Giáo án đại số lớp 11 chuyên đề một số phương trình lượng giác thường gặp

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết được các dạng phương trình lượng giác thường gặp và cách giải..  Kĩ năng + Biết áp dụng c

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận biết được các dạng phương trình lượng giác thường gặp và cách giải

 Kĩ năng

+ Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản

+ Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào từng trường hợp

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương trình thuần nhất

Phương pháp giải

sin cos

a x b x c a b,  \ 0   

Để giải phương trình có dạng trên, ta thực hiện

theo các bước sau

Bước 1 Kiểm tra

Ví dụ: Giải phương trình 3 sin 3xcos 3x 2

Hướng dẫn giải

sin cos

a x b x c

sin sin cos cos

a x b x x c x d

tan2 cot2  tan cot  0

a x x b x x  c

sin cos  sin cos 0

a x x b x x c 

4 dạng phương trình lượng giác

thường gặp Đưa về phương trình tích hoặc

đánh giá bất đẳng thức, hàm số

4 phương trình lượng giác cơ bản

ĐỀ BÀI

4 phương trình lượng giác cơ bản

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác

- Nếu a2b2  khi đó phương trình có c2

nghiệm, ta thực hiện tiếp Bước 2

Bước 2 Chia hai vế phương trình cho

a b  ta được

 

Đặt

2a 2 cos ; 2b 2 sin ,

phương trình (**) trở thành

sin cosx cos sinx c



   

 Phương trình sinx  2c 2

  

 là phương trình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giải

được

Một số dạng mở rộng:

sin u sin v

   

cos u cos v

    sin cos sin cos

a u b u a  v b  v với

a b a b

sin u sin v

     

Dạng đặc biệt:

4

x x       x  k k

4

x x      x  k k

Ta có 3 sin 3xcos3x 2

3sin 3 1cos3 1 sin 3 1



k

         

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

9 3

k

x   k

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Giải phương trình sin 2x2 cos 2x 1 sinx4 cos x

Hướng dẫn giải

Ta có sin 2x2cos 2x 1 sinx4 cosx

2sin cosx x 2 2cos x 1 1 sinx 4cosx 0

sinx 2 cosx 1 4 cos x 4 cosx 3 0

sinx 2 cosx 1 2 cosx 1 2 cosx 3 0

2cosx 1 2sin x 2cosx 3 0

1

2sin 2cos 3



       









Xét phương trình 2sinx2cosx 3; có 2 2  2

2 2   8 3 nên vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm 2  

3

Ví dụ 2 Giải phương trình 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3 3 x

Hướng dẫn giải

Ta có 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3 3 x 3sin 3x4sin 33 x 3 cos9x 1

2

  







x  k  x k  k



Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Phương trình 3 sinxcosx có nghiệm là 1

A.

2

2 6

k



   



2 2

2 6

k



    









   





2

k



   





 D.

2

2 6

x k

k



   





Câu 2: Phương trình sinx 3 cosx có nghiệm âm lớn nhất bằng 0

Câu 3: Nghiệm của phương trình sinxcosx1 là

A x k 2  k  B 2  

2 2

x k

k

 



   





4

2 4

k



   









    





Câu 4: Số nghiệm của phương trình sinxcosx trên khoảng 1  0; là

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 5: Điều kiện để phương trình 3sinx m cosx vô nghiệm là 5

A 4

4

m

m

 



 

 B m C 4. m  D 44.    m 4.

Câu 6: Điều kiện để phương trình sinm x3cosx có nghiệm là 5

A m B 44    C m 4 m 34. D 4

4

m m

 



 



Câu 7: Phương trình 3 sin 3xcos3x  tương đương với phương trình nào sau đây? 1

A sin 3 1

x 

   

   

C sin 3 1

x 

   

1

6 2

x 

  

Câu 8: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

A 3 sinx 2 B 1cos 4 1

C 2sinx3cosx 1 D cot2xcotx 5 0

Câu 9: Cho phương trình 3 cosxsinx 2 trên đoạn  0; Chọn câu trả lời đúng

A Phương trình có nghiệm ; 3

x  x 

B Phương trình có nghiệm 5

12

x 

C Phương trình có nghiệm 3 ; 4

x  x 

D Phương trình có nghiệm 2

5

x 

Câu 10: Phương trình sin 8xcos 6x 3 sin 6 xcos8x có nghiệm là

6 2

k



   







 

  



7 2

k



   







 

  





C 4 ,

12 7

k



   







  



9 3

k



   







 

  





Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A 3 sin 2xcos 2x B 3sin2 x4 cosx 5

C sin cos

4

D 3 sinxcosx  3

Câu 12: Số nghiệm của phương trình sin 2x2 cosx thuộc đoạn 0 5 ;

2 2

 

 

  là

A 3 B 4 C 5 D 2

Câu 13: Phương trình cos 7x 3 sin 7x  2 có các họ nghiệm là

A

84 7 ,

11 2

84 7

k

  





  



84 7 ,

11 2

84 7

k

  

  





  





C

2

84 7 , 2

84 7

k

 

  







  



84 7 ,

11 2

84 7

k

  

  











Câu 14: Phương trình sinx 3 cosx có nghiệm dương nhỏ nhất bằng 0

A 2

3



6



Câu 15: Phương trình tan sin 2 cos 2 2 2cos 1 0

cos

x

  có nghiệm dương nhỏ nhất bằng

A .

