BÀI 3 dãy số TĂNG, GIẢM dãy số bị CHẶN đáp án

https www nbv edu vn Trang 1 Lý thuyết DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1 Dãy Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo dục phổ thông môn Toánphổ thông môn Toán số tăng, dãy số giảm Dãy số  nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1n nu u  với mọi n  Dãy số  nu đư.

Trang 1

https://www.nbv.edu.vn/

Trang 1

Lý thuyết

DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng nếu ta có u n1u n với mọi *

Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u 1

+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u 1

DẠNG 1: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

Dãy số ( )u n có u n an b tăng khi a 0và giảm khi a 0

Dãy số ( )u n có n

n

u q

Không tăng, không giảm khi q 0

Bài 3 DÃY SỐ TĂNG, GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

• Chương 3 CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

Nếu dãy số (u n)tăng hoặc giảm thì dãy số q u n n (với q 0) không tăng, không giảm

Dãy số (u n)có u n1au n tăng nếu b

00

Trang 3

 Với mỗi nN*, ta có:

2 2

n n

n

n          ( đúng n 1 ) Kết luận:  u n là một dãy số giảm

5) Dãy số  u n với 32

n

n u n

Trang 4

n n

Trang 5

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 5

Từ đó suy ra dãy số  u n là dãy số giảm

n n

n

u

u u

n n

n

u

u u

Câu 3 Cho dãy số  u n xác định bởi: 1

b) Chứng minh dãy số tăng

Lời giải

Trang 6

    Kết luận dãy số  u n là một dãy số tăng

Câu 4 Cho dãy số  a n định bởi:

4

a a 

Trang 7

         u n đơn điệu tăng

Câu 6 Cho dãy số (u n) định bởi:

Trang 8

C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu 1 Cho dãy số ( )u n biết u n 3n Mệnh đề nào sau đây đúng? 6

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C đều sai

Lời giải Chọn A

Vậy (u n)là dãy số tăng

Giải nhanh: Dãy này có dạng u n an b ; a30nên dãy số tăng

Câu 2 Cho dãy số ( )u n biết 5

2

n

n u n





 Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Có số hạng 1 5 1

2

n

n u n

Vậy ( )u n là dãy số giảm

Giải nhanh: Dãy này có dạng u n an b

cn d





Mẫu n20   và n * adbc2 5   3 0 nên (u n)là dãy số giảm

Câu 3 Cho dãy số (u n)biết 52

n

n u n

 Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số là dãy hữu hạn

n n

Vậy (u n)là dãy số tăng

Câu 4 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào tăng? n

Trang 9



21

3 2

n

n u n





2( 2)n 1

n

Lời giải Chọn C

4

u n

Có thể dùng Table trong casio để nhập hàm rồi loại trừ với Start 1; End 20; Step 1

Chú ý: Nếu bài này mà giải theo tự luận thì rất dài ta phải xét u n1u n của 4 dãy số

Câu 5 Cho dãy số (u n)biết u n 5n2 Mệnh đề nào sau đây đúng?

* Trắc nghiệm: Tính vài số hạng đầu của dãy số rồi suy ra kết quả



A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C đều đúng

Lời giải Chọn B

u  Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D 1 10

3 1

u 



Trang 10

u  n  n Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D  2  

n

u   n  Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số là dãy hữu hạn

Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu

Câu 10 Cho dãy số (u n)biết u n n2400n Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Mọi số hạng đều âm

Câu 11 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào tăng? n



1

n

n u n

n

n u n







Lời giải Chọn D

Trang 11

Câu 12 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào giảm? n

Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu

Dãy trong đáp án A và B tăng, dãy trong đáp án C là dãy giảm

Câu 14 Cho dãy số (u n)biết u  n 5n4n Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số có số hạng thứ 100 bé hơn 1

Ta có

* 1

Trang 12

 Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng

A  a 0 B Không tồn tại a C   a * D a  0

Câu 18 Cho dãy số (u n)biết u n  3n 2 3n1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 19 Cho dãy số (u n)biết u n  n n21 Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Các số hạng đều dương

2

11

Câu 20 Cho dãy số (u n)biết

n

 



C Dãy số không tăng, không giảm D Có số hạng âm

Trang 13

Vậy dãy số đã cho là dãy tăng

Câu 21 Trong các dãy số có công thức tổng quát sau, dãy số nào là dãy số tăng?

n

n u n

D u1 3;u2   tăng Tính thêm 9 u  3 27giảm (loại)

Câu 22 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số giảm? n

Ta có 3

;1

n

n u n





22

n

n u n

 ,

21

n u

u   Vậy  u n là dãy số không tăng không giảm

Câu 24 Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?

