Bài 22 phương trình đường tròn đáp án p1

BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Điểm  ;M x y thuộc đường tròn  C , tâm [.]

Ta gọi (1) là phương trình đường tròn  C

Nhận xét Phương trình (1) tương đương với 2 2  2 2 2

x y  ax by a b R Phương trình x2y22ax2by c 0 là phương trình của một đường tròn  C khi và chỉ khi

Đường tròn  C có tâm (2; 1)J  và có bán kinh R 2R8, nên có phương trình

Các đoạn thẳng AB AC tương ứng có trung điểm là , (1; 2), 5 3;

2 2

  Đường thẳng trung trực 1

 của đoạn thẳng AB đi qua M(1; 2) và có véc tơ pháp tuyến AB ( 2; 4)

Do đó, phương trình của 1 là 1(x1) 2( y2)0 hay x2y  3 0

Đường thẳng trung trực 2 của đoạn thẳng AC đi qua 5 3;

2 2

N 

và có véc tơ pháp tuyến ( 9;3)

Tâm I của đường tròn ( ) C cách đều ba điểm , , A B C nên I là giao điểm của 1 và 2 Vậy toạ

độ của I là nghiệm của hệ phương trình 2 3 0

(x3) y 25

2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Cho điểm M x y 0; 0 thuộc đường tròn ( ) : (C x a )2(y b )2 R2 (tâm ( ; )I a b , bán kinh )R

Khi đó, tiếp tuyến  của ( )C tại M x y 0; 0 có véc tơ pháp tuyến MIax b0; y0

và phương trìnhax0xx0  by0yy00

Ví dụ 4 Cho đường tròn ( )C có phương trình (x1)2(y3)2 5 Điểm M(0;1) có thuộc đường tròn ( )C hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của ( ) C

Lời giải

Do (0 1) 2(1 3) 25, nên điểm M thuộc ( ) C

Đường tròn ( )C có tâm là ( 1;3) I  Tiếp tuyến của ( )C tại M(0;1) có véc tơ pháp tuyến ( 1; 2)

MI  



, nên có phương trình 1(x 0) 2(y 1) 0 x 2y 2 0

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Xác định tâm và bán kính của đường tròn cho trước

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 1 Tìm tâm và bán kính của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn có phương trình x2y22;

b) Đường tròn có phương trình 2 2

(x9) (y4) 5; c) Đường tròn có phương trình x2y24x6y360

Suy ra đường tròn có tâm là ( 2;3)I  và bán kính là R7

Câu 2 Tìm k sao cho phương trình: x2y26x2ky2k120 là phương trình đường tròn

Giải bất phương trình trên ta có: k 1 hoặc k3

Câu 3 Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

Câu 4 Tìm tâm và bán kính của đường tròn trong mối trường hợp sau:

a) Phương trình đã cho có dạng x2y22ax2by c 0 với a2;b 3;c 23

Ta có a2b2   c 4 9 2336 Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm (2; 3)0 I  và có bán kinh R  366

b) Phương trình đã cho có dạng x2y22ax2by c 0 với a1;b2;c 9

Ta có a2b2      c 1 4 9 4 0 Vậy đây không phải phương trình đường tròn

Câu 7 Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó

Câu 8 Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn?

Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó

Phương trình (4) không thể đưa về dạng x2y22ax2by c 0

Vậy (4) không phải là phương trình đường tròn

Câu 10 Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn: (x3)2(y3)2 36

 Phương trình trên là phương trình đường tròn, có tâm ( 3; 4)I  và bán kính R 24

Câu 12 Tìm tâm và bán kính của đường tròn ( )C trong các trường hợp sau:

a) (x2)2(y8)2 49

b) (x3)2(y4)223

b) Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn (trong phương trình của đường tròn không có thành phần tích x y )

c) Phương trình đã cho có các hệ số a4,b3,c26, suy ra 2 2 2 2

do đó nó không là phương trình của đường tròn

d) Phương trình đã cho có các hệ số a 3,b2,c13, suy ra

( 3) 2 13 0

a b c , do đó nó không là phương trình của đường tròn

e) Phương trình đã cho có các hệ số a2,b 1,c1 thoả mãn

I 

 , bán kính

102

R 

d) Phương trình  4 không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau

Câu 15 Cho phương trình x2y22mx4m2y 6 m0 1 

a) Tìm điều kiện của m để  1 là phương trình đường tròn

b) Nếu  1 là phương trình đường tròn, hãy tìm tâm và bán kính theo m

Câu 16 Cho phương trình đường cong C m:x2y2m2xm4ym 1 0 2 

a) Chứng minh rằng  2 là phương trình một đường tròn

b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn C m luôn đi qua hai điểm cố định

