Chuẩn bị của học sinh :Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà; Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.. Tiến trình tiết dạy 1.Kiểm tra bài cũ : -Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số
Trang 1GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ ĐẠI SỐ LỚP 12
Tiết 41: TÍCH PHÂN.
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức :
-Biết khái niệm về diện tích hình thang cong; Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục
2 Về kỹ năng: Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định
nghĩa
3 Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
II Chuẩn bị:
1 Chuẩn bị của giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ.
2 Chuẩn bị của học sinh :Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà; Đọc qua nội dung bài mới ở
nhà
III Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp
- Phương tiện dạy học: SGK
IV Tiến trình tiết dạy
1.Kiểm tra bài cũ :
-Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp Tính :(x 1 )dx
-GV nhắc lại công thức :
0
0 0
'
0
lim
x x
x f x f x
f
x
2 Bài mới
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung ghi bảng
Trang 2Ký hiệu T là hình thang vuơng
giới hạn bởi đường thẳng y = 2x +
1, trục hồnh và hai đường thẳng
x = 1; x = t
(1 t 5) (H45, SGK, trang
102)
1 Hãy tính diện tích S của
hình T khi t = 5 (H46, SGK,
trang 102)
2 Hãy tính diện tích S(t) của
hình T khi t [1; 5]
3 Hãy chứng minh S(t) là
một nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1, t [1; 5] và diện
tích S = S(5) – S(1)
“Cho hàm số y = f(x) liên tục,
khơng đổi dấu trên đoạn [a ;
b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số y = f(x), trục hồnh và
hai đường thẳng x = a ; x = b
được gọi là hình thang cong
(H47a, SGK, trang 102)”
Câu hỏi: So sánh các đại
lượng S MNPQ ,
S MNQE , S MNEF
GV dẫn dắt đưa tới đẳng
thức:
0
0
0 0
( ) ( )
x x
S x S x f x
x x
Tương tự với x [a; x0), ta
cũng có:
Thảo luận nhĩm để:
+ Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H46, SGK, trang 102) + Tính diện tích S(t) của hình
T khi t [1; 5]
+ Chứng minh S(t) là một nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1, t [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1)
I- Khái niệm tích phân
1 Diện tích hình thang cong (SGK)
2 Định nghĩa tích phân :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
y
x
A
f(x) y
x O
A
B
Trang 30
0 0
( ) ( )
x x
S x S x f x
x x
Em rút ra kết luận gì về
0
0 0
( ) ( )
lim
x x
S x S x
x x
Dẫn dắt đưa ra S(x) = F(x) + C
( Với F(x) là ng/hàm của h/s
f(x))
Em hãy tính S = S(a)- S(b)=?
Gv giới thiệu với Hs nội dung
định nghĩa :
Gv giới thiệu với Hs nội
dung định nghĩa
Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta
qui ước :
f x dx f x dx f x dx
Gv giới thiệu cho Hs vd 2
(SGK, trang 105) để Hs hiểu rõ
định nghĩa vừa nêu
Thảo luận nhĩm để chứng minh
F(b) – F(a) = G(b) – G(a)
Ta có :
0
0
0 0
( ) ( )
x x
S x S x f x
x x
S(x) có đạo hàm tại x0 và S’(x0) = f(x0)
S = S(a)- S(b)= F(b)+ C– (F(a) +C) = F(b) – F(a)
+ Nếu hàm số f(x) liên tục và khơng âm trên đoạn [a; b] thì
( )
b
a
f x dx
là diện tích S của hình thang giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b (H 47 a, trang 102)
Vậy : S = ( )
b
a
f x dx
( )
b
a
f x dx
Ta cịn ký hiệu:
( )b a ( ) ( )
F x F b F a
Vậy:
( ) ( )
b
b a a
f x dx F x
F b F a
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
( )
b
a
f x dx
Ta cịn ký hiệu:
( )b a ( ) ( )
F x F b F a
( ) ( )
b
b a a
f x dx F x
F b F a
Nhận xét:SGK
4 Củng cố :
Nhắc lại định nghĩa tích phân và cho HS làm các VD sau:
Trang 4VD1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 2
VD2:Một ô tô c/đ có vận tốc thay đổi theo thời gian, v = 2t + 3t2 Tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 1 đến thời điểm t =
5
5 Hướng dẫn về nhà :
Yêu cầu HS xem trước phần tính chất của tích phân Làm bài tập trong SGK trang 52
Trang 5
- -Ngày / /
Tiết 42: Tích phân (tt)
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức : Biết các tính chất của tích phân
2 Về kỹ năng
-Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng cách sử dụng tính chất -Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân
3 Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
II Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhĩm và hỏi đáp
- Phương tiện dạy học: SGK
III Chuẩn bị:
