Bài 3 hàm số liên tục đáp án p1

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương hTrang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tích hợp. Bài viết Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11 trình bày một số ý tưởng dạy học tích hợp nội dung cấp số nhân trong chương trình Toán 11.ttps www facebook comphong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa 1 Cho hàm số ( )y f.

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 1

Cho hàm số y f x( ) xác định trên khoảng K và x0K.  

-Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục tại x  nếu 0

0

0 lim ( ) ( )

x x f x f x

-Hàm số y f x( ) không liên tục tại x  ta nói hàm số gián đoạn tại 0 x  0

2 Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa 2

-Hàm số y f x( ) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. 

-Hàm  số  y f x( )  liên  tục  trên  đoạn a b;   nếu  nó  liên  tục  trên  a b;   và  lim ( ) ( )

x a





lim ( ) ( )

x b f x f b



3 Các định lý cơ bản

Định lý 1. 

a)Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập    

b)Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 

Định lý 2. 

Cho các hàm số y f x( ), yg x( ) liên tục tại x  Khi đó: 0

a)Các hàm sốy f x( )g x( ), y f x( )g x( ), y f x g x( ) ( ) liên tục tại x0. 

b)Hàm số  ( )

( )

f x y

g x

  liên tục tại x  nếu 0 g x( )0   0

Định lý 3 Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn a b;  và  f a( ) (b)f 0 thì tồn tại ít nhất một 

số ca b;  sao cho f(c)0. 

Chú ý: Ta có thể phát biểu định lý 3 theo cách khác như sau: 

Nếu hàm số y  f x( ) liên tục trên đoạn a b; 

 và  f a( ) (b)f 0 thì phương trình  f x ( ) 0 có ít  nhất một nghiệm thuộc a b; . 

PHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Phương pháp giải: Để xét tính liên tục của hàm số y f x  tại điểm x  ta thực hiện các bước 0

như sau: 

-Tìm tập xác định D của hàm số. 

-Kiểm tra xem x  có thuộc tập xác định 0 D? Nếu x0D thì thực hiện bước kế tiếp, nếu x0D  thì kết luận hàm số gián đoạn tại x  0

-Tính f x 0  và   

0

lim

x x f x

-So sánh và kết luận: 

Bài 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Chương 4 GIỚI HẠN

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/  

lim

x x f x f x

  thì hàm số liên tục tại x  0

0

0 lim

x x f x f x

   hoặc không tồn tại   

0

lim

x x

f x

  thì hàm số gián đoạn tại x  0

Chú ý:

1.Nếu hàm số liên tục tại x thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó. 0

x x f x a x x f x x x f x a

. 

 

0

0

, ( )

,

f x





 



liên tục tại x  khi 0    

0

0 lim

x x A x B x

 

0

0

, ( )

,

f x





 



liên tục tại x  khi 0      

0

Câu 1 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 0

a.   

2

25

5 5

x

khi x

khi x







 Tại x   0 5 

b.   

2 2

x khi x

khi x







 Tại x 0 2   

c.   

33 2 2

2 2

3

2 4

x

khi x x

f x

khi x







 



Tại x 0 2 

d.   

4 2

f x

 



 Tại x     0 1 

Lời giải

2

25

5

x

x



Vậy hàm số không liên tục tại x    0 5 

x



x

f



  Vậy hàm số liên tục tại x 0 2 .  

3

3

x



x

f



Vậy hàm số không liên tục tại x 0 2 .  

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Vậy hàm số không liên tục tại x    0 1 

Câu 2 Tìm a đề hàm số liên tục tại điểm x 0

2 4

2

x

khi x







 Tại x 0 2  

b.   

1 1

4

1 2

khi x x

f x

x

x







 





 Tại x   0 1 

c.   

2

3

2

2

3

2

khi x

f x

x

khi x





 





 Tại x 0 2  

d.    3

1

4

2 2

khi x

f x

x

khi x x





 

 



 Tại x 0 2  

Lời giải

a. 

f x

Để hàm số liên tục tại x   thì 0 2  

2

1

16

b. 

lim ( ) lim

1

f x

x

Như vậy không tồn tại giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x   0 1

. 

 

2

3

3

x

f x

x





Để hàm số liên tục tại x   thì 0 2    

d. 

2

3

2

4

x

f x

x

 



Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/  

Để hàm số liên tục tại x   thì 0 2    



 



f x

ax x . Với giá trị nào của  a  thì hàm số  f x  liên tục    tại  

2

x   ? 

Lời giải

Tập xác định  D    và  x  2 D. 