4



B .

2



Câu 16: Nghiệm của phương trình sinxcosx   với k  là 1

A x k 2  B

2 2 2

   



    



4

x  k  D 4 2 .

2 4



   



    



Câu 17: Để phương trình 2sin2xsin cosx xcos2x m  có nghiệm thì giá trị của m là

A 1 10

2

m 

2

m 

C 1 10

2

   

Câu 18: Phương trình cos 2xsinx  có số họ nghiệm là 1 0

Câu 19: Phương trình tan sin 2 cos 2 2 2 cos 1 0

cos

x

  có các họ nghiệm là

4 2

x  k k

4

x     k k

4 k2 k

 

6 2

x   k k

Câu 20: Cho phương trình tanx3cotx4 sin x 3 cos x Với k thì nghiệm của phương trình là

A

2



    





  

  





    





  



C

2



   





  



D

2



   



  



Dạng 2:Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng

giác có dạng tổng quát at2   bt c 0

Trong đó:

t là một trong các hàm số sin , cos , tan , cotu u u u

và u u x  

; ; , 0

a b c a

Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều

kiện của ẩn phụ Nếu đặt

+) sin ,t u tcosu thì điều kiện t  1

+) tsin ,2u tcos2u thì điều kiện 0  t 1

+) t sin ,u t cosu thì điều kiện 0  t 1

Khi tìm được t t1; 2 thỏa mãn thì phải giải tiếp

sint;sinu t ;

Ví dụ: Giải phương trình 2sin2xsinx  3 0

Hướng dẫn giải

Đặt sin ,t x điều kiện t  1

Phương trình đã cho trở thành

2

1

2

t

t t

t







   

 

 Kết hợp với điều kiện t  ta được 1 t 1

Với t thì 1 sin 1 2 , 

2

x   x  k  k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

2 , 2

x  k  k

Ví dụ mẫu

Ví dụ Giải phương trình 3sin 22 x7 cos 2x 3 0

Hướng dẫn giải

Ta có 3sin 22 x7 cos 2x  3 0 3 1 cos 2  2 x7 cos 2x  3 0

3cos 2 7 cos 2 0 cos 2 3cos 2 7 0

3cos 2 7 0

x

x





 Trường hợp 1: cos 2 0 2 , 

x  x      k x  k k

Trường hợp 2: 3cos 2 7 0 cos 2 7 1

3

x   x  (loại)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm , 

4 2

x  k k

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Phương trình 2sin2xsinx 3 0 có nghiệm là

A k  k  B  

2 k k



   

C 2  

2 k k

  

2 k k



   

Câu 2: Với k   , phương trình cos2x2cosx  có nghiệm là 3 0

A x k 2  B x C 0 2

2

x  k  D Vô nghiệm

Câu 3: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin2x5sinx  là 3 0

A

6

x

2

x

2

x 

6

x 

Câu 4: Xét phương trình 3cos2x2 cosx  trên đoạn 4 0 0;3  Chọn câu trả lời đúng 

A Phương trình có 3 nghiệm B Phương trình có 4 nghiệm

C Phương trình có 2 nghiệm D Phương trình vô nghiệm

Câu 5: Nghiệm của phương trình 2sin2x3sinx 1 0 thỏa mãn điều kiện 0

2

x 

  là

A

3

x

2

x

6

x 

6

x 

Câu 6: Nghiệm của phương trình tan2x2 tanx 1 0 là

4 k2 k

   B

,

4 k k



    C 2 ,

2 k k

   D

,

k k 

Câu 7: Với ,k phương trình 2 3

cos 2 cos 2 0

4

x x  có nghiệm là

A x k  B x k 2  C

6

x    D  k 2

2 3

x  k 

Câu 8: Với ,k phương trình sin2x2sinx0 có nghiệm là

A x k 2  B x k  C x  k2  D x   k2

Câu 9: Nghiệm của phương trình cot 32 xcot 3x 2 0 là

1arccot 2 k

k

 

 







1arccot 2

k

k

 

 









C 4 ,

1arccot 2

k

k



  







1arccot 2 3

k

k



  







