   a t lần lượt là vận tốc tức thời và  

gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t, ta

có: v t S t'  và a t v t' 

Từ đó ta có: S t v t dt  và v t a t dt 

Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động với phương trình

2

1 2

S t , trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S

là quãng đường tính bằng mét (m) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t05 s là:

A 5 (m/s) B 25 (m/s)

C 2,5 (m/s.) D 10 (m/s)

Hướng dẫn giải

Ta có: v t S t' t nên v t 0  t0 5m s/ 

Chọn A

Ví dụ 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 10 2 t m s / , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng

A 50 (m) B 25 (m)

TOANMATH.com Trang 16

C 55 (m) D 10 (m)

Hướng dẫn giải Chọn mốc thời gian và gốc tọa độ lúc ô tô bắt đầu đạp phanh Ta có: t0;s 0

2 2

Ô tô dừng hẳn khi v t  0 10 2    t 0 t 5 Trong 8 giây cuối, ô tô chuyển động đều với vận tốc

10 (m/s) trong 3 giây đầu và chuyển động chậm dần đều trong 5 giây cuối

Quãng đường ô tô di chuyển là:

2

3.10 10.5 5 55

Chọn C

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Một vật chuyển động với gia tốc   3  2

/ 1

t



 , trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu Vận tốc ban đầu của vật là Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức:     3 3ln 1

1

t



Vì vận tốc ban đầu (lúc t  ) của vật là 0 v0 6 /m s nên:

v       C C v t  t 

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là: v 10 3ln 10 1 6 13,2   m s/ 

Chọn C

Ví dụ 2 Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc   1 3 5 2 2

/

a t   t  t m s , trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?

A 5,6 m/s B 6,51 m/s C 7,26 m/s D 6,8 m/s

Hướng dẫn giải

Vận tốc v t chính là nguyên hàm của gia tốc   a t nên ta có:  

v t  a t dt  t  t dt   t  t C