Bài 2 hai đường thẳng vuông góc p1 đáp án

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Vectơ chỉ phương của đường thẳng 0a   là VTCP của d nếu[.]

Trang 1

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

0

a  

là VTCP của d nếu giá của a

song song hoặc trùng với d

II Góc giữa hai đường thẳng:

Cách 1

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta lấy điểm O bất kì dựng a a  // ,b//b và abO

  a b, a b', '

Cách 2

Tìm hai vectơ chỉ phương u u 1, 2

lần lượt của hai đường thẳng ,a b Khi đó góc giữa hai đường thẳng

xác định bởi   1 2

1 2

cos a b, u u

u u





 

Chú ý:

1 Giả sử u

là VTCP của a, v

là VTCP của b, ( , )u v  

Khi đó:         



,

neáu

a b

neáu

2 Nếu a b// hoặc a  b thì a b   ,  0

3 0 a b, 90

III Hai đường thẳng vuông góc:

Định nghĩa aba b, 90

Chú ý

1 u

là VTCP của a, v

là VTCP của b Khi đó a b u v  0

2 Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Bài 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

• Chương 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

a

d

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

PHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

1)Góc giữa hai véctơ

Giả sử ta có AB u

AC v









 

   u v ;  AB AC; BAC

, với 0 BAC180

2)Tích vô hướng của hai véctơ

Giẳ sử ta có AB u

AC v









 

  u v    AB AC   AB AC .cos AB AC; 

Nhận xét:

+) Khi 0

0

u v

 







 

  u v  0

+) Khi uv

 u v; 0

    

+) Khi uv

 u v; 180

     +) Khi uv

u v

 

Câu 1 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

a) Tính góc giữa hai véctơ  AB BC; 

b) Gọi I là trung điểm của AB Tính góc giữa hai véctơ CI AC ; 

Lời giải:

a)Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ ta được: cos;  .

AB BC



 

  .

AB BC



 

I

O

C

A

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3

 

2

1

AB BC

a



 

Xét     AB BC  AB BA. AC   AB BA AB AC

2

a

AB AC AB AC AB AC a a







2

     

2

2 1 2

2

a

AB BC

a



     

AB BC;  120

    

b) Ta có cos;  . .

CI AC CI AC

CI AC

   

 

Tứ diện ABCD đều cạnh a CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên 3

2

a

CI 

Suy ra cos;  2.  2

3 2

CI AC

a



 

Ta có CI AC     CI AI. ICCI AI    CI IC

Do ABC đều nên CIAICI AI  0

Đồng thời cos;  3 3.cos180 3 2

   

Suy ra

CI AC     

Thay vào  2 ta được   

2

3

3 4

2 3 2

a

CI AC

a



     

suy ra CI AC  ;  150

Vậy CI AC  ;  150

Câu 2 Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SASBSCa Gọi M là trung

điểm của AB

a) Biểu diễn các véctơ SM

và BC

theo các véctơ SA

, SB

, SC

b) Tính SM BC ; 

Lời giải:

Trang 4

a)Sử dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ hai véctơ ta được

2

BC BS SC







  

   SM 12SA SB

BC SC SB





 



  

  

SM BC

   

 

Mà SA, SB, SC đôi một vuông góc nên

SA SB

SA SC

SB SC













 

 

Tam giác SAB và SBC vuông tại S nên theo định lý Pitago ta được ABBCa 2

a

SM  AB Theo câu a ta có:

1

2

SM BC SASB SCSB

     

1

2 SA SC SA SB SB SC SB SB

          

2 1

2SB

  2

2

a

 

Thay vào  1 ta được 

2

1 2

cos ;

2 2

a

SM BC

a a



 

suy ra SM BC  ;  120

Dạng 2 Góc giữa hai đường thẳng

1)Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Một vectơ u  0

mà có phương song song hoặc trùng với  d được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  d

2)Góc giữ hai đường thẳng

a

M A

B

C S

Trang 5

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a, b lần lượt song song với a,

b Kí hiệu a b; 

Từ định nghĩa ta có sơ đồ: / / ;  ; 

/ /

a a

a b a b

b b





 







-Nhận xét:

+) Giả sử a, b có vectơ chỉ phương tương ứng là u

, v

và  u v ; 

Khi đó 



a b







+) Nếu a/ /b hoặc ab thì a b  ;  0

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Phương án 1

(sử dụng định nghĩa)

Tạo ra các đường / / ;  ; 

/ /

a b a b

b b





 







Phương án 2

-Lấy một điểm O bất kỳ thuộc a

-Qua O, dựng đường / /ba b; a;

-Chú ý:

Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:

-Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông; sin,

cos in , tan , cot

-Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:

2 cos

a b c  bc A

cos

2

A

bc

 

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các giác

vuông tại A Biết SAa 3, ABa, AD3a Tính góc giữa các đường thẳng sau:

a)SD và BC

b)SB và CD

c)SC và BD

Lời giải

a) Tính góc giữa SD và BC

I

O B

C S

Trang 6

Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng SD, BC và song song với một đường thẳng còn lại

Ta dễ nhận thấy AD/ /BC

Khi đó ;  ;   

180

SDA

SD BC SD AD

SDA





Xét SAD có  3

tan

3

SA SAD

AD

  suy ra SAD 30 Vậy SD BC ;  30

b) Tính góc giữa SB và CD

Tương tự, CD/ /AB ;  ;   

180

SBA

SB CD SB AB

SBA





Xét SAB có tan SA 3

SBA AB

  suy ra SDA 60 Vậy SB CD ;  60

c)Tính góc giữa SC và BD

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD , I là trung điểm của SA

Trong SAC có OI/ /SC suy ra ;  ;   

180

IOB

SC BD OI BD

IOB





Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI có:

2

IB IA AB    a 

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên BD AB2AD2  a29a2 a 10 suy ra

10 2

a

OBOA

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO có

IO IA AO      

Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho IOB ta được:



8

cos

IOB

Suy ra  arccos 8 ; 

130

IOB   SC BD

Vậy ;  arccos 8

130

SC BD   

Câu 2 Cho tứ diện ABCD , gọi M , N là trung điểm của BC , AD Biết ABCD2a, MN a 3 Tính

góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Lời giải

Trang 7

Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai đường

thẳng AB và CD ta tạo các đường thẳng tương ứng song song với AB , CD và chúng cắt nhau Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP/ /AB,

/ /



180

MPN





Do MP , NP là các đường trung bình nên ta có MPNPa Áp dụng định lý hàm số cosin trong MPN ta được:  2 2 2 2 2 3 2 1

cos

MPN

Suy ra MPN 120 MP NP; 60 Vậy AB CD ;  60

Nhận xét: Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là trung điểm của BD , cách

giải khí đó cũng tương tự

Câu 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , ADDCa, AB2a, SA

vuông góc với AB và AD , 2 3

3

a

SA  Tính góc của 2 đường thẳng

a)CD và SB

b)SD và BC

Lời giải

a)Do DC/ /AB DC AB; AB SB; 

N

P

M

C A

D

C

B S

Trang 8

Tam giác SAB vuông tại A nên  là góc nhọn, khi đó

2 3

3 3

tan

a SA

   suy ra

30

 

Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30

b)Gọi I là trung điểm của AB , khi đó AI a Tứ giác ADCI là hình hình hành (do AI/ /DC),

có AI ADa nên là hình thoi Lại có góc A , D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a suy

ra DIa 2

Mặt khác, tứ giác BIDC là hình hình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên

/ /

BC DI Khi đó, SD BC; SD DI; 

Tam giác SAI vuông tại A nên

2

SI SA AI   a 

Tam giác SAD vuông tại A nên

2

SD SA AD   a 

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI ta được

cos

3

SDI

a

Do cosSDI  nên góc  0 SDI là góc nhọn suy ra  3

arccos

42

SDI

Câu 4 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , gọi I là trung điểm cạnh AD Tính góc giữa hai đường thẳng AB

và CI

Lời giải

Ta có các tam giác mặt đáy và mặt bên đều là tam giác đều cạnh a

Gọi O là tâm tam giác BDC và K là trung điểm của BD thì IK là đường trung bình tam giác ABD, IK/ /AB Rõ ràng IC là trung tuyến đồng thời là đường cao tam giác ACD, CK là đường cao tam giác đều

O

I

K

C A

Trang 9

2

a

CK IC Tam giác CIK có AB CI; IK CI; CIK



3

cos

2

2 2

CIK

6

AB CI   

 

Câu 5 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , AD và AC Biết rằng

2

AB a, CD2a 2, MN a 5 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Lời giải

Vẽ hình hình hành BCDE ta có BECD2a 2

Gọi F là trung điểm của AE thì FN là trung bình tam giác AED , suy ra FN/ /BM và

FNBM

Vậy BFNM là hình bình hành hay BFMN a 5

Dễ thấy AB CD; AB BE;  ABE

Áp dụng công thức trung tuyến BF trong tam giác ABE ta có:

4

cos

ABE

Câu 6 Cho hình chóp S ABC có SASBSCABACa và BCa 2 Tính góc giữa SC AB ; 

, từ

đó suy ra góc giữa SC và AB

Lời giải

M

N N

E

B

C

D A

Trang 10

Ta có SASBSCa nên gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy ABC, với độ dài

SH h thì BH2CH2 DH2a2h2 BH CH DH a2h2

Dẫn đến H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mặt khác AB2AC2BC2, ABACa 2 nên tam giác ABC vuông cân ở A , H là trung

điểm của đoạn BC

Dựng hình vuông ABDC thì DCABa và DC/ /AB, hay SC AB; SC CD; SCD

Vì hai tam giác vuông SHD SHA c g c  SDSAa, vậy SDSCDCa

Tam giác SDC là tam giác đều hay SC AB; SC CD; SCD 60

Câu 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB2a, AD2a 2, SC3a Hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AB Tính góc giữa:

a) SB AC ; 

b) SC AM ; 