1 Chuẩn bị của giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ.
2 Chuẩn bị của học sinh :Hồn thành các nhiệm vụ ở nhà; Đọc qua nội dung bài mới ở
nhà
IV Tiến trình tiết dạy :
1.Kiểm tra bài cũ : Trình bày các tính chất của nguyên hàm.
Tính các tích phân sau: I=
1
0
2
dx
x ; J= ln 1 ln ln 1 1
1
dx x x e e
e
2 Bài mới
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung ghi bảng
GV: Nhắc lại Chứng minh: tính II Các tính chất của tích phân
Trang 6
a
a
f(x)dx 0 và
f(x)dx f(x)dx
Gv cho học sinh họp
nhóm và chứng minh
các tính chất còn lại
Sau đó, mỗi nhóm
cử đại diện lên bảng
chứng minh từng tính
chất
GV: Ta cĩ
3
1
3
3
f x dx g x dx
f x dx g x dx
Ta cĩ
2, nÕu x 2
2
2 - x, nÕu x 2
x
=> J=
2
1
) 2
dx
x 2 )
(
3
2
= [-x 2x
2
2
]2
1 +[
x
x
2
2
2
]3
2 =1
chất 1;2 và 3 (sách giáo khoa)
HS: Ta cĩ
3
1
3 3
1 1 4 1
5 4
dx f x dx x
HS:I=
2 0
2 / 0
cos 2
sin
xdx
= - 12 cos2x | / 2
0
- sinx |
2 / 0
= 0 Hs: Ta cĩ
2 2x -1
x -1
x
e dx
dx
1 x -1
dx
+ Tính chất 1:
kf x dx k f x dx
+ Tính chất 2:
f x g x dx f x dx g x dx
+ Tính chất 3:
f x dx f x dx f x dx
a c b
Ví dụ: Cho
3 1
2
f x dx
3 1
3
g x dx
3 1
3 f x g x dx
3 1
5 4 f x dx
Ví dụ :Tính các tích phân sau:
2 /
0
) cos 2
(sin
dx x x
J= x dx
3 1
2 =
2 1
) 2
dx
x 2 ) (
3 2
Trang 7= [-x 2x
2
2
]2
1 +[x 2x
2
2
]3
2 = 1
4 Củng cố : Nhắc lại cho Hs các tính chất của tích phân sau đĩ cho Hs làm các ví dụ sau
Cho biết
2
1
) (x dx
5 1
) (x dx
f =6,
5 1
) (x dx
g =8.Tính a)
5 2
) (x dx
f b)
5
1
) ( )
(
4f x g x dxTa cĩ:
5 Hướng dẫn về nhà Chú ý xem lại các tính chất của tích phân.
Chuẩn bị bài tập sgk T 152-153 để học trong tiết sau
Trang 8
- -Ngày / /
Tiết 43: Tớch phõn (tt)
I Mục tiờu:
1 Về kiến thức : Biết phương phỏp đổi biến số để tớnh tớch phõn
2 Về kỹ năng: Sử dụng phương phỏp đổi biến số để tớnh tớch phõn
3 Về tư duy và thỏi độ :
-Thỏi độ: tớch cực xõy dựng bài, chủ động,sỏng tạo trong quỏ trỡnh tiếp cận tri thức mới
- Tư duy: hỡnh thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quỏ trỡnh suy nghĩ
II Phương phỏp :
- Thuyết trỡnh, kết hợp thảo luận nhúm và hỏi đỏp
- Phương tiện dạy học: SGK
III Chuẩn bị:
1 Chuẩn bị của giỏo viờn :Phiếu học tập, bảng phụ.
2 Chuẩn bị của học sinh :Hoàn thành cỏc nhiệm vụ ở nhà; Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
IV Tiến trỡnh tiết dạy :
1 Kiểm tra bài cũ:Trỡnh bày cỏc tớnh chất của tớch phõn.
2 Bài mới
Hoạt động của Giỏo viờn Hoạt động của Học sinh Nội dung ghi bảng
Qui tắc đổi biến số dạng 1.
1) Đặt x = u(t) sao cho u(t) là
hàm số có đạo hàm liên tục trên
[; ], f(u(t)) xác định trên [;
] và
u() = a; u() =b
Do đó:
1
2
2 0
1 cos 2t
dt 2
III-Phương phỏp tớnh tớch phõn
1 Phương phỏp đổi biến số:
“Cho hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a; b] Giả sử hàm số
x = (t) cú đạo hàm liờn tục trờn đoạn [; ] sao cho () = a; () =
Trang 92) Biến đổi f(x)dx =
f(u(t).u’(t)dt
= g(t)dt
3) Tìm một nguyên hàm G(t)
của g(t)
4) Kết luận b
a f(x)dxG(t)
Đặt x = sint t ;
2 2
Khi x=0 t=0; khi x =1 t=1/2
Ta đặt x = sint với t 0;
2
Ta có:
2
cos t cos t
vì t 0;
2
và dx = cost.dt
b) Đổi biến số dạng 2.
Lấy t = v(x) làm biến số mới,
khi đó ta biến đổi đợc f(x)
thành biểu thức dạng
g(v(t)).v’(t) Đặt t = v(x)
dt=v’(x)dx và ta có:
2 0
t sin 2t
Hs: Ta có
2 3
6
3 6
(1 tan )
I =
1 tan
6
t dt t
t
HS:
3
2
Ta Đặt u= 5x 3
15
du
x dx
Khi đó
6 8
3
1
u
KQ
HS: Đặt
4 3 4 3 4 3 3
2 3
1 cos 3
1 sin 3
du
b và a (t) b với mọi t thuộc [;
] Khi đú:”
'
( ) ( ( )) ( )
b
a
f x dx f t t dt
Chỳ ý:
Cho hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a; b] Để tớnh ( )
b
a
f x dx
ta chọn hàm
số u = u(x) làm biến mới, với u(x) liờn tục trờn [a; b] và u(x) thuộc [;
] Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x) Khi đú ta cú:
( )
b
a
f x dx
( ) ( )
( )
u b
u a
g u du
1 0
I 1 x dx .
Ví dụ 2 Tính 2 1 2
0
dx I
(HD: Đặt x 1 3tgt
Ví dụ 3 Tính
1 2 3 5
3 0
I x 5x 3 dx
Ví dụ 4 2 3
4 3
2
3
Ví dụ 5: Tính
Trang 10
v(b)
v(a )
f (x)dx g v(x) v'(x)dx
g(t)dt
Qui tắc đổi biến số dạng 2
1) Đặt t = v(x), v(x) là hàm số
có đạo hàm liên tục
2) Biểu thị f(x)dx theo t và dt
Giả sử f(x)dx = g(t)dt
3) Tính một nguyên hàm G(t)
của g(t)
4) Tính v( b) v( b)v(a )
v(a )g(t)dtG(t)
Hớng dẫn giải ví dụ 5:
a) Có
1
cos x
sin x
Đặt sinx = t dt = cosxdx
2 1 1
1
dt 2
2
1
Hớng dẫn giải Ví dụ 6:
a) Đặt t = 1+lnx dt 1dx
x
x = 1 t = 1;x=e t = 2
b) Đặt x 2 sin t, t ;
2 2
x = 0 t = 0; x=1 t
6
Đặt x = 2sint với
0 t dx 2 cos tdt
6
Có
4 x 4 4 sin t 4 cos t 2 cos t
(Vì 0 t c os t 0
6
2
2 cos tdt
2 cos t
6 0
t 6
b)Đặt
2
1
2 x
2
2 e e
1 4
6
dx a) I cot gxdx; b) I
4 x
Ví dụ 6:
x
Ví dụ7: Tính
1 0 2 2 0 2
Hớng dẫn giải.
2
3x 2
1 A
7
J 7(x 1) 7(x 6)
1 0
ln x 1 ln x 6
ln 2 ln 5 ln 6
b) Tơng tự ta phân tích đợc:
2
x 4 x 2 x 2 Do đó:
1 1
2 0 0
J
ln x 2 ln x 2 ln 3
Trang 11
2 2
1
3 Cñng cè: Nhắc lại cho hs các phương pháp tính tích phân
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: J = 6
0
(1 cos x3 )sin 3xdx
2
2 0
4 x dx
2 0
I x.cos xdx
4 Híng dÉn vÒ nhµ : Làm các bài tập SGK và SBT
- -Ngày / /
Tiết 44: Tích phân (tt)
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức : Biết phương pháp tích phân từng phần
2 Về kỹ năng:-Sử dụng phương pháp đổi biến số, tích phân từng phần để tính tích phân
3 Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
II Chuẩn bị:
1 Chuẩn bị của giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ.
2 Chuẩn bị của học sinh :Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà; Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
III Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp
- Phương tiện dạy học: SGK
IV Tiến trình tiết dạy :
1 Kiểm tra bài cũ : Nêu phương pháp đổi biến số
Trang 122 Bài mới:
Hoạt động của Giỏo viờn Hoạt động của Học sinh Nội dung ghi bảng
GV: Chứng minh.
Ta có: u(x).v(x) ' u '(x).v(x)
u(x).v '(x)
b
a
=> u(x).v(x) ' dx
u '(x)v(x)dx v '(x).u(x)dx
b
a
b b
a a
=> u(x).v '(x)dx
u(x).v(x) v(x).u '(x)dx
Vì du = u’.dx; dv = v’.dx nên ta
có:
b b b
a
a udvuv a vdu
GV: Hớng dẫn và làm mẫu cho
HS
Khi đó:
2 2
0 2
0
I = (2 1)sin 2 2 sin
x
GV: Đặt u=lnx, dv=x-1/2dx
ta cú: du= dx/x; v= 2.x1/2
3
dx du
v
Khi đó
2 3
1
3 3 3
1
I = ln
3.Đặt
x x
du xdx
u x
v e
dv e dx
Khi đó
I3=
1 1 2 0 0
x e xe dx e J
với
1 0
x
J xe dx
Đặt
dv e dx v e
Khi đó
1 1
0 1
0
2
x
5 Đặt
2 Phương phỏp tớnh tớch phõn từng phần:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm
số cú đạo hàm liờn tục trờn đoạn [a; b] thỡ
' '
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
b
b a a
b a
u x v x dx u x v x
u x v x dx
Hay
b a
u dv uv v du
Ví dụ1: Tính các tích phân sau:
1 I1= 2
0
(2x 1) cosxdx
2 I2= 2
1
ln
e
x xdx
3 I3=
1 2 0
x
x e dx
4.
2
1
ln
e dx x x
1
1 0 3
ln x
x
e
6 1
6 I ln xdx.
Ví dụ 2 Tính
Trang 131
ln
e
dx
x
x
=
2 2
1
2 / 1 1
2
/
1 ln | 2
2
e
x
x
=4e-4x1/2| 2
1
e =4
6 Đặt
1
x
dv dx
v x
e e
5 1 1
e e
1 1
I (x ln x) dx
(x ln x) x e (e 1) 1
GV: hớng dẫn HS lên bảng làm
và chữa bài
b) Đặt
2 du 2 ln xdx
u ln x
x
1 e
1
I x ln x 2 ln xdx
e 2 ln xdx
Ta đã tính đợc
e
2
ln xdx 1 I e 2
3
2
dx
x dx
1 dv
v x
2x
2
1 1 3 2
2
2 1 3 1
ln x
x
2 2 1
c) Đặt
dx
u ln(x 1) du
x 1
dv 2xdx
v x
5 2
3
2 5 2 5
2
2
I (x 1) ln(x 1)
x (x 1)dx 48 ln 2 x
2 27
48 ln 2
2
e 2
2 x
5
3 2
c) I 2x ln(x 1)dx;
Giải:
a) Đặt
dv cos xdx v sin x
0
2 x 2
0
I e sin x e sin xdx
Đặt
1 1
dv sin xdx v cos x
2 x
1 0
e sin xdx e cos x
e cos xdx 1 I
Ta có:
2
2