Giải toán 11 bài 3 đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 163 SGK Toán lớp 11 Đại số Tính sin0,01 0,01 , sin0,001 0,001 bằng máy tính bỏ túi Lời giải sin0,01 0,999983 0,0[.]

Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

A Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 163 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính sin 0,01

0,01 ,

sin 0,001 0,001 bằng máy tính bỏ túi

Lời giải:

sin 0,01

0,999983

0,01 

sin 0,001

0,99999983

Hoạt động 2 trang 165 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số

2



 

Lời giải:

2



2



  thì u′ = −1

2



       



  

Hoạt động 3 trang 166 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số

sin x

f (x)

cos x

2



     

Lời giải:

sin x

f (x)

cos x



   

2

sin x cos x sin x cos x

cos x



2

cos x sin x

cos x





2

1

cos x



Hoạt động 4 trang 167 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số

2



  với x  k ,k

Lời giải:

2



  thì u′ = −1

y

cos u cos u

2

sin x

2



(do cos x sin x

2



  

B Bài tập

Bài tập 1 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) y x 1

5x 2





 ;

b) y 2x 3

7 3x





 ;

c)

2

x 2x 3

y

3 4x



d)

2

2

x 7x 3

y

x 3x



Lời giải:

a) y x 1

5x 2







2

(x 1) (5x 2) (x 1)(5x 2)

y

(5x 2)



 

(5x 2) 5(x 1) (5x 2)



(5x 2)





2

3

(5x 2)





(5x 2)

 



b) y 2x 3

7 3x







2

(2x 3) (7 3x) (2x 3)(7 3x)

y

(7 3x)



 

2(7 3x) (2x 3)( 3)

(7 3x)





2

2(7 3x) 3(2x 3)

(7 3x)



14 6x 6x 9 (7 3x)



23 (7 3x)





(7 3x)

 



c)

2

x 2x 3

y

3 4x





2

x 2x 3 (3 4x) x 2x 3 (3 4x)

y

(3 4x)

 



2

(2x 2)(3 4x) x 2x 3 ( 4)

(3 4x)





2 2

2

(3 4x)





2

2

4x 6x 18

(3 4x)





Vậy

2

2

4x 6x 18

y

(3 4x)

 

d)

2

2

x 7x 3

y

x 3x





2 2

y

x 3x



 



2 2

(2x 7) x 3x x 7x 3 (2x 3)

x 3x





2 2

x 3x





2

2 2

10x 6x 9

x 3x





Vậy

2

2 2

10x 6x 9

y

x 3x

 

Bài tập 2 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các bất phương trình sau:

a) y′ < 0 với

2

y

x 1

 



 ;

b) y 0 với

2

y

x 1





 ;

c) y′ > 0 với y 22x 1





 

Lời giải:

a) y′ < 0 với

2

y

x 1

 





2

y

(x 1)

 



2

(2x 1)(x 1) x x 2 1

(x 1)





2

(x 1)





2

2

(x 1)





Do

2

2

(x 1)



2

x 1







x 1





   



x ( 1;1) (1;3)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 1;1) (1;3)

b) y 0 với

2

y

x 1







Ta có:

2

x 3 (x 1) x 3 (x 1)

y

(x 1)

 



2

2x(x 1) x 3 1

(x 1)





2

(x 1)





2

2

(x 1)





Do

2

2

(x 1)



2

x 1 0

 





x 1

x 1

 









      





     

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =    ; 3 1; 

c) y′ > 0 với y 22x 1





 

Ta có:

   

2 2

(2x 1) x x 4 (2x 1) x x 4

y





 

 

2

2 2

2 x x 4 (2x 1)(2x 1)

x x 4



 

2 2



 

2

2 2



 

Do

2

2 2

2

2x 2x 9 0

2

      

  , x  .)

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = 1 19 1; 19

Bài tập 3 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) y = 5sinx – 3cosx ;

b) y sin x cos x

sin x cos x





c) y = xcotx ;

d) y sin x x

x sin x

e) y 1 2 tan x ;

ysin 1 x

Lời giải:

a) y = 5sinx – 3cosx

 y′ = 5(sinx)′ – 3(cosx)′

= 5cosx – 3(–sinx)

= 5cosx + 3sinx

Vậy y′ = 5cosx + 3sinx

b) y sin x cos x

sin x cos x







sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x y

sin x cos x



 



cos x sin x sin x cos x sin x cos x cos x sin x

sin x cos x





2sin x cos x 1 1 2sin x cos x

sin x cos x

  





2

sin x cos x







Vậy

2 y

sin x cos x



 

c) y = xcotx

 y′ = (x)′cotx + x(cotx)′ cot x x 12

sin x

x cot x

sin x

Vậy y cot x x2

sin x

d) y sin x x

x sin x

y



(sin x) x sin x.(x) (x) sin x x.(sin x)

x cos x sin x sin x x cos x

(x cos x sin x)

x sin x

Vậy y (x cos x sin x) 12 12

x sin x

e) y 1 2 tan x

(1 2 tan x)

y

2 1 2 tan x







 



2(tan x)

2 1 2 tan x







(tan x)

1 2 tan x







2

1 cos x

1 2 tan x





2

1

cos x 1 2 tan x





Vậy

2

1 y

cos x 1 2 tan x

 

f) ysin 1 x 2

y cos 1 x 1 x 

2

2

1 x cos 1 x

2 1 x







2

2

2x cos 1 x

2 1 x



2 2

x

cos 1 x

1 x



2

x

1 x

Bài tập 4 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm các đạo hàm của các hàm số

sau:

a) y = (9 – 2x)(2x3 – 9x2 + 1);

x

y x2 x 1;

d) y = tan2x – cotx2;

e) y cos x

1 x





Lời giải:

a) y = (9 – 2x)(2x3 – 9x2 + 1)

 y′ = (9 – 2x)′(2x3 – 9x2 + 1) + (9 – 2x)(2x3 – 9x2 + 1)′

= –2(2x3 – 9x2 + 1) + (9 – 2x)(6x2 – 18x)