Trang 14

n u n







Lời giải

Vì 2 ;n n là các dãy dương và tăng nên 1 ; 1

2n n là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và B

Trang 15

Vì 2 ;n n là các dãy dương và tăng nên 1 1

8

n n





 thì 1  

30

n

n u n

  có thể dương hoặc âm phụ thuộc n nên đáp án A

sai Hoặc dễ thấy sin n có dấu thay đổi trên * nên dãy sin n không tăng, không giảm

n

n u

n



 , ta có

2 1

2

15

nên dự đoán dãy này giảm

D u   n  1 n2n1 là dãy thay dấu nên không tăng không giảm

Trang 16

Chẳng hạn kiểm tra đáp án B, ta vào chức năng TABLE nhập  

21

Nếu thấy cột F X các giá trị tăng thì loại B và chọn C, nếu ngược lại nếu thấy cột   F X các  

giá trị giảm dần thị chọn B và loại C

Câu 30 Mệnh đề nào sau đây đúng?

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B đều đúng

Trang 17

(Dãy số này cho bởi công thức truy hồi nên ta làm theo cách 3)

Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm

Theo nguyên lí quy nạp ta có u n    1 n 1

Suy ra u nu n10u nu n1   hay dãy ( )n 2 u n giảm

Giải nhanh: Dãy (u n)có dạng u n1au n b

Ở đây 3

04

u u      Suy ra dãy số giảm

Tổng quát ta có thể chứng minh dãy số

1

1( ) :

n

21

n

n u n





3

n

n u n

 D u n 4n33n21

* Với n k 2 ; k2 ,k sinn 0 sinn 0

2 1

n

n v n

* Theo phương pháp loại trừ ta chọn D

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trang 18

Ta có u1u2u3 Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp

u u  u u   u  u Vậy dãy đã cho là dãy tăng

Câu 35 Cho dãy số (u n)biết 1

2 1

  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Ta có 0u1u2u3 Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp

n n

n

u

u u

Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Có u 10 2

Ta có u1u2 u3 Dự đoán dãy số đã cho giảm, ta chứng minh bằng quy nạp

   Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Có hữu hạn số hạng

Trang 19

Câu 38 Cho dãy số (u n)biết

Để dãy số (u n) tăng suy ra a 1

Câu 39 Cho(u n)biết n an b

* 1

214

n n

u u

  Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Là dãy số không đổi

Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh u n1u n bằng quy nạp toán học 0

Chú ý: Từ giả thiết suy ra u n 0   n *

Vậy dãy số (u n) giảm

Câu 41 Với giá trị nào của a thì dãy số  u , với n 2

1

n

na u n

Trang 20

a 

Trên đoạn  5; 5 , ta có 5 giá trị nguyên của a là 1; 2; 3; 4; 5

Câu 43 Cho dãy số  u với n 1

Trang 21

Do đó dãy  u tăng khi n a3b0 3b a 0

Câu 45 dãy số (u xác định bởi n) u  n 2010 2010   2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau đây

Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Cách 1: Dãy số (u n)có u n f n( ) là hàm số đơn giản

a v a

n

a a a

n n

Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Nếu dãy số (u n)được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số ( u n)giảm thì bị chặn trên, dãy số ( u n)tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số (u n)có n  1

n

u q q  bị chặn Dãy số (u n)có n  1

Trang 22

Vậy dãy số bị chặn dưới bởi 3 ; chặn trên bởi 3

c) u n 2n3 có 1 2n3 1 3,   Vậy dãy số bị chặn dưới bởi 3 n 1

d)

2

21

e) u n n 1

n

  có u n n 1 2 n.1 2

    ,  n 0 Vậy dãy số bị chặn bởi 2

Câu 2 Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: 2 1; *

Trang 23

Câu 3 Cho dãy số  u n với 1  1 2 n

n

u   na) Viết 5 số hạng đầu của dãy số

b) Tìm công thức truy hồi

c) Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới

Ta có: u n 1 n1 2 n1  n 1 Kết luận  u n là dãy số bị chặn dưới

Câu 4 Cho dãy số  u n xác định bởi

1) Chứng minh rằng dãy số  u n giảm và bị chặn

2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n

Trang 24

u u

Trang 25

Câu 7 Cho dãy số  u n với u nn24n3

a) Viết công thức truy hồi của dãy số

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới

c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho

2 2

2 3

2

1 4.1 3

2 4.2 3

3 4.2 3

Trang 26

 dãy số  u n tăng u nu1 1  u n bị chặn dưới

Câu 11 Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

n n



Lời giải

Trang 27

a) Rõ ràng u n0,   nên n *  u n bị chặn dưới

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ

Câu 1 Cho dãy số (u n)biết 1

n

u n





 Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn trên

C Dãy số bị chặn dưới D Không bị chặn

Trang 28

Suy ra dãy số ( )u n bị chặn

Giải nhanh: dãy số (u n)có u có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên bị chặn n

