Bài 3 Cấp số cộng A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là 1, 3, 7, 11 Từ đó chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng c[.]
Trang 1Bài 3: Cấp số cộng
A Các câu hỏi hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số: Biết bốn số hạng đầu của một
dãy số là -1, 3, 7, 11 Từ đó chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó
Lời giải:
Ta có:
3 = -1 + 4
7 = 3 + 4
11 = 7 + 4
Quy luật: kể từ số thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4
Năm số hạng tiếp của dãy theo quy luật đó là: 15; 19; 23; 27; 31
Hoạt động 2 trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho (un) là một cấp số cộng có
sáu số hạng với u1 1
3
= − , d = 3 Viết dạng khai triển của nó
Lời giải:
Ta có:
−
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + = + =
Trang 2Dạng khai triển của cấp số cộng đó là: 1 8 17 26 35 44; ; ; ; ;
3 3 3 3 3 3
−
Hoạt động 3 trang 94 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mai và Hùng chơi trò xếp các
que diêm thành hình tháp trên mặt sân Cách xếp được thể hiện trên Hình 42
Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?
Lời giải:
Xây 1 tầng cần 2 que diêm để xếp tầng đế
Xây 2 tầng cần 4 que diêm để xếp tầng đế (4 = 2 + 1.2)
Xây 3 tầng cần 6 que diêm để xếp tầng đế (6 = 2 + 2.2)
Xây 100 tầng cần 200 que diêm để xếp tầng đế (200 = 2 + 99.2)
Hoạt động 4 trang 96 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cấp số cộng gồm tám số hạng
-1, 3, 7, 1-1, 15, 19, 23, 27 được viết vào bảng sau:
a) Hãy chép lại bảng trên và viết các số hạng của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột
b) Tính tổng các số hạng của cấp số cộng
Lời giải:
a)
Trang 327 23 19 15 11 7 3 -1
Tổng các số hạng của từng cột bằng nhau và bằng 26
b) Tổng các số hạng của cấp số cộng là: 26.8 104
2 =
B Bài tập
Bài tập 1 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy
số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó
a) un = 5 – 2n
b) un n 1
2
= −
c) un = 3n
d) un 7 3n
2
−
=
Lời giải:
a) Ta có:
u1 = 5 – 2.1 = 3
un+1 – un = 5 – 2(n + 1) – 5 + 2n = 5 – 2n – 2 – 5 + 2n = – 2 n *
Suy ra un+1 = un – 2
Vậy (un) là cấp số cộng có u1 = 3, công sai d = – 2
b) Ta có: 1
2
u 1 1 1
2
= − = −
2
–
2
u
+
+
+
= − = , n *
Suy ra un 1 un 1, n *
2
Vậy (un) là cấp số cộng có u1 1
2
= − , công sai d 1
2
= c) Ta có
Trang 4un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3 3n – 3n = 2.3n
Vậy (un) không là cấp số cộng
Cách khác:
un = 3n suy ra u1 = 3
Giả sử n 1 , xét hiệu sau:
un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3 3n – 3n = 2.3n
un – un-1 = 3n – 3n-1 = 3 3n-1 = (3 – 1).3n-1 = 2.3n-1
Suy ra un 1+ – un u – un n 1− (vì 3n 3n 1− , ) n
Vậy (un) không là cấp số cộng
d) Ta có: u1 7 3.1 2
2
−
Với mọi n *ta có:
7 3 n 1 7 3n
+
− − − +
Suy ra un 1 un 3, n *
2
+ = −
Vậy (un) là cấp số cộng có u1 = 2, công sai d 3
2
= −
Bài tập 2 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu và công sai của
cấp số cộng sau, biết:
a) 1 3 5
+ =
b) 7 3
2 7
u u 75
Lời giải:
a) Ta có :
u3 = u1 + 2d ;
Trang 5u5 = u1 + 4d ;
u6 = u1 + 5d
Theo đề bài ta có :
+ =
u u 2d u 4d 10
u u 5d 17
+ + =
1 1
u 2d 10 2u 5d 17
1
u 16
=
= −
Vậy số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là u1 = 16, d = -3
b) Ta có:
u7 = u1 + 6d
u3 = u1 + 2d
u2 = u1 + d
Do đó theo đề bài ta có:
2 7
u u 75
u 6d u 2d 8
u d u 6d 75
4d 8
u d u 6d 75
=
d 2
u 2 u 12 75
=
2
d 2
u 14u 24 75
=
d 2
u 14u 51 0
=
1
d 2
u 3
u 17
=
=
= −
Vậy u1 = 3, công sai d = 2 hoặc u1 = -17, công sai d = 2 là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng
Bài tập 3 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các bài toán về cấp số cộng,
ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống:
Trang 63 4
Lời giải:
a) Ta có: un = u1 + (n – 1).d
−
n u u n(n 1)
+
−
n
1
2.S n(n 1).d
u
2n
1
n
2 S n.u
u = −
Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại
b) Dòng đầu: Biết u1= −2; u20 = 55 Tìm d và S20
Ta có u20 = u1 + 19d
55= − +2 19d =d 3
20
Dòng 2: Biết d = −4; S15 = 120 , tìm u1 và u15
15 15 1
2
−
( )
1
120 15.u= +105 −4
Suy ra u15 = u1 + 14d = 36 + 14.(−4) = −20
Dòng 3: Biết u1 = 3; d = 4
27; un = 7 Tìm n và tính Sn
Ta có un = u1 + (n − 1)d
Trang 7( ) 4
7 3 n 1
27
28 28 1
2
−
27
Dòng 4: Biết u12 = 17 và S12 = 72 Tìm u1 và d
( 1 12)
12
12 u u
S
2
+
72
2
+
= u1+17 12= u1 = −5
u12 = u1 + 11d 17= − +5 11d22 11d= = d 2
Dòng 5: Biết u1 = 2; d = −5 và Sn = −205 Tìm n và tính un
n n 1
2
−
−
410 4n 5n n 1
5n2 −9n – 410 0=
( )
n 10 41
n loai
5
=
= −
Suy ra n = 10
Suy ra u10 = u1 + 9d = 2 + 9.(−5) = −43
Vậy ta điền được bảng như sau :
Bài tập 4 trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà
cao hơn mặt sân 0,5 m Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm
Trang 8a) Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân
Lời giải:
a) Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m
Suy ra n bậc thang cao 0,18n (m)
Vì mặt sàn cao hơn mặt sân 0,5 m nên công thức tính độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân sẽ là :
hn = 0,5 + 0,18n
b)Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là:
h21 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)
Bài tập 5 trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ
đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?
Lời giải:
Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông
Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông
Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông
Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:
S = 1 + 2 + 3 + + 12
Đây là tổng của 12 số hạng của cấp số cộng có u1 = 1, u12 = 12
Do đó áp dụng công thức tính tổng của cấp số cộng ta có (1 12 12)
2
+
Vậy đồng hồ đánh 78 tiếng chuông