= –4x3 + 18x2 – 2 + 54x2 – 162x – 12x3 + 36x2

= –16x3 + 108x2 – 162x – 2

Vậy y′ = –16x3 + 108x2 – 162x – 2

x



 

 

2

2

x

x

(7x 3) 7 6 x

x

(7x 3) 7 6 x

x

x

63 x



Vậy y 63 72 63 x 9



c)   2

y x2 x 1

y (x 2) x 1 (x 2) x 1 

2

2

1 x 1 (x 2)







2

2

2x

x 1 (x 2)



2

2

x

x 1 (x 2)



2





2

2





Vậy

2 2

y

 

 d) y = tan2x – cotx2

 y′ = (tan2x)′ – (cotx2)′

2 2

2tanx tanx –

s

in x









x

nx

n x





2sin x 2x

cos x sin x



Vậy 2sin x3 2x2 2

cos x

y

sin x



e) y cos x

1 x









2

x (x) (1 x) x.(1 x)

2

1 x (1 x)

   

2

.sin

 

Vậy y 1 2.sin x

  

Bài tập 5 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính f (1)

(1)





 , biết rằng f(x) = x2 và x

(x) 4x sin

2



Lời giải:

f(x) = x2

 f′(x) = (x2)′ = 2x

 f′(1) = 2.1 = 2

x (x) 4x sin

2



x (x) 4x sin

2







x (4x) sin

2









 

     4 cos x

 

.1 (1) 4 cos



2



  

f (1) 2 1

(1) 4 2







Vậy f (1) 1

(1) 2







Bài tập 6 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng các hàm số sau

có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;

b) y cos2 x cos2 x cos2 2 x cos2 2 x 2sin x2

Lời giải:

a) y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x

Ta có:

y′ = (sin6x)′ + (cos6x)′ + (3sin2xcos2x)′

= 6sin5x(sinx)′ + 6cos5x(cosx)′ + 3.[(sin2x)′cos2x + sin2x(cos2x)′]

= 6sin5xcosx + 6cos5x(−sinx) +3[2sinxcosxcos2x + sin2x.2cosx(−sinx)]

= 6sin5xcosx − 6cos5xsinx + 6sinxcos3x − 6cosxsin3x

= (6sin5xcosx − 6cosxsin3x) + 6sinxcos3x − 6cos5xsinx

= 6sin3xcosx(sin2x − 1) + 6sinxcos3x(1 − cos2x)

= 6sin3xcosx.(−cos2x) + 6sinxcos3xsin2x

= −6sin3xcos3x + 6sin3xcos3x

= 0

 y′ = 0,x

Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x

Cách khác:

sin6x + cos6x = (sin2x)3 + (cos2x)3

= (sin2x + cos2x)3 − 3sin2xcos2x(sin2x + cos2x)

= 13 − 3sin2xcos2x.1

= 1 − 3sin2xcos2x

 y = sin6x + cos6x + 3sin2xcos2x = 1

 y′ = (1)′ = 0

Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x

b) y cos2 x cos2 x cos2 2 x cos2 2 x 2sin x2

              

1 4 1 4

             

2cos sin( 2x) 2cos sin( 2x) 2sin 2x

= sin2x + sin2x – 2sin2x = 0

(Vì cos2 cos 1

   

)

Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x

Cách khác:

1 cos 2x cos 2x cos 2x

1 cos 2x cos 2x 1

y 1, x

  

y 0, x

  

Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x

Bài tập 7 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình f′(x) = 0, biết

rằng:

a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x;

2

 

 ;

Lời giải:

a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x

f′(x) = –3sinx + 4cosx + 5

Do đó: f′(x) = 0

 –3sinx + 4cosx + 5 = 0

 3sinx – 4cosx = 5

sin x cos x 1

   

     

(1) sin x.cos cos x.sin 1

sin(x ) 1

2



     

2



      

2

 

f (x) (1) [sin( x)] 2 cos

2



( x) cos( x) 2 sin



          

         

f (x) 0 cos x sin 0 sin cos x

x

sin sin x



x

x



    



 



      



x

k2

3x 3

k2



    



 





k4 x

3

   





   



k4 x

3



   

Cách khác:

f (x) 1 sin x 2cos

2

 

x

1 sin x 2cos

2

x

1 sin x 2cos

2

f (x) 1 sin x 2cos

2



x (1) (sin x) 2 cos

2



0 cos x 2 sin

x cos x sin

2

x

f (x) 0 cos x sin 0

2

cos x sin cos



x cos x cos

  

     

x cos x cos



x

x



    



 



     



3x

k2

x

k2





 



   



k4 x

   





   



Bài tập 8 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải bất phương trình f′(x) > g′(x)

biết rằng:

f (x)x  x 2, 2

g(x)3x  x 2

b) 3 2

f (x)2x x  3, 3 x

2

Lời giải:

f (x)x  x 2, 2

g(x)3x  x 2 f′(x) = 3x2 + 1

g′(x) = 6x + 1

f′(x) > g′(x)  3x2 + 1 > 6x + 1

 3x2 – 6x > 0

 3x(x – 2) > 0

x 2

x 0





  

f (x)2x x  3,

2

3 x

2

f′(x) = 6x2 – 2x

g′(x) = 3x2 + x

f′(x) > g′(x)  6x2 – 2x > 3x2 + x

 3x2 – 3x > 0

 3x(x – 1) > 0

x 1

x 0





  