Bài 1 véc tơ trong không gian p1 đáp án

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Vectơ trong không gian 1 Phép cộng vectơ  Quy tắc ba điểm[.]

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I Vectơ trong không gian

1 Phép cộng vectơ:

 Quy tắc ba điểm:   ABBCAC,A B C, ,

 Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì   ABADAC

 Qui tắc hình hộp: Nếu ABCD A B C D     là hình hộp thì    AC'ABADAA

2 Phép nhân một số k với một vectơ a

:

Ta có k a

là một vectơ được xác định như sau:

- cùng hướng với a

nếu k 0

- ngược hướng với a

nếu k 0

- có độ dài k a  k a.

3 Một số tính chất

a) I là trung điểm của AB IA IB   0

2

   

(M là một điểm bất kì trong không gian)

b) Nếu I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD thì ta có

IJ  ADBC  ACBD

    

c)G là trọng tâm của tam giác ABC GA GB GC     0

3

     

(M là một điểm bất kì trong không gian)

d) G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB GC GD       0

4

       

(M là một điểm bất kì trong không gian)

e) Nếu ABk AC k 1

thì với mọi điểm M trong không gian ta có 1

k

  

4 Điều kiện cùng phương của hai vectơ:

a



cùng phương với b b   0

    

Hệ quả: A B C, , thẳng hàng   k :ABk AC.

   l : l MA1l MB. MC

Chú ý: a b ,

cùng hướng b b a

a



 ; a b ,

ngược hướng b b a

a

  





5 Tích vô hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: a b   a b  .cos a b ,

b) Tính chất:

 a b   a b 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a

và b cùng phương

 2  2

a  a

 aba b  0

Bài 1 VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

• Chương 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

 a b c    a b a c     ; a b c    a b a c    

a b a b     a b

2

a b  a  ab b 

II SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ

1 Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt

phẳng

2 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Định lí 1: Cho ba vectơ a b c  , ,

trong đó a b ,

là hai vectơ không cùng phương Khi đó:

Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a b c  , ,

đồng phẳng là có các số thực m n, sao cho cm a n b. 

Hơn nữa các số m n, là duy nhất

Hệ quả: Cho ba vectơ a b c  , ,

không đồng phẳng Nếu m n p, , là ba số thực mà manbpc 0 thì mn p0

3 Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

Định lí 2: Nếu a b c  , ,

là ba vectơ không đồng phẳng thì với vectơ v

bất kì, ta đều tìm được các số , ,

m n p sao cho vma nb pc

Hơn nữa các số m n p, , là duy nhất

PHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Quy tắc véc tơ

- Quy tắc vectơ đối:

Với mọi hai điểm A B, cho trước ta luôn có: AB BA  ABBA0

- Quy tắc cộng vectơ:

Cho trước hai điểm A B, Với mọi các điểm M M1, 2, ,M ta luôn có hệ thức sau: n

1 1 2 2 3 n

AB AM M M M M  M B

    

- Quy tắc trừ vectơ:

Cho trước hai điểm A B, Với mọi điểm M ta luôn có   ABMB MA

- Quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD , khi đó AB AD AC



  

 

- Quy tắc trung điểm:

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Cho hai điểm A B, Nếu M là trung điểm của ABthì ta có hệ thức 0

0

MA MB





  

  

- Quy tắc trung tuyến:

Cho tam giác ABC , gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AC Khi đó

2 2

  

  

- Quy tắc trọng tâm:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G như hình vẽ Khi đó, ta có:

0 2

2 3

GA GB GC









   

  

Nhận xét:

- Với mọi điểm I thì ta luôn có   IAIBIC3IG

- Điểm G được gọi là trọng tâm tứ diện ABCD khi GA GB GC      GD0

Câu 1 Cho tứ diện ABCD Xác định các điểm M N, thỏa mãn:

a) AM   ABACAD

b) AN   ABACAD

Lời giải

   

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

- Gọi I là trung điểm BC , khi đó  ABAC2AI

-Gọi J là điểm đối xứng của A qua I , khi đó ta có: 2 AI  AJ

 

suy ra ABAC AJ

  

Từ đó     ABACAD AJAD2AE

Vậy M là điểm đối xứng của A qua E

b) AN ABACAD

   

- Theo a), ta có  ABAC2 AI AJ

-Gọi J là điểm đối xứng của A qua I , khi đó ta có AN       ABACADAJADDJ

Vậy trong tam giác ADJ ta tạo ra hình bình hành ADJN thì điểm N thỏa mẫn yêu cầu này

chính là điểm cần tìm

Câu 2 Cho tứ diện ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB vàCD, G là trung điểm của MN

và G là trọng tâm của tam giác 1 BCD Chứng minh các hệ thức sau:

a ACBD ADBC

   

b MN12 ACBD 12 ADBC

c GA GB GC      GD0

d NA NB    NCND4NG,N

e ABACAD3AG1

   

Lời giải

a ACBD ADBC

   

Sử dụng quy tắc cộng vectơ ta có:







  

       

b MN12 ACBD 12 ADBC

Chứng minh 2MN ACBD

  







   

       

   

Vì  AM BM0;  NCND0.