Câu 10: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 cos 2x2 cosx 2 0 là

A x 5

6



  B x 7

6



3



4



 

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

A 3 sinx 2 B 1cos 4 1

4 x 2

C 2sinx3cosx 5 D cot2xcotx 5 0

Câu 12: Xét phương trình 13sin2x78sinx15 0 trên đoạn 0; 2  Lựa chọn phương án đúng 

A Phương trình có 2 nghiệm B Phương trình có 4 nghiệm

C Phương trình vô nghiệm D Cả A, B, C đều sai

Câu 13: Phương trình 3cosx2 sinx  có nghiệm là 2

8

x     k k

2

x     k k

4

x     k k

6

x     k k

Câu 14: Xét phương trình 2 4 3

tan tan 1 0

3

x x  trên đoạn 0;3  Chọn câu trả lời đúng? 

A Phương trình có 5 nghiệm B Phương trình có 4 nghiệm

C Phương trình có 6 nghiệm D Phương trình có 3 nghiệm

Câu 15: Xét phương trình sin2x5sinx  trên đoạn 6 0 0; 2  Chọn câu trả lời đúng? 

A Phương trình có 2 nghiệm B Phương trình có 4 nghiệm

C Cả A, B, D đều sai D Phương trình có 3 nghiệm

Câu 16: Cho x thỏa mãn phương trình sau   2 

tanxcotx  tanxcotx  2 Giá trị của biểu thức tan 1

tan

x x

 là

A 0 B 2 C 3 D 2

Câu 17: Cho x thỏa mãn phương trình sin sin2 0,5

2

x

x  Giá trị của biểu thức y tan x là

A 1 B 0,5 C 3 D 0

Câu 18: Cho arctan 1

3

x   k

 

  là nghiệm của một trong phương trình sau, hỏi đó là phương trình nào?

A 3sin2xsin 2xcos2x0. B 3sin 22 x4cos 22 x2.

C 1 1 2

sin 2xcos 2xsin 4x D cosx2 cos2x 0

Câu 19: Cho phương trình

sin cos

cos 2 2cos sin

x

 Nếu giải phương trình bằng cách đặt tan x= thì t phương trình trên sẽ tương đương với phương trình nào dưới đây?

A 2t2   t 1 0 B t2   2 1 0.t

C 2 1

0

2

t    t D t2  t 1 0

Câu 20: Cho phương trình 2sinx2 cosx 1 3 Nếu giải phương trình bằng cách bình phương hai vế

thì ta được phương trình nào sau đây?

A sin 2 sin

4

6

C sin 2 sin

3

3

Dạng 3 Phương trình lượng giác đẳng cấp

Phương pháp giải

Phương trình lượng giác đẳng cấp có dạng tổng

quát

.sin sin cos cos

Ta có thể giải phương trình lượng giác đẳng cấp

theo hai cách sau

Cách 1:

Bước 1 Kiểm tra cosx có là nghiệm của 0

phương trình hay không, nếu có thì nhận nghiệm

này

Bước 2 Nếu cosx thì chia cả hai vế của 0

phương trình cho cos x2 đưa về phương trình bậc

hai theo tan x

 1 sin22 sin cos2 cos22 2

tan tan 1 tan

Bước 3 Đặt ttanx đưa về phương trình bậc

hai để giải

Ví dụ: Giải phương trình sau

 

2

2 3 cos x6sin cosx x 3 3 1

Hướng dẫn giải

2

x      x  k k

Thay vào phương trình (1) ta có 0 3  3

 phương trình vô nghiệm

Với cosx Chia cả hai vế của phương trình 0 (1) cho cos x ta được 2

2 3 6 tan x 3 3 1 tan x

3 3 tan 2x 6 tanx 3 3 0 2  

tan x t phương trình (2) trở thành

1

3 3

t

t







       





Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

2 1 cos 2 2 1 cos 2

sin 2 sin cos

2

x

Đưa phương trình đã cho về phương trình

b x c a x d c a   Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cosin

ta đã biết cách giải ở dạng 1

Tổng quát: Đối với phương trình đẳng cấp bậc

 2 : sin , cos ,sinn n k cosh 0

n n A x x x x  trong

đó k h n k h n  ; , , , ta cũng giải tương tự

theo hai cách

Cách 1: Nếu cosx thì chia cả hai vế cho 0

cosn x

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

tan 1

3 3 tan

k













Vậy phương trình đã cho có nghiệm

12

k



   









   





Ta có 2 3 cos2x6sin cosx x 3 3

3 1 cos 2x 3sin 2x 3 3

cos 2x 3 sin 2x 3

cos 2 sin 2

3 cos 2

12

x

k



   



   





   





Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là

12

k



   





 

   





Ví dụ mẫu

Ví dụ Cho phương trình 2sin2xsin cosx xcos2x m Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn giải