42

m x I

m y

Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng :x  y 1 0

c) Gọi M x y o; o là điểm cố định mà họ C m luôn đi qua

Dạng 2 Lập phương trình đường tròn

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 17 Viết phương trình đường tròn ( )C trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm (3; 2)I , bán kính R7;

b) (C) tâm ( 1; 1)J   , bán kính R5

Lời giải

a) Đường tròn ( )C tâm (3; 2) I , bán kính R7 có phương trình (x3)2(y2)249

b) Đường tròn ( )C tâm ( 1; 1) J   , bán kính R5 có phương trình (x1)2(y1)225

Câu 18 Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn tâm (7; 11)I  bán kính R4;

b) Đường tròn tâm ( 1;3)I  và đi qua điểm M( 5; 6) ;

c) Đường tròn đường kính AB với (3; 4)A  và ( 1; 6)B  

Câu 19 Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn tâm ( 2; 2)I   và có một tiếp tuyến là : 4x3y 4 0;

b) Đường tròn đi qua 3 điểm (1; 2), (5; 2), (1; 3)A B C 

b) ( )C có tâm (3; 7) I  và đi qua điểm (4;1)A ;

c) ( )C có tâm (1; 2) I và tiếp xúc với đường thẳng 3x4y190;

d) ( )C có đường kính AB với ( 2;3)A  và (0;1)B ;

e) ( )C có tâm I thuộc đường thẳng 1 1

:1

b Đường tròn có tâm (5; 2)I  và đi qua điểm M(4; 1)

c Đường tròn có tâm (1; 1)I  và có một tiếp tuyến là : 5x12y 1 0

d Đường tròn đường kính AB với (3; 4)A  và ( 1; 6)B 

e Đường tròn đi qua ba điểm (1;1); (3;1); (0; 4)A B C

 Đường tròn có bán kính Rd l( ; )

| 5 1 12 ( 1) 1| 16( ; )

e Đường tròn đi qua ba điểm (1;1); (3;1); (0; 4)A B C

Giả sử tâm đường tròn là ( ; )l a b Ta có IAIBICIA2 IB2IC 2

23

a

a b

a) Đường tròn ( )C tâm (0; 0) O , bán kính R có phương trình: x2y2 R2

b) Đường tròn tâm (1; 3)I  , bán kính R  có phương trình: 5 (x1)2(y3)2 25

c) Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB AC, Ta có 5 9; , 9 11;

Đường trung trực 2 của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận AC (3; 1)

làm vectơ pháp tuyến, nên có phương trình: 3x   y 8 0

c (C) có tâm (2;1)I và tiếp xúc với đường thẳng 5x12y11 0 ;

d (C) có tâm (1; 2)A  và đi qua điểm (4; 5)B 

Lời giải

a Phương trình đường tròn ( )C tâm (1;5)I và bán kính r 4 là:(x1)2(y5)2 16

b Tâm I của đường tròn ( )C là trung điểm của 3 9; 1 3 (6

Phương trình đường tròn ( )C tâm (1; 2) A  và bán kính R3 2 là: (x1)2(y2)2 18

Câu 24 Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

Câu 25 Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với hai trục Ox , Oy và đi qua điểm (4; 2) A

Lời giải

Gọi l(a; b) là tâm đường trịn ( )C

Ta cĩ: Rd I Ox( ; )d l Oy( ; )Ra b ( )C cĩ tâm ( ; ) I a a và bán kính Ra  Phương trình đường trịn ( )C là: (x a )2(y a )2a2

Câu 26 Lập phương trình đường trịn ( )C trong các trường hợp sau:

a) ( )C cĩ tâm (0; 0) O và cĩ bán kính R9;

b) ( )C cĩ đường kính AB với (1;1) A và (3;5)B ;

c) ( )C cĩ tâm M(2;3) và tiếp xúc với đường thẳng 3x4y 9 0;

d) ( )C cĩ tâm (3; 2)I và đi qua điểm (7; 4)B

Lời giải

a) ( )C cĩ tâm (0; 0) O và cĩ bán kính r9 nên cĩ phương trình: x2y281

b) ( )C cĩ tâm (2;3) I là trung điểm của AB và cĩ bán kính RIA 5 nên cĩ phương trình:

Gọi đường trịn là ( )C cĩ tâm ( ; )I a b và bán kính R

(C) tiếp xúc với Ox Oy và đi qua điểm (2;1), A suy ra a0,b0 và Rab

Vậy phương trình đường trịn là: (x1)2(y1)21 hoặc (x5)2(y5)225

Câu 29 Viết phương trình của đường trịn ( )C trong mỗi trường hợp sau:

Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm ( ; ) I x y

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I cách đều 3 đỉnh , , A B C

x y

Vậy phương trình đường tròn là: (x1)2(y2)2 25

Câu 31 Cho hai điểm I2; 1 ,  A( 1; 4) và đường thẳng : 3x4y200

a) Viết phương trình đường tròn  C1 có tâm I và đi qua A

b) Viết phương trình đường tròn  C2 có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng 

Vậy phương trình của ( )C là (x2)2(y1)2 34

b) Vì đường tròn ( )C có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  nên bán kính R của ( )C được tính bởi công thức

Câu 32 Viết phương trình của đường tròn ( )C trong các trường hợp sau

a) Có tâm (3;1)I và có bán kính R2

b) Có tâm I( 3;1) và đi qua điểm M( 1; 7)

c) Có tâm (2; 4)I  và tiếp xúc với đường thẳng : 3x2y 1 0

Mặt khác ( )C có tâm là I (3;1) , suy ra ( )C có phương trình là (x3)2(y1)2 52

c) Vì  là tiếp tuyến của đường tròn ( C nên bán kính của ( )) C bằng

d) Vì AB là đường kính của ( )C nên ( )C có tâm I là trung điểm của AB và bán kính

Câu 34 Cho điểm (4; 2)A và hai đường thẳng d: 3x4y200,d: 2xy0

a) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A và vuông góc với d

b) Viết phương trình đường tròn ( )C có tâm thuộc đường thẳng d ' và tiếp xúc với d tại điểm A

b) Gọi I là tâm của đường tròn (C) Vì d tiếp xúc với ( ) C tại điểm A nên ta có IAd , do đó I

thuộc  Mặt khác, I thuộc đường thẳng d ' Suy ra toạ độ của I thoả mãn hệ phương trình

Câu 35 Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm I1; 5  và đi qua O0; 0

b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra I4;3,AI  4 1 23 1 2  13

Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I4;3 làm tâm và bán kính

Vậy phương trình đường tròn cần tìm x2y24x2y200

Cách 2 Gọi I a b là tâm của  ;   C

Vì A B C, , thuộc  C nên

Vậy phương trình đường tròn cần tìm   C : x22y12 25

Câu 37 Cho hai điểm A8; 0 , B0; 6

a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là x22y22 4

Câu 38 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x  y 5 0 và hai điểm

1; 2 , 4;1

A B Viết phương trình đường tròn  C có tâm thuộc d và đi qua hai điểm A B,

Lời giải

Cách 1 Gọi I là tâm của  C Do Id nên It; 2 t 5 

Hai điểm A, B cùng thuộc  C nên

Vậy phương trình đường tròn cần tìm

   2  2

Câu 39 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x3y 8 0,d2: 3x4y100

và điểm A  2;1 Viết phương trình đường tròn  C có tâm thuộc d1, đi qua

điểm A và tiếp xúc với d2

( 3 8 2) ( 1)25

Vậy phương trình (C) là (x 1) 2(y 3) 225

Câu 40 Trong mặt phẳng oxy cho 2 điểm A (-1; 1), B(3; 3) và đường thẳng d : 3x4y 8 0 Viết

phương trình đường tròn (C) qua A, B và tiếp xúc d

312

t t

trục tọa độ và có tâm thuộc d

Câu 42 Trong mặt phẳng oxy cho d:2x  y 4 0: viết phương trình đường tròn (C ) có tâm thuộc d

đồng tời tiếp xúc với 1: 3x4y 5 0và 2: 4x3y 5 0

2

510

a a

Với a  suy ra I( -9; 6) Phương trình 6 ( ) : (x 9)2 (y 6)2 8.

