Bài 3 Nhị thức Niu tơn A Các câu hỏi, hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số Khai triển biểu thức (a + b)4 thành tổng các đơn thức Lời giải (a + b)4 = (a + b)3(a + b) = (a3 +[.]
Trang 1Bài 3: Nhị thức Niu-tơn
A Các câu hỏi, hoạt động trong bài
thành tổng các đơn thức
Lời giải :
(a + b)4 = (a + b)3(a + b)
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a + b)
= a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 + a3b + 3a2b2 + 3ab3 + b4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Hoạt động 2 trang 57 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dùng tam giác Pa-xcan, chứng
tỏ rằng:
a) 1 2+ + +3 4 =C25;
b) 1 2 7+ + + =C82;
Lời giải :
a) Dựa vào tam giác Pa-xcan: C14 =4; 2
4
C =6
2 1 2
5 4 6
C =C +C = + =4 6 10
Mà: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Suy ra 1 2 3 4 + + + =C25
b) Dựa vào tam giác Pa-xcan: 1
7
C = 7; 2
7
C = 21
2 1 2
8 7 7
C =C +C = +7 21 28=
Mà: 1 + 2 + … + 7 = 28
Suy ra 1+ ++ =2 7 C82
B Bài tập
Bài tập 1 trang 57 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết khai triển theo công thức nhị
thức Niu-tơn:
Trang 2a) (a + 2b)5
b) ( )6
a− 2
c)
13
1
x
x
−
Lời giải:
a) (a + 2b)5
C a C a (2b) C a (2b) C a (2b) C a (2b) C (2b)
= a5 + 5a4.2b + 10a3.(2b)2 + 10a2.(2b)3 + 5a.(2b)4 + (2b)5
= a5 +10a4b + 40a3b2 + 80a2b3 + 80ab4 + 32b5
b) ( )6
a− 2
c)
13
1
x
x
−
( )1 ( )2 ( )12 ( )13
C x C x C x C x− C x− C x−
biểu thức:
6
2
2 x x
Lời giải:
Trang 3Số hạng tổng quát:
6
k 6 k 6
k 1
−
=
( )
k 6
k 6 k
k
k 1
2
C x
x
−
=
=
k 6
k 6 k
k 1
2
C x
x
−
=
=
6
k 6 k 2k k
6
k 1
C x − − 2
=
6
k k 6 3k
6
k 1
C 2 x −
=
=
Số hạng chứa x3 ứng với 6 – 3k = 3 Suy ra k = 1
Vậy hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là: C 216 1 =2.6 12=
(1 – 3x)n là 90 Tìm n
Lời giải:
Số hạng tổng quát
T+ =C 1 − (−3x) k k k
n
C ( 3) x
Hệ số của số hạng chứa x2 ứng với k = 2 hay hệ số của x2 là C2n.(−3)2 =9C2n
Theo bài ra ta có:
9C =90C = 10
n!
10 2!(n 2)!
−
n(n 1)(n 2)!
10 2!(n 2)!
−
n(n 1)
10 2
−
Trang 4( )
n n –1 20
2
n – n – 20 0
n 5 (TM)
n 4 (Loai)
=
= −
Vậy n = 5
Bài tập 4 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng không chứa x trong khai
triển của
8
x
x
Lời giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển của
8
x x
8 4 8
k
C (x )− x− =C x −
Số hạng không chứa x trong triển khai của
8
x x
tương đương với: 24 – 4k = 0
Suy ra k = 6
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển của
8
x x
6 8
C =28
Bài tập 5 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ khai triển của biểu thức
(3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được
Lời giải:
Sử dụng khai triển của nhị thức Newton ta có:
(3x−4) =C (3x) +C (3x) ( 4)− ++C ( 4)−
1
17 17
16
C 3 x C 3 ( 4)x C ( 4)
Ta thấy, tổng các hệ số trong khai triển (3x – 4)17 là:
C 3 +C 3 ( 4)− ++C ( 4)−
Cho x = 1 ta có:
Trang 517 0 17 1 16 17 17
(3.1 4)− =C 3 +C 3 ( 4)− ++C ( 4)−
hay ( 1)− 17 =C 3170 17+C 3 ( 4)117 16 − ++C ( 4)1717 − 17
Do đó:
C 3 +C 3 ( 4)− ++C ( 4)− = − 1
Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được bằng -1
Bài tập 6 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng:
a) 1110 – 1 chia hết cho 100;
b) 101100 – 1 chia hết cho 10 000;
10 1 + 10 − −1 10
Lời giải:
a) 1110 – 1 = (1 + 10)10 – 1
( 0 10 0 1 9 1 9 1 9 10 0 10)
C 1 10 C 1 10 C 1 10 C 1 10 1
( 1 2 2 9 9 10)
( 2 3 8)
10 10
Tổng sau cùng là tích của 100 với một tổng nên nó chia hết cho 100 suy ra 1110 – 1 chia hết cho 100
Vậy 1110 – 1 chia hết cho 100
b) 101100 – 1 = (100 + 1)100 – 1
( 0 100 0 1 99 1 99 1 99 100 100)
C 1 100 C 1 100 C 1 100 C 100 1
( 1 99 100 100)
99
100 C 100 C 100 1 00
Tổng sau cùng chia hết cho 1002 = 10 000nên 101100 – 1 chia hết cho 10 000
Trang 6c) Ta có:
1+ 10 =C +C 10+C 10 + + C 10 +C 10
1− 10 =C −C 10+C 10 − − C 10 +C 10 Suy ra ( ) (100 )100
1+ 10 − −1 10
( )2 ( )99 ( )100
Suy ra ( ) (100 )100
10 1 + 10 − −1 10
+
k 1
2 C 10 C 10 C 10 C 100
+
10 1 + 10 − −1 10