BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY nạp đáp án

https www nbv edu vn Trang 1 Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh nhữnTrang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tích hợp. Bài viết Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11 trình bày một số ý tưởng dạy học tích hợp nội dung cấp số nhân trong chương trình Toán 11.g mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau B.

Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n   nên theo kết quả ở 1bước 2, nó cũng đúng với n   1 1 2. Vì nó đúng với n 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng  với n   2 1 3,   Bằng  cách  ấy,  ta  có  thể  khẳng  định  rằng  mệnh  đề  đúng  với  mọi  số  tự nhiên n  *. 

2.  Chú  ý:  Nếu  phải  chứng  minh  mệnh  đề  là  đúng  với  mọi  số  tự  nhiên  n p  (p  là  một  số  tự nhiên) thì: 

 Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p; 

 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì nk p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1. 

DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…

https://www.nbv.edu.vn/  

Câu 4 Chứng minh rằng với    n 1, x 0 ta có bất đẳng thức: 

2 1 1

n

n n n

k

k k k

https://www.nbv.edu.vn/  

( 1)( 2)(2 3)

(2)6

sin sin 2 sin

sin2

sin2

x x

x

    nên đẳng thức chođúng với n 1 

 Giả sử đẳng thức chođúng với nk1, tức là: 

https://www.nbv.edu.vn/  

Trang 6

( 1)sin sin

sin sin 2 sin

sin2

sin2

VP x

* Với n   ta có: 1 VT  sin1. 1 sin VP nên đẳng thức cho đúng. 

* Giả sử đẳng thức cho đúng với nk  , tức là:1 sinkx k sinx (1) 

Ta phải chứng minh đẳng thức chođúng với nk ,tức là: 1

sin(k1)  k1 sin (2) Thật vậy: 

sin k1   sinkcoscosksin  

sink cos cosk sin sink sin

https://www.nbv.edu.vn/  

Trang 8

kiện: f x( y) f x f y( ) ( ),   x y,  (*).  Chứng  minh  rằng  với  mọi  số  thực  x   và  mọi  số  tự 

nhiên  n  ta có:  

2

2

n n

Ta chứng minh nó cũng đúng cho nk điểm 1

Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm A  và  n A n1 là A A n n1. Nếu những điểm A A1, 2, ,A  nằm trên một đường  n

thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là n  : Gồm 1 n  đường thẳng nối  A n1 với các điểm 

1, 2, , n

A A A  và đường thẳng chúng nối chung. Nếu  A A1, 2, ,A  không nằm trên một đường thẳng  n

thì theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối A n1 với các điểm A A1, 2, ,A  Vì đường thẳng  n A A n n1 không chứa một điểm nào trong A A1, 2, ,A n1, nên đường thẳng này khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo ra bởi A A1, 2, ,A  Như vậy số đường  n

https://www.nbv.edu.vn/  

Trang 10

 Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k n, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là   0

1 180

k  và

n k 1 180 0 Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là

a. Chứng minh rằng với  n 2, ta luôn cóa nn1n2  nn chia hết cho  2n. 

b Cho a b, là nghiệm của phương trình 2

x  x Đặt    n n

S n a b  Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S n( ) là một số nguyên không chia hết cho 715. 

Ta xét a(k1)!, ta có: a(k1)dr với dk r!,  k 1 

Vì dk! nên d d1d2 d k với d i (i1, )k  là các ước đôi một khác nhau của  !k  

Câu 19

a. Cho a b c d m, , , ,  là các số tự nhiên sao cho  ad, (b1)c ,  ab a c    chia hết cho  m  Chứng 

minh rằng x n a b ncn d  chia hết cho  m  với mọi số tự nhiên  n  

b. Chứng minh rằng từ n   số bất kì trong  2n  số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội 1

8k  1 8 8k1 7,  kết  hợp  với  giả  thiết 8k 1

   chia  hết  cho  7   nên  suy  ra  được 

.6

.3

.4

1.2

n

n S n





2.3

n

n S n



n S n



2

n

n S n

36

1533

n P n

Để chọn được  S  đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây: 

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của  n  

Với n   thì 1 S 1.44 (loại ngay được phương án B và C); với n   thì 2 S 1.42.718 (loại được phương án D). 

Cách 2: Bằng cách tính  S  trong các trường hợp  n1,S4;  n2,S18;  n3,S48 ta dự đoán được công thức   2

A S n 2 !n   B S nn1 ! 1 .  C S n n1 !   D S n n1 ! 1  

https://www.nbv.edu.vn/  

Trang 16

Lời giải Chọn B

n n

T ab bc ca  

https://www.nbv.edu.vn/  

Lời giải Chọn B

Lời giải Chọn C

Bằng các kết quả đã biết ở Câu 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có  2 2

3

14

Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ? 

Lời giải Chọn A

 

 

 . 

Lời giải Chọn A

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp S n (n1)(n2)(n3) (n n )luôn chia hết cho 2n Giả sử S k (k1)(k2)(k3) (kk) 2k

Chứng minh 2 3 2 3

12

Trên  một  mặt  phẳng  cho  n  đường  thẳng  phân  biệt  cùng  đi  qua  1  điểm  phân  biệt,  này  chia  mặt 

7.2 n 3 n

    với  n  là số nguyên dương. 5Lập luận trên đúng đến bước nào? 

Câu 32 Cho E4k a k 1, với  a  là số tự nhiên. Giá t ma rị nhỏ nhất của 1 a  để  E  là: 9

https://www.nbv.edu.vn/  

Do E k1 , 9 E   nên  (3 k 9 a k 3 a) 9 3 9

( 3) 9

a a

 Với n   ta có 1 S 1 1 nên loại đáp án B và  C

 Với n 2 ta có S 2   nên loại đáp án  D 3

Câu 37 Biết rằng với mọi số nguyên dương  n  ta có  1 2 3 n    an2bn. Tính a

360

Chúng ta có cos(k1)cos(k1)2 coskcos 

Do đó cos(k1)2 coskcoscos(k1) 

Vì  0k 1 k, theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp nk , cho nên sẽ tồn 1tại một đa thức P k1 x  để cos(k1) P k1(cos )  

Cũng theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp  nk, do đó sẽ tồn tại một đa thức 

 

k

P x  để  cos kP k(cos )  Suy ra cos(k1) 2P k(cos ) cos P k1(cos )  

Do đó nếu chúng ta chọn đa thức P k1 x   2 P x x k     P k1 x  thì cosk1 P k1cos. Như vậy thì mệnh đề đúng cho trường hợp nk  1

-Bước 1: Với n 4 thì vế trái bằng 24 1  25 32, còn vế phải bằng  2