Bài 4 Cấp số nhân A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy t[.]
Trang 1Bài 4: Cấp số nhân
A Các câu hỏi hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ
cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo
sở thích Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên
64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp ô thứ hai hai hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước cho đến ô cuối cùng
Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ
Lời giải:
Số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu là: 1; 2; 4; 8; 16; 32
Hoạt động 2 trang 99 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy đọc hoạt động 1 và cho biết
ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc?
Lời giải:
Từ câu hỏi 1 ta thấy:
Ô thứ 1 có 1 = 20 = 21–1 hạt thóc
Ô thứ 2 có 2 = 21 = 22−1 hạt thóc
Ô thứ 3 có 4 = 22 = 23−1 hạt thóc
Ô thứ 4 có 8 = 23 = 24 – 1 hạt thóc
Ô thứ 5 có 16 = 24 = 25−1 hạt thóc
Tổng quát: Ô thứ n có 2n−1 hạt thóc
Ô thứ 11 có: 211−1 = 210 = 1024 hạt thóc
Hoạt động 3 trang 101 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân (un) với
Trang 2u1 = -2 và q 1
2
= − a) Viết năm số hạng đầu của nó
b) So sánh 2
2
u với tích u1.u3 và 2
3
u với tích u2.u4 Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên
Lời giải:
a) Ta có u1 = -2
2 1
1
u u q 2 1
2
−
= = − =
u u q 1
−
4 3
1 1 1
u u q
2 2 4
−
5 4
1 1 1
u u q
4 2 8
−
b) Ta có: u22 = =12 1
1 3
1
2 1
u
2 u = − − =
1 3
2
Lại có:
2 2
3
u
2 4
1 1
1
4 4
u u = =
2 4
2
Do đó 2
u =u −.u + ; k 2
Hoạt động 4 trang 101 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính tổng số các hạt thóc ở 11
ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1
Trang 3Lời giải:
Ta có:
u1 = 1
u2 = 2
u3 = 22
u11 = 210
Suy ra S = u1 + u2 + + u10 = 1 + 2 + 22 + + 210
Suy ra 2S = 2 + 22 + + 210 + 211
Suy ra 2S – S = (2 + 22 + + 210 + 211) − (1 + 2 + 22 + + 210) Suy ra S = 211 – 1 = 2047
Cách tổng quát:
Ta có:
S = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + u8 + u9 + u10 + u11
= u1 + u1.q + u1.q2 +⋯+ u1.q9 + u1.q10 (1)
Suy ra S.q = u1.q + u1.q2 +⋯+ u1.q9 + u1.q10 + u1.q11 (2)
Lấy (1) trừ (2), ta được:
(1− q)S = u1(1 − q11)
( 11)
1
u 1 q
S
1 q
−
=
−
Vậy tổng số hạt thóc của 11 ô đầu là ( 11)
11
1 1 2
1 2
−
−
Hoạt động 5 trang 102 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính tổng
= + + + +
Lời giải:
Cách 1:
Cấp số nhân có u1 = 1, q 1
3
=
S là tổng của (n + 1) số hạng đầu tiên
Trang 4( )
n 1
n 1 1
1
1 1
3
u 1 q
S
1
3
+ +
−
−
n 1
1
+
= −
Cách 2:
Ta có: S 1 1 12 13 1n
= + + + + +
n
1 3S 3 S
3
= + −
n
1 2S 3
3
= − = −
B Bài tập
Bài tập 1 SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các dãy số 3 n
.2 5
, n
5
2
,
n 1
2
−
là các cấp số nhân
Lời giải:
+ Ta có: un 3.2n
5
=
1
1
= =
Với mọi n *, ta có: un 1 3 2n 1
5 + + =
Trang 5n 1
n 1 n
n 1
n n
3
2
2 3
5
+
+
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với u1 6
5
= và q = 2
+ Ta có: un 5n
2
=
1 1
5 5
u
2 2
= =
Với mọi n *, ta có:
n 1
n 1
n 1 n n
n
5
: 5
2
+
+
+
2 + 5
= 2n 1n n2n 1
(không đổi)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với u1 5
2
= và q 1
2
= + Ta có:
n
n
1 u
2
= −
suy ra
1
1
u
= − = −
Với mọi n *, ta có:
n 1
n 1
n n
1
2
+ +
−
=
−
n
n
1
2 1
2
− −
−