Ta có:  f 2  11 

Để hàm số liên tục tại x  2 thì       

Vậy hàm số liên tục tại x  2 khi a 5. 

Câu 4 Tìm các giá trị của  m  để hàm số   

1

1

x x

f x

x

x





 





 liên tục tại x 0? 

Lời giải

Tập xác định:  D    và  x 0 D. 

 0 1

 

1

1

x

x





 

f x

x

x

. 

Để hàm liên tục tại x 0 thì       

x f x x f x f

    m   1 1 m    2 Vậy m  2 thỏa mãn đề bài. 

Câu 5 Tìm  các  giá  trị  của  tham  số m  để  hàm  số

 

3

2

khi x







    liên  tục  tại 

1

x  ? 

Lời giải

Hàm số xác định tại x 1. 

Ta có  (1)f 2019m. Tính 

3

2 1

lim

( 1)

x

x



Đặt t x 1 thì x t 1, x 1 thì t 0

( 1)

2

(6 1) (2 1) 6 1 (2 1)

. 

3

(6 1) (2 1) 6 1 (2 1)

t

 

Vậy 

3

2 1

lim

( 1)

x

x





(6 1) (2 1) 6 1 (2 1)

t

t



 

. 

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Để hàm số liên tục tại x 1 khi 

3

2 1

(1) lim

( 1)

x

f

x





2019

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, nửa khoảng, đoạn

Phương pháp giải:  

1.Hàm số  ( )f x  liên tục trên khoảng  ( ; ) a b  f x( ) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng  ( ; )a b  

2.Hàm  số  f x   liên  tục  trên ( ) a b;  f x( )  liên  tục  trên  khoảng  ( ; )a b   và  lim ( ) ( )

x a f x f a



lim ( ) ( )

x b





Câu 1 Chứng minh rằng hàm số sau liên tục trên   

a.   

3

3

2

1 1

4

1 3

khi x x

f x

khi x

 

 

b.   

3

3

0 2

1 1

0

1 1

khi x

f x

x

khi x x







 

 



Lời giải

a, Hàm số 

3

3

2 ( )

1

f x

x

 



  xác định với mọi x   1  hàm  ( )f x  liên tục với mọi  x  1

Có 

3

  Hàm số liên tục tại x  1. 

Vậy hàm số liên tục trên    

b,  Hàm  số 

3

1 1 ( )

1 1

x

f x

x

 



    xác  định  với  mọi  x 1;x0    hàm  f x   liên  tục  với  mọi ( ) 1; 0

Có 

lim ( ) lim

x f x x

2 3 3

1 1

x

f x

 

2 3 3

0

3 lim

2

1 1

x





 

 

3 lim ( ) lim ( ) 0

2

x f x x f x f

  Hàm số liên tục tại x 0. 

Vậy hàm số liên tục trên    

Câu 2 Xét tính liên tục của hàm số    

3

f x

 



 trên tập xác định của nó. 

 Lời giải

+ TXĐ:  D    

Ta có: 

+ Trên khoảng (;1): f x 2x4 là hàm đa thức nên  f x 

 liên tục trên (;1). 

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/  

+ Trên khoảng (1;):    2

1

f x x  x  là hàm đa thức nên  f x  liên tục trên (1;).  + Tại điểmx 0 1, ta có: f(1) 1 3  1 1 3; 

lim ( ) lim(2 4) 6

3

x f x x x x



Vì 

lim ( ) lim ( )

x f x x f x

    nên không tồn tại 

1

lim ( )

x f x

  Vậy hàm số không liên tục tại điểm x 0 1.  Tóm lại f x  liên tục trên khoảng (;1)và (1;) và gián đoạn tại điểm x 0 1. 

Câu 3 Xét tính liên tục của hàm số   

2

3

khi x

khi x





trên tập xác định của nó. 

 Lời giải  

+ TXĐ: D  . 

+ Nếu x 3 thì 

( )

3

f x

x



  Vì  ( )f x  là thương của 2 đa thức, đồng thời mẫu số  x  3 0  nên  ( )f x  liên tục trên các khoảng  (;3)và  (3;  (1) )

+ Nếu x 3 ta có  (3)f   và  4

2

f x

x x



Vì 

3

lim ( ) (3) 4

x f x f

 nên  ( )f x  liên tục tại điểm  x 0 3.(2) 

Từ (1) và (2) suy ra  ( )f x  liên tục trên     

Câu 4 Xét tính liên tục của hàm số    2

1

f x  x   trên đoạn  [ 1;1]  

Lời giải

Tập xác định: D  [ 1;1].  

x

Suy ra hàm số liên tục trên khoảng 1;1. 

Vậy hàm số liên tục trên đoạn[ 1;1]  

Câu 5 Tìm a để hàm số liên tục trên    với    3 2

1

x x













. 

Lời giải + Khi x 1 thì  f x 2x a  là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng ;1

+ Khi x 1 thì   

3 2

1

f x

x



  là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng 1;   nên  liên tục trên khoảng 1;  

+ Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 1, ta có: 

*  f 1  2 a. 

2

3 2

2

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Hàm số  f x  liên tục trên      hàm số f x  liên tục tại x 1  

x f x x f x f

      a  2 3  a 1. 

Câu 6 Cho hàm số   

 ,  0 9        ,  0 3

       ,  9

x

x x

x x

 









. Tìm  m  để  f x  liên tục trên 0;  . 

Lời giải

+ TXĐ: D 0;. 

+ Với x 9 thì  f x( ) 3

x

  là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên nửa khoảng 9;  nên liên tục  trên nửa khoảng 9; . 

+  Với 0x9  thì  f x( ) 3 9 x

x

   là  hàm  phân  thức  hữu  tỉ  xác  định  trên  khoảng 0;9  nên  liên tục trên khoảng 0;9. 

+ Tại điểm x  0:  

Ta có  f 0 m và   

x

f x

x



0

1 lim

x  x



1 6

Vậy  để  hàm  số  liên  tục  trên  0;   thì  khi  hàm  số  liên  tục  tại 

0

0

x

f x f





6

m

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp giải: Để chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của 

hàm số, ta thực hiện các bước sau 

-B1: Biến đổi phương trình về dạng  f x   0. 

-B2: Tìm hai số a và babsao cho  f a f b     0. 

-B3: Chứng minh hàm số  f x liên tục trên a b; . 

Từ đó suy ra phương trình  f x   0có ít nhất một nghiệm thuộc a b; . 

x  x  x  có ít nhất 3 nghiệm  phân biệt nằm trong khoảng 2;5 

Lời giải

Hàm số    5 4

f x x  x  x  liên tục với mọi x thuộc    

 0 2;  1 1;  2 8;  3 13

   0 1 0 1 0;1  1 0

   1 2 0 2 1; 2  2 0

   2 3 0 3 2;3  3 0

Như vậy tồn tại ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng 2;5 

Câu 2 Chứng minh rằng các phương trình luôn có nghiệm: 

a. x43x    1 0   b. x510x3100  0

Lời giải

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/  

a. Hàm số    4

f x x  x  liên tục với mọi x thuộc   

 0 1;  1 1

f  f    

   0 1 0 0 0;1  0 0

Như vậy phương trinh  f x   0 tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng 2;5 

 Phương trình luôn có nghiệm. 

b. Hàm số    5 3

f x x  x   liên tục với mọi x thuộc    

   0 10 0 0  10; 0  0 0

Vậy phương trinh  f x   0 tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng 10;0 Phương trình  luôn có nghiệm. 

Câu 3 Chứng minh rằng phương trình  4 2

4x 2x x30có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng 1;1. 

Lời giải

f x  x  x  x   + Hàm số    4 2

f x  x  x  x  liên tục trên    nên liên tục trên 1;0,  0;1   + Ta có  f  1 4,  f 0  3,  f  1 2 

Vì  f   1 f 0 0nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 1;0. 

Vì  f   0 f 1 0nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 0;1. 

Mà 1;0và 0;1

 là hai khoảng phân biệt. 

Vậy phương trình  4 2

4x 2x x30 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 1;1. 

Câu 4 Chứng minh rằng phương trình x55x34x 1 0 có đúng 5 nghiệm. 

Lời giải

Đặt    5 3

f x x  x  x  

f x x  x  x x x  x    liên tục trên     +  Ta  có  f  2   1 0,  3 105 73

f    

f     

 1 1 0

Vì   2 3 0

2

f  f 

   nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 

3 2;

2

 

Vì  3  1 0

2

f   f  

   nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 

3

; 1 2

Vì   1 1 0

2

f  f  

   nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 

1 1;

2



Vì  1  1 0

2

f   f 

   nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 

1

;1 2

Vì  f    1 f 3 0

 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 1;3 

Do các khoảng  2; 3

2

 

;  3

; 1 2

1 1;

2



1

;1 2

 không giao nhau nên phương trình 

có ít nhất 5 nghiệm. 

Mà phương trình đã cho là phương trình bậc 5 có không quá 5 nghiệm. 

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm. 