Chứng minh 2MN ADBC

  

Chứng minh tương tự hoặc sử dụng kết quả câu a

c GA GB GC      GD0

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Theo quy tắc trung điểm trong GAB;GCD ta có:

2

2







  

      

  

d NA NB    NCND4NG,N













  

  

         

  

  

Vì GA GB GC  GD0

    

e   ABACAD3AG1

Sử dụng quy tắc trung điểm cho ACD ta được ACAD2AN

  

Gọi I là điểm đối xứng của A qua N , khi đó 2 AN AI ACAD AI

    

2 ,

ABACAD ABAI  AE

     

với E là trung điểm của BI Xét trong tam giác ABI có BN và AE là các đường trung tuyến, giả sử BNAEG thì G là

trọng tâm tam giác ABI .

2

3

BG BNBG GG

AG  AE    ABACAD AG

   

Câu 3 Cho các điểmA B C D E F, , , , , .Chứng minh rằng

a) AB   DCACDB

b) AB CD      EF AFEDCB

Lời giải a) Ta có:VT    ACCBDBBC ACDB  BC CB

 

(ĐPCM)

b) Biến đổi VT      AF FB CB BDEDDF

AF ED CB FB BD DF AF ED CB VP

              

Câu 4 Cho hình hộp ABCD A B C D     Chứng minh rằng

a) ABADAAAC

   

b) A B    BCD D A C

c) Gọi O là tâm hình hộp Chứng minh rằng OA OB OC  ODOAOBOCOD0

        

Lời giải

a)

Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có: AB  AD AC

Lại có AA C C   là hình chữ nhật nên: ACAA AC

  

AB AD AA AC

   

b) Ta có: VT    A B BBBCD D  A B BC   BBD D A C VP

c)

Gọi I và I  lần lượt là tâm của hình chữ nhật ABCD và A B C D   

        

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

OA   OBOCOD OA OC  OB OD  OI

Mặt khác: OI  OI 0

nên OA OB OC          OD OA OBOCOD0

Câu 5 Cho hình hộp ABCD A B C D    

a Chứng minh rằng có một điểm O sao cho OA OB OC          OD OA OBOCOD0

b Chứng minh rằng với mọi điểm M trong không gian ta đều có

1 8

MO MA MB MCMDMAMBMCMD

        

Suy ra điểm O nói trên là duy nhất

Lời giải

a Tồn tại điểm O sao cho OA OB OC          OD OA OBOCOD0

(1)

Đặt vOA OC    OB OD    OC OA    OD OB  

Ta có thể chọn O là tâm của hình hộp, tức là trung điểm của các đường chéo AC BD CA, ,  và DB Ta có

OA OC             OB OD  OCOA OD OB 

Do đó v 0

 

b Chứng minh MO18MA MB        MCMDMAMBMCMD

(2)

1

8

1

8

8









       

       

        

 

Chứng minh O là điểm duy nhất thỏa mãn (1) Vì (2) đúng với mọi điểm M nên khi (1) đúng với điểm O

thì (2) cho ta:

1

8

OO O A O B O C O D O A                O B O C O D 

Câu 6 Cho tứ diện ABCD :

a Chứng minh:      AB DC BC DA CA DB  0

b Suy ra rằng nếu 2 cặp cạnh đối trong tứ diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối thứ 3 cũng vuông góc với nhau

Lời giải

a Chứng minh: AB DC BC DA CA DB  0

     

AB DC BC DA CA DB AB DC BC DA CA AB AD

AB DC AB CA BC DA CA DA

            

       

       

DA BA 

 

b Giả sử ta có ABDC BC, DA ta suy ra CADB Ta có, theo giả thiết:

ABDC AB DC BCDABC DA 

Theo câu a ta suy ra CA DB  0

 

 CADB

Dạng 2 Phép phân tích, chứng minh các bài toán liên quan đến vectơ

+ Ba vectơ đồng phẳng:

Cho ba vectơ đồng phẳng a b c, ,  

Khi đó, tồn tại duy nhất một phép phân tích cmanb + Ba vectơ không đồng phẳng:

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Cho ba vectơ đồng phẳng a b c, ,  

Khi đó, với mỗi vectơ d

thì tồn tại duy nhất một phép phân tích

dmanbpc

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Hãy phân tích các vectơ

, , ,

SA SB SC SD

   

theo   AB AC SO, ,

Lời giải

Phân tích SA:

Ta có SA   SO OA SO12CA SO12AC

Phân tích SB:

Ta có SB      SO OB SO OA ABSO12 ACAB

Phân tích SC:

Ta có SC   SO OC SO12AC

Phân tích SD



:

2

SBSD SOSD SOSB SOSO ACAB

         

1 2

    

Câu 2 Cho tứ diện ABCD ,gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB CD, Chứng minh ba vectơ

, ,

MN BC AD

  

đồng phẳng

Lời giải

M

N B

C

D A

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Để chứng minh ba vectơ MN BC AD  , ,

đồng phẳng ta đi kiểm tra xem có đẳng thức vectơ nào liên quan đến 3 vectơ trên hay không.Bằng trực quan hình học,ta thấy MN ở giữa BC và AD nên ta sẽ

xuất phát từ vectơ MN theo hai hướng BC và AD

Ta có: MN MA AD DN







   

   

2MN  MA MB  BCAD  DNCN

      

Từ đó ta có:MN12BC AD

,tức là MN BC AD  , ,

đồng phẳng

Câu 3 Cho hình chóp tam giác S ABC.Trên đoạn SA lấy M sao choMS 2MA

và trên đoạn BC lấy N

2

NB  NC

 

.Chứng minh rằng ba vectơ   AB MN SC, ,

đồng phẳng

Lời giải

Tương tự như ví dụ trên,chúng ta phân tích MN

theo hai hướng

(2)







   

   

Nhân cả hai vế của  1 với 2 rồi cộng với  2 ta được:

3MN 2MA MS   2 ABSC  2BN CN

Từ giả thiết:

2 1 2

 











 

MA MS





 



  

  

3MN 2AB SC

    2 1

  

Vậy   AB MN SC, ,

đồng phẳng

Câu 4 Cho hình chóp S ABC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a Phân tích vectơ SG



theo các vectơ SA SB SC  , ,

b Gọi D là trọng tâm của của hình chóp S ABC Phân tích vectơ SD



theo ba vectơ SA SB SC  , ,

Lời giải

a) Ta có:

A

B

C

S

M

N

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

3

GA GB GC       GS SA  GS SB  GS SC   SG SA SB   SC

b) Ta có: DS    DA DB DC 0 DS DSSA  DS SB  DS SC0

4

          

Câu 5 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C   có AA a AB, b AC, c

     

a Phân tích các vectơ B C BC , 

 

theo các vectơ a b c  , ,

b Gọi G là trọng tâm tam giác A B C   Phân tích vectơ AG



theo ba vectơ a b c  , ,

Lời giải

a) B C B B B C B B B A A C     a b c

        

BCBBB C BBB A A C a b c 

        

b) AG13AAABAC13a b c  

      

Câu 6 Cho tứ diện ABCD có trung tuyến qua đỉnh A của tam giác ABC và AN Lấy điểm M trên

AN sao cho 3

7

AM

MN  Phân tích vectơ DM

theo DA DB DC  , ,

Lời giải

Ta có: AM 37MN143 MB MC

            

Câu 7 Cho tứ diện ABCD, M N, lần lượt là trung điểm của AB và CD P Q, là các điểm định bởi

,

BPk BC

 

AQk AD

 

Chứng minh rằng ba vectơ MN MP MQ  , ,

đồng phẳng

Lời giải

1

2

MN  MCMD BPk BCMPMBk MCMB MP k MB k MC

           

1 

MQ k MA k MD

  

MP MQ  k MA MB k MCMD k MCMD

       

(do MA MB 0

  

)

Suy ra MN 2MP 2MQ

  

Câu 8 Cho bốn điểm phân biệt A B C D, , , Hai điểm M N, lần lượt chia đoạn AC và BD theo cùng tỉ

số  Chứng minh rằng ba vectơ   AB CD MN, ,

đồng phẳng Hãy biểu thị vectơ MN

theo AB

và

CD

Lời giải

Theo giả thiết ta có MAMC NB ; ND

VậyMN       MAABBN MN; MC CD DN

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/



       

     

     

Điều này chứng tỏ ba vectơ   AB CD MN, ,

đồng phẳng

Câu 9 Cho tứ diện ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB CD, ;P Q, lần lượt là các điểm chia

đoạn AC và BD theo tỉ số k 1 Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , đồng phẳng

Lời giải

Ta sẽ chứng minh tồn tại hai số thực h k, sao cho MNhMP k MQ 

Đặt      ABa AC, b AD, c

Ta có MN 12MC MD 12MA   ACMAADMA12b c   12  a b c  

(1)

Từ giả thiết P chia đoạn thẳng AC theo tỉ số k ta có:  

1

k

k



     

Tương tự Q chia đoạn BD theo tỉ số k nên BQ k1BD k1AD AB k1c a

Từ đó ta có

1

1

k

k k

k





    

     

Suy ra MP MQ k1 a b c

k



    

(2)

Từ (1) và (2) cho ta

k

k



  

Hệ thức này chứng tỏ MN MP MQ  , ,

đồng phẳng nên bốn điểm M N P Q, , , đồng phẳng

Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/