Toán 11 bài 1 hàm số lượng giác

Bài 1 Hàm số lượng giác A Các câu hỏi, hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán lớp 11 Đại số a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau ; 6 4   1,5; 2; 3,1; 4,25; 5[.]

Bài 1: Hàm số lượng giác

A Các câu hỏi, hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau: ;

6 4

  1,5; 2; 3,1; 4,25; 5 b) Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung

AM bằng x (rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx (lấy  3,14)

Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy so sánh các giá trị sinx và sin(-x), cosx và

cos(-x)

Lời giải:

sinx = −sin(−x)

cosx = cos(−x)

Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm những số T sao cho f(x + T) với mọi x

thuộc tập xác định của hàm số sau:

a) f(x) = sin x

b) f(x) = tan x

Lời giải:

Với k= −  = − 1 x tan(− =) 0 (thỏa mãn)

Với k=  = 0 x 0 tan 0= (thỏa mãn) 0

Với k 1=  =  x tan( ) =0 (thỏa mãn)

Vậy x { −  thì hàm số ;0; } y= tan x nhận giá trị bằng 0 trên ;3

Suy ra: tan x 1 x k ,(k )

Ta thấy tan x < 0 khi x ;0 ;

Ta có: y sin x sin x khi sin x 0

sin x khi sin x 0







Do đó đồ thị của hàm số y = |sinx| có được từ đồ thị (C) của hàm số y = sinx bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y ≥ 0 (tức là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ Ox)

- Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng y<0 (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox)

- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y<0

Đồ thị y = |sinx| là đường liền nét trong hình dưới đây:

Bài 4 trang 17 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng sin2 x( +  =k ) sin2xvới mọi số nguyên k Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x

Do đó hàm số y = sin2x tuần là hàm tuần hoàn với chu kì 

Xét hàm số y = sin2x trên đoạn  0;

Ta lấy các điểm đặc biệt như sau:

Từ đó ta có đồ thị hàm số y = sin2x trên đoạn  0; , ta tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn

có độ dài  ta được đồ thị hàm số y = sin2x trên R

Bài 5 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị

Bài 6 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá

trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương

Lời giải:

Nhìn đồ thị y = sinx ta thấy trong đoạn [− ; ] các điểm nằm phía trên trục hoành của đồ thị y = sinx là các điểm có hoành độ thuộc khoảng (0; )

Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Từ đó, tất cả các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương là (0+k2 ;  +k2) hay (k2 ;  +k2)với k 

Bài 7 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá

trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm

Điều kiện: cos x 0

Vì 1 cos x 1−   nên kết hợp điều kiện ta có

Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

A Các câu hỏi, hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0 Lời giải:

 là một giá trị của x thỏa mãn 2 sin x – 1 = 0

Hoạt động 2 trang 19 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình

sinx = -2 không?

Lời giải:

Theo Bài 1: Hàm số lượng giác, ta đã biết − 1 sin x 1 , mà – 2 < – 1

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = – 2

Hoạt động 3 trang 21 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

Vậy các nghiệm của phương trình là x=k360 ; x = −  +60 k360 , k 

Hoạt động 5 trang 24 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) tan x = 1;

Vậy các nghiệm của phương trình là x=   k , k

Hoạt động 6 trang 26 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

b) sin 3x = 1;

Lời giải:

a) sin(x 2) 1

3+ =

Vậy các nghiệm của phương trình là x= −  +40 k180 ;x 110 =  +k180 (k  )

Bài 2 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm

số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

x 1 arccos k2

3

(k )2

1cos 2x

21cos 2x



2

    Hay k không thể nhận các giá trị chẵn

Do đó k lẻ nên k = 2m+1

Vậy các nghiệm của phương trình là: x=  +45 k180 ,(k  )

b) Điều kiện: sin 3x 1( − ) 03x 1 k (k−    ) hay x 1 k (k )

Kết hợp với điều kiện:

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác đế loại nghiệm:

Các nghiệm

kx3

được biểu diễn bởi các điểm từ A1 đến A8 trên đường tròn lượng

giác như hình dưới

Với điều kiện x  nên các điểm Ak 1 và A4 bị loại

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A2, A3, A5, A6, A7, A8

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

A Các câu hỏi, hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau

a) 2sinx − 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx

b) 3 tan x 1 0+ = là phương trình bậc nhất đối với tanx

Vậy phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài

Hoạt động 3 trang 32 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nhắc lại:

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;

b) Công thức cộng;

c) Công thức nhân đôi;

d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích

2



b) Công thức cộng:

cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

tan a tan btan(a b)

1 tan a.tan b

+

−c) Công thức nhân đôi:

sin2 =2sin cos 

cos2 cos =  −sin  =2cos – 1 1 2sin= − 

16x arcsin k2

sin 6x

13

Hoạt động 5 trang 35 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào công thức cộng đã học:

sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa

cos (a + b) = cosacosb − sinasinb

sin (a − b) = sinacosb − sinbcosa

cos (a − b) = cosacosb + sinasinb

và kết quả cos sin 2

2 sin sin x cos cos x

2 cos x 2 cos x.cos sin x.sin

x k

(k )4

Bài 4 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx − 3cos2 x = 0;

b) 3sin2x − 4sinxcosx + 5cos2x = 2;

=



+ − = 

Với t = 3tan x=3 =x arctan3 k ,(k+   ) (tm)

Vậy các nghiệm của phương trình là x k ,(k )

Với t = 1 tan x 1 x k ,(k ) (tm)

4



Với t = -5 tan x= −5 =x arctan( 5)− + k ,(k ) (tm)

Vậy các nghiệm của phương trình là x k ,(k )

Trường hợp 1: 2

cos x= 0 sin x =1Khi đó ta 0 + 0 - 4 = - 4 (Luôn đúng)

sin3xsin – cos3x cos 1  =

cos3x cos −sin 3x sin = −1

135cos

tan(3x 1)

−tan(2x 1) cot(3x 1)

+

Ôn tập chương I Bài 1 trang 40 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?

    nên f ( x)−  −f (x) không là hàm số không lẻ

Bài 2 trang 40 SGK Toán lớp 11 Đại số: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị

của x trên đoạn 3 ;2

a) Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3

Dấu " = " xảy ra khi cos x 1=  =x k2 (k  )

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1

Dấu " = " xảy ra khi sin x 1

2

x 1 arcsin k2

32

Vậy các nghiệm của phương trình là x 2 k2 ,(k )

Vậy phương trình có các nghiệm là: x k2 , x k2 , k

51cos

sin x sin +cos x cos =cos

2cos x 2 (L)

Bài 7 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phương trình cos 4x tan 2x

cos 2x = có số nghiệm thuộc khoảng 0;

Bài 8 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sinx +

sin2x = cosx + 2cos2x là:

2tan x 1

Bài 9 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan2x + 5tanx + 3 = 0 là: