Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 14 21 14 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC Hoàng Tùng Lâm, Hoàng Việt Anh, Nguyễn Bích Ngọc, Đinh Thị T[.]

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO

TRONG KHÔNG GIAN METRIC Hoàng Tùng Lâm, Hoàng Việt Anh, Nguyễn Bích Ngọc, Đinh Thị Thu Uyên 2

Trường Đại học Tây Bắc

Tóm tắt: Bài báo này trình bày ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric giải một lớp

các bài toán tìm điều kiện cho số hạng đầu đối với dãy truy hồi để dãy số đã cho hội tụ Ngoài ra, nhóm tác giả nghiên cứu và đánh giá sai số giữa dãy lặp dạng u n1 f u( n) với giới hạn của nó

Từ khóa: Ánh xạ co, dãy lặp, điểm bất động, không gian metric, sai số, xấp xỉ

1 Mở đầu

Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong các ngành khoa học khác Điển hình như trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của trình

vi phân, tích phân,

Mặt khác, trong nhiều vấn đề của giải tích, việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy số nói chung là một trong những vấn đề đáng quan tâm, đặc biệt là câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một dãy được cho bởi công thức truy hồi Như đã biết, việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy truy hồi có nhiều phương pháp khác nhau Bài báo này tập trung vào nghiên cứu sự tồn tại giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi dựa vào nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric đầy Một tính chất hữu ích đó là đối với một ánh xạ co trong không gian metric đầy, có thể tìm được (thông qua giới hạn của dãy lặp) điểm bất động của ánh xạ đã cho Ngoài ra, nhiều trường hợp gặp khó khăn trong việc tìm giới hạn của dãy số (mặc dù ta biết dãy đã hội tụ), điều này đặt ra vấn đề nghiên cứu tốc độ hội tụ cũng như sai số đối với điểm bất động của dãy lặp đã cho Phần cuối của bài báo, đền cập đến việc nghiên cứu vấn đề nói trên

2 Định lý Banach về điểm bất động trong không gian metric

Một số khái niệm cần thiết và Định lý Banach về ánh xạ co trong không gian metric ([1], [2])

Định nghĩa 2.1 Cho f là ánh xạ từ không gian metric (X, d) vào chính nó Khi đó

ta gọi:

(i) f là ánh xạ co trên X nếu tồn tại số k0,1 sao cho:

   

x y X d f x f y kd x y

hằng số k nói trên được gọi là hệ số co

(ii) f là ánh xạ không giãn trên X nếu:

2 Ngày nhận bài: 7/2/2017 Ngày nhận kết quả phản biện: 8/5/2017 Ngày nhận đăng: 20/9/2017

Liên lạc: Hoàng Việt Anh, e - mail: hoangvietanh2000@gmail.com

   

x y X d f x f y d x y

(iii) f là ánh xạ co yếu trên X nếu

   

x y X x y d f x f y d x y

(iv) x0X là điểm bất động của ánh xạ f nếu f x 0 x0

Từ đó đưa ra định lý của Stefan Banach về điểm bất động trong không gian metric

Định lý 2.2 (Banach) Mọi ánh xạ co từ một không gian metric đầy X vào chính nó có

duy nhất một điểm bất động Hơn nữa, với mọi x0X dãy lặp   0 

n n

f x

 hội tụ tới điểm

bất động duy nhất của f

Chứng minh Tham khảo [1]

Nhận xét 2.3 (i) Từ Định lý 2.2, bài toán ngược được đưa ra như sau Giả sử đã biết

điểm bất động *x của f Hãy tìm một dãy xấp xỉ cho x , từ đó đánh giá sai số của dãy xấp xỉ *

đã xây dựng so với *x

(ii) Tiếp tục theo Định lý 2.2, với mọi x0X, dãy lặp  0 

n n

f x

 hội tụ tới điểm bất động duy nhất *x X của f Đánh giá tốc độ hội tụ về x của dãy lặp nói trên Thêm nữa, *

với sai số cho trước, hãy ước lượng n bé nhất có thể hay không?

(iii) Trường hợp f là ánh xạ co yếu, có thể thấy Định lý 2.2 không đúng, xét ánh xạ:

 

1

f

x

  

 

Rõ ràng X  1,  là không gian đầy và:

   

 

1 1

1

| ||1 |

| | , , , ,

x y

xy

Tuy nhiên f x x, x X, chứng tỏ f không có điểm bất động trên X Như vậy nếu f là ánh xạ co yếu trên không gian metric (thậm chí là đầy) X nói chung

thì f có thể không tồn tại điểm bất động trong X Tuy nhiên, khi X là không gian metric compact thì mọi ánh xạ co yếu trong X đều có điểm bất động duy nhất (Định lý 1.2 trong [3])

Ngoài ra, trong các bài toán được trình bày dưới đây, chỉ xét minh họa không gian với

metric thông thường Đồng thời như đã biết, mỗi tập con đóng và bị chặn X  đều là không gian metric compact với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên

(iv) Trong Định lý 2.2, ánh xạ f được giả thiết là ánh xạ co Tuy nhiên, có thể thấy (ví

dụ Hệ quả 1.5 trong [4]) nếu m

f  f f  f (với m lần tích hợp thành) là ánh xạ co trên không gian metric đầy X, với m 1 nào đó thì f cũng có điểm bất động duy nhất *.x Hơn

nữa, với mọi a X thì n 

f a hội tụ về *.x Như vậy giả thiết f là ánh xạ co chỉ là điều kiện

đủ để f có điểm bất động

3 Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co xây dựng một số dãy xấp xỉ

3.1 Tìm điều kiện để dãy số có giới hạn

Xét bài toán (thuộc đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2016 môn Giải tích) sau đây (xem [6]):

Bài toán 1 Cho { }u n n * là dãy số xác định bởi các điều kiện

u a u  u  u   n

Hãy tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy  u n n *hội tụ Từ đó tìm giới hạn của dãy

đã cho khi nó hội tụ

Trong bài báo này, chúng ta sẽ tìm một hướng giải khác cho bài toán trên bằng cách dựa trực tiếp vào nguyên lý ánh xạ co nói trên Cụ thể như sau:

Đặt    2

2016 ,

f x  x x x thì dãy đã cho là một dãy lặp xác định bởi

 

u   u  n

Tìm một tập X mà trên đó f là ánh xạ co sao cho X là không gian metric đầy của

Thật vậy, nếu dãy đã cho hội tụ thì rõ ràng nó là dãy tăng và có giới hạn là 2016 Khi đó nếu a2016,từ công thức quy nạp, dãy đã cho không hội tụ Hơn nữa cũng có thể thấy nếu 2015

a thì khi đó f a 2016 và tương tự như trên dãy cũng không hội tụ Như vậy, nếu dãy  u n n *hội tụ thì a2015, 2016 

Ngược lại, giả sử a2015, 2016 , thì sẽ chứng minh trong trường hợp này f là ánh xạ

co yếu trên không gian metric đầyX [2015, 2016] Như vậy, sẽ có:

   

1 2.2016 , , ,

Trong trường hợp này f là ánh xạ co yếu, tuy nhiên do X 2015, 2016 là không gian metric compact với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên ,theo Nhận xét 2.3 (iii), tồn tại duy nhất một điểm bất động của f trênX 2015, 2016  Đồng thời theo Định lý 2.2, với

mọi a X 2015, 2016 , dãy u n1 f u n  f n a , n 1 đều hội tụ tới điểm bất động củaf Dễ thấy do f 20162016nên 2016 là điểm bất động duy nhất của f

Vậy điều kiện cần và đủ để dãy đã cho hội tụ làa2015, 2016  Hơn nữa, khi đó dãy

đã cho hội tụ tới 2016 với mọi a2015, 2016 

Bài toán 2 Cho  u n n * là dãy số xác định bởi các điều kiện:u1a, 2

u  u u

Tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy đã cho hội tụ Từ đó tìm giới hạn của

dãy  u n n *

Đặt   2 

f x  x x x thì dãy đã cho là dãy lặp xác định bởi u n1 f u  n n1 

Tìm tập X  mà trên đó f là một ánh xạ co và X là không gian metric đầy của

Thật vậy: Do dãy đã cho giảm nên nếu dãy hội tụ thì rõ ràng giới hạn của nó phải là 0

Thật vậy, từ bảng biến thiên của f trên , nếu a0 thì f a 0 và do dãy giảm nên không thể hội tụ về 0 Trường hợp a1thì 2

u  a a  khi đó theo trường hợp trên dãy

đã cho không thể hội tụ Vậy nếu dãy hội tụ thì a 0;1

Chứng minh f là ánh xạ co yếu trên không gian metric compact X  0;1 với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên Như vậy, sẽ có:

   

 

,

1 ( )

, , , ,

x y

 

Từ đây tiếp tục theo Nhận xét 2.3 (iii), tồn tại duy nhất một điểm bất động của f trên

 0;1

X  Như vậy điều kiện cần và đủ để dãy đã cho hội tụ là a[0,1]

Với phương pháp nêu trên, bạn đọc có thể tìm lời giải cho lớp các bài toán tương tự sau đây:

Hãy xác định giá trị của u1a để dãy cho bởi các trường hợp sau hội tụ:

1 Với u n1ln 1 u n, n 1

2 Với 2

3 Với u n1cosx n, n 1

4 Với u n1sinx n, n 1

5 Với u  eeun, n 1

Như vậy bằng ngôn ngữ của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric đầy, có thể xây dựng nhiều dạng bài tập cũng như phương pháp giải các bài tập này một cách ngắn gọn

và độc đáo

3.2 Xây dựng một số dãy xấp xỉ

Giả sử  là một hàm khả vi sao cho '0 trên tập X  Khi đó xét hàm số:

'

x

f x x

x





 

trên tập xác định nói trên Rõ ràngx0X là nghiệm của phương trình x 0 khi và chỉ

khix0là điểm bất động của f Như vậy nếu f là ánh xạ co trên không gian metric đầy X thì theo