Câu 5 Chứng minh rằng phương trình  2 5

1m x 3x   luôn có nghiệm. 1 0

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Lời giải

Đặt     2 5

f x  m x  x   + Hàm số     2 5

f x  m x  x  liên tục trên   nên hàm số liên tục trên 1;0.  +Ta có:  f 0    1

f  m   m

 nên  f   0 f 1 0  Vậy  phương  trình  2 5

1m x 3x 1 0

 có  ít  nhất  1  nghiệm  trong  khoảng 1;0  nên  phương  trình luôn có nghiệm. 

Câu 6 Chứng minh rằng phương trình: m2m1x42x 2 0 luôn có nghiệm. 

Lời giải

Đặt     2  4

f x  m m x  x   + Hàm số     2  4

f x  m m x  x  liên tục trên    nên hàm số liên tục trên  0;1   + Ta có  

 

 

2 2

f

 

Nên  f   0 f 1 0 

Vậy  phương  trình m2m1x42x 2 0

 có  ít  nhất  một  nghiệm  trong  khoảng 0;1  nên 

phương trình luôn có nghiệm

Câu 7 Chứng minh rằng phương trình m21x32m x2 24x m 2 1 0

 luôn có 3 nghiệm. 

Lời giải

f x  m  x  m x  x m   

f x  m  x  m x  x m   liên tục trên     + Ta có:    2 3 2  3

f x m x  x  x  x  

f    m   m

  2

f m   m

 1 2

f    

  2

f m   m 

Vì  f   3 f 0 0

 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 3;0. 

Vì  f   0 f 1 0

 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 0;1. 

Vì  f   1 f 2 0

 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 1;2.  Vậy  phương  trình  m21x32m x2 24x m 2 1 0  có  ít  nhất  3  nghiệm  trong  khoảng 

3;2, mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm. 

Câu 8 Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 12a15b20c0. Chứng minh phương trình  2

0

ax bxc  luôn 

có nghiệm thuộc  0;4

5

Lời giải

Xét hàm số    2

f x ax bx c   + Hàm số    2

f x ax bx c  liên tục trên    

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/  

+ Ta có  4 16 4

12 15

 

 

 0

f c

 nên 5  0 5

4 f 4c. 

Do đó 75 4 5  0 12 15 20 0

 

 

 

. 

Suy ra  4

5

f 

  ,  f 0  trái dấu hoặc cả hai đều bằng 0. 

Vậy phương trình  2

0

ax bxc  luôn có nghiệm thuộc  0;4

5

. 

Câu 9 Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 5a4b6c0. Chứng minh phương trình ax2bx c 0 luôn có 

nghiệm. 

Lời giải

Xét hàm số    2

f x ax bx c   + Hàm số    2

f x ax bx c  liên tục trên     + Ta có  f 0  , c f 2 4a2b c ,  1

 

Do đó   0 4 1  2 5 4 6 0

2

 

Suy ra tồn tại hai giá trị  p ,  q  sao cho  f p f q     0. 

Vậy phương trình  2

0

ax bxc  luôn có nghiệm. 

Câu 10 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m. 

b.  4 2

Lời giải

a. Hàm số     2   

f x m x  x x  liên tục với mọi x,m thuộc    

 3 6;  3 24

f   f    

   3 3 0 0  3;3  0 0

Như vậy phương trinh  f x   0 tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng 3;3 

 Phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 

b. Hàm số    4 2

f x x mx  mx  liên tục với mọi x,m thuộc    

 0 2;  2 14

   0 2 0 0 0; 2  0 0

Như vậy phương trinh  f x   0 tồn tại ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng 0; 2 

 Phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 

Câu 11 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. 

a 2

0

ax bx c  với a2b5c0. 

b. a x b  x c b x c  x a c x a  x b 0 ( với a,b,c là các số dương) 

Lời giải

a. Hàm số    2

f x ax bx c  liên tục với mọi x thuộc    

 0 ; 1

 

2

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Nếu  f 0 0 hoặc  1 0

2

f 

 

 thì PT đã cho có nghiệm. 

Nếu  f  0 0 hoặc  1 0

2

f  

   thì từ   0 4 1 0  0 1 0

  PT đã cho có nghiệm thuộc khoảng  0;1

2

. 

  PT luôn có nghiệm. 

b. Không giảm tổng quát ta xét 0a b c. 

Hàm số  f x a x b  x c b x c  x a c x a  x b  

Khi đó ta có: 

0 0

  PT đã cho có nghiệm thuộc khoảng a b; . 

  PT luôn có nghiệm. 

Theo dõi Fanpage:  Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

Tải nhiều tài liệu hơn tại: http://www.nbv.edu.vn/