Toán 11 bài 2 dãy số

Bài 2 Dãy số A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số Cho hàm số 1 f (n) ,n * 2n 1 =  − Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) Lời giải 1 1 1 f (1) 1 2 1 1 2 1 1 = = =[.]

Bài 2: Dãy số

A Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số

1

f (n) , n *

2n 1

− Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)

Lời giải:

2.1 1 2 1 1

f (2)

2.2 1 4 1 3

f (3)

2.3 1 6 1 5

f (4)

2.4 1 8 1 7

f (5)

2.5 1 10 1 9

Hoạt động 2 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nêu các phương pháp cho

một hàm số và ví dụ minh họa

Lời giải:

+ Hàm số cho bằng bảng

Ví dụ:

+ Hàm số cho bằng công thức

Ví dụ: y 2x 1

x +

=

Hoạt động 3 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu và số

hạng tổng quát của các dãy số sau:

a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;

b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu: 1 1 1 1 1; ; ; ;

1 3 5 7 9

Số hạng tổng quát của dãy số: 1

2n 1− (n *)

b) Năm số hạng đầu: 1; 4; 7; 10; 13

Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1 (n  )

Hoạt động 4 trang 87 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết mười số hạng đầu của dãy

Phi-bô-na-xi

Lời giải:

Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi là: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55

Hoạt động 5 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho các dãy số (un) và (vn) với

1

u 1 ; v 5n 1

n

= + = −

a) Tính un+1, vn+1

b) Chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, với mọi n *

Lời giải:

a) un 1 1 1

n 1

+ = +

+

vn+1 = 5(n + 1) - 1 = 5n + 4

b)

+ Ta có: un 1 un 1 1 1 1

n 1 n

+

n (n 1) 1

0, n n(n 1) n n 1

Suy ra un+1 – un < 0

Vậy un+1 < un , n  *

+ Lại có: vn+1 – vn = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0

Suy ra vn+1 – vn > 0

Vậy vn+1 > vn , n *

Hoạt động 6 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các bất đẳng thức

2

n 1 2

+ và

2

2n

Lời giải:

2

2n n 1

n 1 2 2 n 1

− =

2 2

n 2n 1

2 n 1

− + −

=

+

2 2

n 2n 1

2 n 1

=

+

2

(n 1)

0; n

2 n 1

− −

+

Vì 2(n2 + 1) > 0 và − −(n 1)2   0, n *

Vậy 2n 1; n *

n 12  

+

Lại có:

1

(n 1)

2n

−

Vì 2n > 0 và (n 1)− 2   0, n N*

Vậy

2

*

1, n 2n

B Bài tập

Bài tập 1 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu của các dãy

số hạng tổng quát un cho bởi công thức

a) un nn

2 1

=

−

b)

n

u

−

=

+

c)

n n

1

n

d) n

2

n

u

n 1

=

+

Lời giải:

a) un nn

2 1

=

−

1

2 1

=

− , 2 2

2

2 1= 3

−

= , u3 33 3

2 1=7

−

4

4

4 u

15

4

2 1=

=

− , 5 5

5 u

31

5

2 1

−

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là u1 = 1,u2 2

3

= , u3 3

7

= , u4 4

15

= , u5 5

31

= b)

n

u

−

=

+

1

2 1 1

u

2 1 3

−

+ ,

2

2 1 3 u

2 1 5

−

+ ,

3

2 1 7 u

2 1 9

−

+ ,

4

2 1 15

u

2 1 17

−

+ ,

5

2 1 31 u

2 1 33

−

+ Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là u1 1

3

= , u2 3

5

= , u3 7

9

= , u4 15

17

= , u5 31

33

=

c)

n n

1

n

1

1

1

1

2 2

3 3

4 4

5 5

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là u1 = 2, u2 9

4

= , u3 64

27

= ,u4 625

256

= ,

5

7776

u

3125

=

d) n

2

n

u

n 1

=

+

u

2

1 1

u

5

2 1

u

10

3 1

u

17

4 1

u

26

5 1

+

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là u1 1

2

5

= , u3 3

10

= ,u4 4

17

= ,

5

5

u

26

=

Bài tập 2 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un), biết:

u1 = – 1, un+1 = un + 3 với n 1

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4

Lời giải:

a) u1 = – 1

u2 = u1 + 3 = – 1 + 3 = 2

u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5

u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8

u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: u1 = – 1, u2 = 2, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 11 b) Chứng minh un = 3n – 4 (*) bằng phương pháp quy nạp:

Do u1 = – 1 = 3.1 – 4 nên (*) đúng với n = 1

Giả sử (*) đúng với n k,k 1=  , tức là chứng minh uk+1 = 3(k + 1) – 4

Thật vậy, từ giả thiết un+1 = un + 3, suy ra:

uk+1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = (3k + 3) – 4 = 3(k + 1) – 4

Hay uk+1 = 3(k + 1) – 4

Do đó (*) đúng với n = k + 1

Vậy hệ thức đúng với mọi n *

Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dãy số (un) cho biết:

2

u =3, u + = 1 u , n 1+ 

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng

phương pháp quy nạp

Lời giải:

a) Ta có:

u = 1 u+ = 1 3+ = 10

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: u1 = 3, u2 = 10 , u3 = 11,u4 = 12,

5

b) Ta có:

1

u = =3 9 = 1 8+

2

3

4

5

Từ trên ta dự đoán un = n+8, với n *(1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng

Giả sử (1) đúng với n k 1=  , tức là có uk = k+8 với k 1 , ta cần chứng minh

k 1

u + = (k 1) 8+ +

Theo công thức dãy số, ta có: 2 2

u + = 1 u+ = 1 ( k+ +8) = 1 k+ +8 (k 1) 8

= + +

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy công thức (1) được chứng minh

Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng, giảm của các dãy số

(un), biết:

a) un 1 2

n

= −

b) un n 1

n 1

−

=

+

c) un = (- 1)n (2n + 1)

d) un 2n 1

5n 2

+

=

+

Lời giải:

a) Ta có:

n 1 n

+ − = − − +

+

0

n 1 n n(n 1)

−

u + u  n

Vậy (un) là dãy số giảm

Cách khác:

Với mọi n *ta có:

+ = −  − 

+

Do đó (un) là dãy số giảm

b) Xét hiệu un 1 un n 1 1 n 1

n 1 1 n 1

+

n n 1

n 2 n 1

−

n(n 1) (n 1)(n 2) (n 1)(n 2)

=

n n n n 2n 2

(n 1)(n 2)

=

n n n n 2 (n 1)(n 2)

+ − + −

=

=

2

0 (n 1)(n 2)

Suy ra un 1+ un, n

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng

Cách khác:

Với mọi n * ta có:

n

n 1

1 1

1

Ta có:

1

1

n 2 n

2



n 1

1

n

2 2

 −  −

2

n

1

Suy ra un 1+ un, n *

Vậy (un) là dãy số tăng

c) Ta có: u1 = -3; u2 = 5; u3 = - 9

suy ra u1u2 u3

Nên (un) là dãy số không tăng, không giảm

d) Với n *, un 0 ta có:

n 1

n

u 2n 3 5n 2

u 5n 7 2n 1

2 2

10n 19n 6

1 10n 19n 7

Suy ra un 1+ un, n *

Vậy (un) là dãy số giảm

Cách khác: un 1 un 2(n 1) 1 2n 1

5(n 1) 2 5n 2

+

2n 3 2n 1 5n 7 5n 2

=

10n 15n 4n 6 10n 5n 14n 7

5n 7 5n 2

=

−

Suy ra un 1+ −un   0, n *

Suy ra un 1+ un, n *

Vậy (un) là dãy số giảm

Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

a) un = 2n2 – 1

b) un 1

n(n 2)

=

+

c) un 21

2n 1

=

− d) un = sin n + cos n

Lời giải:

a) Ta có n 1 suy ra 2

n  suy ra 1 2

2n  2 Suy ra 2n2 −  1 1

Suy ra un   1, n *

Do đó (un) bị chặn dưới bởi 1

Ngoài ra (un) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để

2

2n − 1 M, n  *

b) Dễ thấy un   0, n *

Mặt khác, vì:

2







2

n n( 2) 3

+

n

1

3

n

1

0 u

3

   với mọi n *

Vậy dãy số bị chặn

c) Dễ thấy un 21 0

2n 1

− với mọi n *

Ta có:n2  1 2n2  2 2n2−   1 1 0

Suy ra 0 21 1, n *

2n 1

− Vậy 0un   1, n *tức dãy số bị chặn

d) Ta có: sin n cos n 2 1 sin n 1 cos n

  2 sin n cos4 cos n sin4

2 sin n

4



Vì 1 sin n 1

4



−   + 

Suy ra 2 2 sin n 2

4



Suy ra − 2sin n+cos n 2, n  *

Vậy − 2un  2 n  *, tức là dãy số là dãy số bị chặn