Định lý 2.2, với mọix0X sẽ có dãy lặp f n x0 , n 1 hội tụ tới điểm bất động *

x của f, đồng

nghĩa với dãy lặp nói trên hội tụ tới nghiệm *

x của  x 0 Như vậy, nếu chưa biết nghiệm

*

x của x 0 thì có thể xấp xỉ *

x bởi dãy lặp theo f. Ngược lại, nếu đã biết nghiệm *

x thì

có thể xây dựng được một dãy để sao cho dãy hội tụ tới x đã biết, từ đó có thể đánh giá sai số *

cũng như tốc độ hội tụ về *

x của dãy đã xét Xét ví dụ minh họa đơn giản sau đây:

Bài toán 3 Xét   2

1

    Khi đó x 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu Giả

sử nghiệm dương của x là *

x Xây dựng một dãy xấp xỉ cho *

x

Thật vậy, trước hết theo định nghĩa, có dãy lặp ứng với hàm      

'

x

f x x

x





  được cho bởi:

1



Nói cách khác, đây là dãy lặp của hàm   2 1

x

f x

x





Mặt khác ta có với x y,  1, :

   

 

,

2 1 2 1

2 2 2 2 1 2 2 2 2 1

1

1 2 1 , 2

d f x f y

x y

x y

d x y



Do đó f là co trên =[0, ). Như vậy theo Định lý 2.2, dãy lặp đối với f sẽ hội tụ với

mọi giá trị x0  cho trước tới điểm bất động x* không âm của f Theo Định lý 2.2, với mọi giá trị x0 thì dãy lặp f n (x 0 )n  1 luôn hội tụ về điểm bất động duy nhất x* của f Trong trường hợp này, xét với một số giá trị ban đầu của x 0 để đánh giá tốc độ hội tụ về x* cụ thể trong bảng sau:

Bảng 1 Giá trị của dãy lặp với các giá trị ban đầu khác nhau

1 1 1,428571429 1,888888888 2,125 2,363636364

2 0,666666666 0,788359788 0,956072351 1,05595238 1,15007215

3 0,619047619 0,62929283 0,657273088 0,67448485 0,703807391

4 0,618034447 0.618090113 0,618699219 0,619390626 0,621089742

5 0,618033988 0,61803399 0,618034186 0,61803481 0,618038153 Dựa theo Bảng 1, nhận thấy *

0, 618

4 Đánh giá sai số xấp xỉ

Giả sử f là ánh xạ co trên X với hệ số co 0< k <1 Khi đó từ phép chứng minh của Định

lý 2.2 sẽ có đánh giá:

1

n n

k

k



Như vậy nếu vớix0cho trước, có thể đánh giá được sai số giữa các phần tử x n  f x n1

của dãy lặp   0  *

n n

f x

 với điểm bất động x của * f

Dựa vào nhận xét trên, sẽ đánh giá sai số trong các dãy cho trong Bài toán 1 và Bài toán

2 nêu trên

Bài toán 4 Đánh giá sai số trong Bài toán 3

Trước hết, nếu chọn 0 1

2

x  Khi đó:

 

2

1 1

2

2

d f x x  f x x

  

 

 



Từ đó theo (*) ta có:

    0 0

1

1 1 1 =

2 8 2

n n

k

k









Dựa vào đánh giá (**), có thể đánh giá sai số của dãy lặp đã cho với điểm bất động

(chính là giới hạn của dãy) cần tìm x *

Chẳng hạn với n =7 thì vế phải của (**) nhỏ hơn 0,002 Trong khi đó nếu chọn x0 =1 thì với đánh giá tương tự trên khi n = 7 vế phải của (**)

nhỏ hơn 0,005

Cuối cùng, xét ví dụ sau với dụng ý rằng, đôi khi xét dãy u n +1 =f(u n ) thì việc nghiên

cứu điểm bất động của f như đã làm ở trên gặp nhiều khó khăn Một trong những gợi ý đó là

ta có thể áp dụng Nhận xét 2.3 (iv)

Bài toán 5 Cho { }u n n * là dãy số xác định bởi các điều kiện

n

u a u  e  n

Hãy tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy đã cho hội tụ Từ đó đánh giá sai số của dãy

lặp đối với giới hạn của dãy trong trường hợp hội tụ

Bây giờ chứng minh   x

f x e không là ánh xạ co trên Thật vậy, điều này suy ra từ đánh giá d f (   1 , f 0 d1, 0 nên f không là ánh

xạ co

Tuy nhiên 2  e x

f x e  lại là ánh xạ co trên Thật vậy, 2  e x

f x e là hàm khả vi trên và:

 2  

1

'

x

x e

e

e 

Theo Định lý Lagrange, x y,  tồn tại điểm c nằm giữa x và y để:

'

e

e

 Điều này chứng tỏ 2

f là ánh xạ co trên không gian metric đầy Khi đó áp dụng Nhận xét 2.3 (iv), với mọix0X thì  0

n

f x hội tụ về điểm bất động

*

x duy nhất của f

Ngoài ra, đã biết điểm bất động của f là hoành độ của giao điểm của hai đồ thị hàm

số   x

f x e và f x x Mặt khác, có thể thấy hai đồ thị nói trên giao nhau tại duy nhất