(không đổi)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với u1 1
2
= − và q 1
2
−
=
Bài tập 2 SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân (un) với công bội
q
a) Biết u1 = 2, u6 = 486 Tìm q
Trang 6b) Biết q 2
3
= , u4 8
21
= Tìm u1 c) Biết u1 = 3, q = -2 Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
Lời giải:
a) Ta có: u 6 = u 1.q5
5
b) Ta có: u4 = u1.q3
3
1
u
9 u 7
= c) Ta có:
un = u1.qn-1
( )n 1
192 3 2 −
2 − 64
− = n –1 6= = n 7 Vậy số 192 là số hạng thứ 7
Bài tập 3 SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Tìm các số hạng của cấp số nhân
(un) có năm số hạng, biết:
a) u3 = 3 và u5 = 27;
b) u4 – u2 = 25 và u3 – u1 = 50
Lời giải:
a) Ta có:
2
4
u 3 u q 3
u 27 u q 27
2
= = q 3
Với q = 3 ta có: u1 1
3
= Ta có cấp số nhân: u1 1
3
= , u2 = 1, u3 = 3, u4 = 9, u5 = 27
Với q = -3 ta có: u1 1
3
= Ta có cấp số nhân: u1 1
3
= , u2 = -1, u3 = 3, u4 = -9, u5 = 27 b) Ta có:
Trang 74 2
3 1
− =
3
2
u q u q 25
u q u 50
− =
2 1 2 1
− =
1
q.50 25
u q 1 50
=
1
1
q
2
1
4
=
− =
1 q 2 200 u
3
=
=
Ta có năm số hạng của cấp số nhân: 200; 100; 50; 25; 25
Bài tập 4 SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng,
biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62
Lời giải:
Giả sử có cấp số nhân: u1, u2, u3, u4, u5, u6
Theo giả thiết ta có:
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31 (1)
u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 62 (2)
Nhân hai vế của (1) với q, ta được:
u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q
u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q (3)
Từ (2) và (3) suy ra 62 = 31.q
Suy ra q = 2
Ta có S5 = 31 ( 5)
1
u 1 2
31
1 2
−
−
Vậy ta có cấp số nhân là: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Cách khác:
Trang 8Ta có: ( 5)
1 5
u 1 q S
1 q
−
=
−
S5’= u2 + u3 + u4 + u5 + u6
= u1q + u2q + u3q + u4q + u5q
= q.( u1 + u2 + u3 + u4 + u5)
= q S5
Mà S5 =31, S5’= 62
Khi đó q = 2
5
S 1 q
1 q
−
−
Vậy ta có cấp số nhân là 1, 2, 4, 8, 16, 32
Bài tập 5 SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là
1,4% Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người Hỏi với mức tăng như
vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Lời giải:
Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N
Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là
101, 4
N 1, 4%.N 101, 4%.N N
100
Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân Hiện tại: u1 = N
Sau 1 năm: u2 101, 4 N
100
Sau 2 năm:
2
3
101, 4
100
;
Vậy nếu N = 1,8 triệu người
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì:
Sau 5 năm số dân của tỉnh là
5
6
101, 4
100
(triệu người)
Trang 9Vậy sau 10 năm số dân của tỉnh là
10
11
101, 4
100
(triệu người)
Bài tập 6 SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng
4 Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (h.44) Từ hình vuông C2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3,… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C1, C2, C3, …,Cn,…
Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân
Lời giải:
Xét dãy số (an), ta có a1 = 4
Gọi an là cạnh hình vuông Cn
Ta tính cạnh hình vuông an+1 như sau:
Xét tam giác BEF vuông tại B có:
n
Trang 10Do đó 2 2
n
a
= + =
10
4 + =
Vậy dãy số (an) là cấp số nhân với số hạng đầu là a1 = 4 và công bội q 10
4
=