Câu 2 Cho dãy số ( )u n biết 4 5

1

n

n u n





Giải nhanh: dãy số (u n) có u có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn n

Câu 3 Cho dãy số (u n)biết

3

21

n

n u n



Trang 29

Cách khác: n32n3  1 1 33n3.1.13n

Giải nhanh: Ta dễ thấy dãy số  d n có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu Suy ra dãy  d n bị chặn

Cách khác: Dãy đã cho là dãy số giảm nên bị chặn trên bởi u  1 1

Câu 5 Cho dãy số (u n)biết u nasinn b cosn Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A Dãy số không bị chặn B Dãy số bị chặn

C Dãy số bị chặn dưới D Dãy số bị chặn trên

Xét u n  asinn b cosn  a b  a  bu n  a b

Vậy ( )u n bị chặn

Câu 6 Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n  ( 1)n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn trên D Bị chặn dưới

Câu 7 Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n 3n1

A Bị chặn B Bị chặn trên C Bị chặn dưới D Không bị chặn dưới

Ta có u n2, n * Dãy bị chặn dưới

Khi n tiến tới dương vô cực thì u cũng tiến tới dương vô cực nên dãy số không bị chặn trên n

Vậy dãy đã cho bị chặn dưới

Câu 8 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát  u n sau, dãy số nào bị chặn?

Ta có: 0 u n 1 1

n

   với mọi n  * nên dãy  u n bị chặn

Nhận xét: Các dãy số n2; 2 ;n n  là các dãy tăng đến vô hạn khi 1 n tăng lên vô hạn nên chúng

không bị chặn trên (có thể dùng chức năng TABLE của MTCT để kiểm tra)

Câu 9 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u n sau, dãy số nào bị chặn?

Ta có: 0 1

2

12

u

   với mọi n  * nên dãy  u n bị chặn

Câu 10 Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 2 1

Lời giải

Trang 30

Câu 12 Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

2

11

Câu 13 Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n  4 3n n 2

  bị chặn trên; dãy ( )u n không bị chặn dưới

Câu 14 Trong các dãy số ( un) sau, dãy số nào bị chặn?

Câu 15 Trong các dãy số ( un) sau, dãy số nào bị chặn?

A u nnsin 3n B

21

n

n u n



11

Trang 31

n u





Vậy dãy ( )u n là dãy tăng và bị chặn

Câu 18 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u n), biết: ( ) :u n u n n32n1

A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn dưới D Giảm, chặn trên

Ta có: u n1u n (n1)32(n1)n32n3n23n 3 0, n

Mặt khác: u n 1, n và khi n càng lớn thì u càng lớn n

Vậy dãy ( )u n là dãy tăng và bị chặn dưới

Câu 19 Cho dãy số 3 1

Ta có 3 1 1 2 1

n

n u

Câu 20 Khẳng định nào sau đây là sai?

A Mỗi dãy số tăng là một dãy số bị chặn dưới B Mỗi dãy số giảm là một dãy số bị chặn trên

C Mỗi hàm số là một dãy số D Mọi dãy số hữu hạn đều bị chặn

Lời giải

Chọn C

Mọi dãy số là một hàm số, điều ngược lại không đúng (khác nhau tập xác định)

Câu 21 Trong các dãy số (u sau, dãy số nào bị chặn? n)

Trang 32

A u nn21 B 2

13

      nên dãy số đã cho bị chặn

Câu 22 Xét tính bị chặn của dãy số sau

2

11

n

n n u



; 34



; 55



; 56



; 34



; 45



; 56



Năm số hạng đầu của dãy là: 1

2



; 23



; 34



; 45



; 56



Câu 24 Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn?

A 2 1

1

n

n u

Câu 25 Chọn kết luận sai:

A Dãy số 2n 1 tăng và bị chặn trên B Dãy số 1

Trang 33

  giảm và bị chặn dưới bởi 0

Đáp án A sai vì dãy số 2n 1 tăng nhưng không bị chặn trên

u u       loại A và B (dùng TABLE của MTCT để kiểm tra, chỉ cần có một số hạng nào đó của dãy số nhỏ hơn  thì dãy số đó không thể bị chặn dưới với số  )

Câu 28 Cho dãy số  u n , biết u n 3 cosnsin n Dãy số  u n bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi

các số m và M nào dưới đây?

MTCT TABLE n

u u     loại C và D

412

MTCT TABLE n

u    Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Dãy số  u n bị chặn trên và không bị chặn dưới

B Dãy số  u n bị chặn dưới và không bị chặn trên

C Dãy số  u n bị chặn

Tiêu đề	Bài 3 dãy số tăng, giảm và dãy số bị chặn đáp án
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	906,26 KB