Câu 44 Trong mặt phẳng oxy cho (C): x2y24 3x 4 0 tia oy cắt (C ) tại A Viết phương trình (C’)

có bán kính R’=2 và tiếp xúc ngoài với (C ) tại A

y x

Hơn nữa, R2 'R nên 2 'A 2 3 0 2(0 2 3 ) 1

t  , suy ra I'( 3;3) Phương trình đường tròn (C’ ): (x 3)2(y3)24

Câu 45 Trong mặt phẳng oxy cho (C): x2y22x4y 2 0 Viết phương trình đường tròn (C’ ) có tâm M(5;1) biết (C’) cắt (C ) tại 2 điểm A, B sao cho AB  3

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I (1;-2), bán kínhR  3

Phương trình đường thẳng nối 2 tâm IM: 3x4y11 0

Gọi H x y là trung điểm AB.( ; )

Ta có

32

x y

x y

(C) : (x3) (y4) 8; (C2) : (x5)2(y4)2 32 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d

và tiếp xúc ngoài với hai đường tròn trên

Lời giải

Gọi I I I, ,1 2, ,R R R1, 2 lần lượt là tâm và bán kính của 3 đường tròn (C ), (C1)và (C2)

Giả sử ( ;I t t1)d Theo giả thiết Câu toán: (C ) tiếp xúc ngoài (C1)và (C2) nên

Dạng 3 Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 47 Lập phương trình đường thẳng  là tiếp tuyến của đường tròn ( ) : (C x1)2(y2)225 trong mỗi trường hợp sau:

a)  tiếp xúc ( )C tại điểm có hoành độ bằng 2;

b)  song song với đường thẳng 12x5y630;

c)  đi qua điểm (6; 1)A 

Lời giải

Đường tròn ( )C có tâm (1; 2) I  bán kính R5

a) Giả sử tiếp điểm là M02;y0 Vì M0 thuộc đường tròn ( )C nên ta có:

Suy ra phương trình của đường thẳng  có dạng 12x5ym0 với m63

Vì  tiếp xúc với ( )C nên

Vậy phương trình tiếp tuyến  là: 12x5y670

Suy ra đường thẳng x 6 0 là một tiếp tuyến của đường tròn

Khả năng 2: Đường thẳng  không vuông góc với trục Ox Khi đó, ta có thể xét dạng phương

trình của  là: yax b với , a b là tham số Vì  đi qua điểm A(6; 1) nên  1 6a b hay 

  

Như vậy, phương trình  là: yax6a1 hay ax y 6a 1 0

 x y   x y  Vậy phương trình tiếp tuyến  có hai khả năng là: x 6 0 và 12x5y670

Câu 48 Lập phương trình đường thẳng  là tiếp tuyến của đường tròn (C): (x2)2(y3)24 trong mỗi trường hợp sau:

a)  tiếp xúc ( )C tại điểm có tung độ bằng 3 ;

b)  vuông góc với đường thẳng 5x12y 1 0;

c)  đi qua điểm D(0; 4)

Với m0 thì phương trình tiếp tuyến  là: x0

Với m 4 thì phương trình tiếp tuyến  là: x 4 0

b)  vuông góc với đường thẳng 5x12y 1 0 nên (12;5)

n là vectơ pháp tuyến của  Khi

Với c 17 thì phương trình tiếp tuyến  là: 12x5y170

c) Phương trình tiếp tuyến  có hai khả năng là: x0 và 3x4y160

Câu 49 Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc đường tròn:

(x2) (y7) 169

Lời giải

Giả sử tiếp điểm là M o(3; )t thuộc đường tròn (x2)2(y7)2169

Đường tròn có tâm ( 2; 7)I   Phương trình tiếp tuyến tại điểm M o( 1; 4)  thuộc đường tròn

| 5 | 10

5 10

515

m m

m

m m m m

(0 1)( x1) (0 2)(  y2)0  x 2y 5 0x2y 5 0.

Câu 52 Cho đường tròn (C) có phương trình x2y22x4y200

a Chứng tỏ rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn ( )C

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6)

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x3y20220

Câu 54 Cho đường tròn ( )C có phương trình x2y26x2y150

a) Chứng tỏ rằng điểm (0; 5)A thuộc đường tròn ( )C ;

b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C tại điểm (0; 5) A ;

c) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C song song với đường thẳng 8 x6y990

Lời giải

a) Ta có: 0252  6 0 2.5 15  0

Suy ra toạ độ điểm (0; 5)A thoả mãn phương trình đường tròn ( )C

Vậy điểm (0;5)A thuộc đường tròn ( )C

Vậy d có phương trình 4 x3y100 hoặc 4x3y400

Câu 55 Cho đường tròn ( ) :C x2y22x4y 4 0 Viết phương trình tiếp tuyến d của ( )C tại điểm

(0; 2)

Lời giải

- Do 02222.0 4.2 4   , nên M thuộc đường tròn ( )0 C

- Đường tròn ( )C có tâm ( 1; 2) I  Tiếp tuyến của ( )C tại M có vecto pháp tuyến là (1; 0)

nên phương trình là:

1(x0) 0.( y2) 0 hay  x0

Câu 56 Cho bốn điểm (2; 6), ( 6; 2), ( 1; 3)A B  C   và M(3;5)

a) Viết phương trình đường tròn ( )C đi qua ba điểm , , A B C

b) Chứng minh rằng điểm M thuộc đường tròn ( )C

c) Viết phương trình tiếp tuyến  của ( )C tại điểm M

Cộng theo từng vế của phương trình (1) với phương trình (2), phương trình

(1) với phương trình (3), ta được hệ phương trình 16 8 0 1

Vậy phương trình của đường tròn ( )C là: x2y22x4y200

Đường tròn ( )C có tâm ( 3; 2) I  Đường thẳng  đi qua điểm M(0; 2) và có vectơ pháp tuyến

a) Chứng minh rằng  là một tiếp tuyến của đường tròn ( )C

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của ( ) C , biết rằng d song song với đường thẳng 

Ta có ( , )d I  R , do đó  là một tiếp tuyến của ( )C

b) Vì đường thẳng d song song với đường thẳng  nên phương trình đường thẳng d có dạng

Câu 59 Cho đường thẳng : sin cos 1 0

 x  y   , trong đó  là một số thực thuộc khoảng (0;180)

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng 

b) Chứng minh rằng khi  thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng

Vì ( , ) 1d O   R nên ( ) C luôn tiếp xúc với  Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là

Câu 60 Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C) (x1)2(y2)28

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(3; -4)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) qua điểm B(5; -2)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết tiếp tuyến vuông góc với d:

2014 0

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) biết tiếp tuyến tạo với trục tung một góc 450

Lời giải

a) Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R 2 2

Do A thuộc (C) nên tiếp tuyến  qua A và nhận IA (2; 2)



làm vector pháp tuyến

Với a chọn b a 1 b Phương trình tiếp tuyến  là 1 xy  3 0

Với a  chọn b a 1 b  Phương trình tiếp tuyến  là 1 xy 7 0

c) Tiếp tuyến  vuông góc d nên  có dạng xy c 0

72

c c

+ TH2: chọn b  1 c3;a1 ta được :xy 1 0

Vậy có 4 tiếp tuyến cần tìm là :xy  ; 5 0 :xy  ; 3 0 :x   ; y 7 0 :xy  1 0

Câu 61 Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C1) :x2y22y 3 0 và

Có I1I2  5 R1R2 nên 2 đường tròn ở ngoài nhau, như vậy có 4 tiếp tuyến chung

TH1: Nếu tiếp tuyến song song oy thì  có dạng x c  0

Ta có d I( ; )1  d I( ; )2   c  4c c 2

Vậy tiếp tuyến :x  2 0

TH2: Nếu  không song song với oy thì phương trình của : yax b

Ta có

2 1

472

a b

a b

a b

Vậy có 4 tiếp tuyến :x 2 0: 3x4y14 ; 0 : 3x4y  ; và 6 0 : 7x24y74 0

Câu 62 Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C1) : (x2)2(y3)22 và