, với M là trung điểm của CD

Lời giải

H

A

D S

M H

A

B

K

C

D S

Trang 11

a)Dựng hình bình hành ACBK trong mặt phẳng đáy ABCD ta có BK/ /AC và

BKAC AB AD  a  a  a ;

HC BH BC a  a  a HC3a

Lại có HKHC3a, SH  SC2HC2  25a29a2 4a

 

2







Tam giác SKB có SB AC; SB KB; SKB và

cos

SKB

b)Rõ ràngHC/ /AM vì AHCM là hình bình hành Do đó SC AM; SC HC; SCH

c)Tam giác SCH vuông ở H nên  4 4

tan

SCH

arctan 3

SCH

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A , B , ABBCa, AD2a,

4

SD a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc AB với

3

AH  HB

Tính góc giữa:

a) SA BD ; 

b) SB AC; 

Lời giải

a)Gọi I là trung điểm của AD ta có ABBCCI IAIDa, BCIA là hình vuông

Dựng hình bình hành BDAE trong mặt phẳng đáy ABCD thì BD/ /AE

AEBD AB AD  a  a a ; EBAD2a

Vì AH 3HB3BH

2

a HB

2

a

AH 

Hơn nữa

4

HE HB BE   a 

C J

I A

H

D

K

B E

S

Trang 12

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Áp dụng định lý pitago các tam giác SHD , ABD ta có 2 2 2

Ta có

12

Tam giác SHE vuông tại H do H là hình chiếu nên

14



SA BD; SA AE; SAE mà  2 2 2 12 2 5 2 14 2 3

cos

SAE

b)Dựng hình bình hành BACK trong mặt phẳng đáy ABCD ta có BKACa 2

Với J là trung điểm CK thì

2

a

JK 

11

Dễ tính

10

SB HB SH    a

Ta có SB AC; SB BK; SBK  2 2 2 10 2 2 2 11 2 1

cos

SBK

Dạng 3 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng ,a b được gọi là vuông góc với nhau nếu  0

( , )a b 90 Kí hiệu là ab

-Chú ý: Các phương pháp chứng minh ab :

-Chứng minh  0

( , )a b 90

-Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau: u v 0

  -Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lí Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều, …

ABACADa BAC BAD CAD Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với cả hai đường thẳng AB và CD

b) Tính độ dài IJ

Lời giải:

a) Từ giả thiết dễ dàng suy ra tam giác

,

ABC ABD đều, ACD vuông cân tại A

Từ đó BCBDa CD, a 2 BCD vuông

cân tại B

Chứng minh IJ vuông góc với AB

Do các ACD,BCD vuông cân tại ,A B nên

600

D

J C

I

B

A

Trang 13

1 2 1 2











Chứng minh IJ vuông góc với CD

Do các ABC,ABD đều nên CI DIIJ CD

b) Áp dụng định lí Pitago cho AIJ vuông tại I ta được:

2 2

IJ  AJ AI     

Vậy

2

a

IJ 

Câu 2 Cho hình chóp tam giác S ABC có SASBSC và ASBBSCCSA Chứng minh rằng

SABC SBAC SCAB

Lời giải:

-Chứng minh SABC

Xét SA BC     SA SC SBSA SC    SA SB

Mà



SA SC SA SA SA SC

SA SB SA SB SA SB

SA SB SC ASB BSC CSA













   

   

SA SC SA SB SA SC SA SB

       

 

Chứng minh tương tự ta cũng được SBAC SC;  AB

Câu 3 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M N lần lượt là các điểm thuộc , A B và ' B C' sao

BM  MA CN  NB

   

Chứng minh rằng:

a) MN A B' b) MNB C'

Lời giải:

' ' ' '







      

  

3MN A B ' 2BC A B A B' ' ' A B A B' ' ' 0

         

b) Tương tự

Câu 4 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Xác định góc giữa cặp véc tơ:

a)  AB A C; ' '

b)  AB A D; ' '

c)  AC BD'; 

Lời giải:

AB A C  AB AC 

   

AB A  AB AD 

   

Trang 14

c) Ta có:

'











 

Câu 5 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' Chứng minh rằng:

a) ADA B' ' b) ADD C'

Lời giải:

'











Ta có AD DD' AD CDD C' ' AD D C'











Câu 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Biết ABBCa;

2

AD a Hình chiếu của S xuống (ABCD là điểm H thuộc ) AC sao cho

CH  AH SHa Tính góc giữa:

a) SC AB;  b) SA BD; 

Lời giải:

Ta có:

2 2

Gọi E là trung điểm của ADCEa

F

a a

a 3 S

H

C

D

B A

O

A'

B'

C'

D'

C

D

B A

Tiêu đề	Hai đường thẳng vuông góc p1 đáp án
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu tự học
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	420,61 KB