HH12 c3 b3 PT DUONG THANG p1 2022

Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A, B thì là một vectơ chỉ phương.. Cho đường thẳng có phương trình 1 thì là một vectơ chỉ phương của.. FB: Duong HungWORD XINH -Full Chuyên đề dạy thêm

FB: Duong Hung

Nếu là vectơ chỉ phương của thì cũng là vectơ chỉ phương của

Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A, B thì là một vectơ chỉ phương.

Cho đường thẳng có phương trình (1) thì

là một vectơ chỉ phương của

Với điểm thì trong đó t là một giá trị cụ thể tương ứng với từng điểm  

FB: Duong Hung

FB: Duong Hung

WORD XINH mức 7+

FB: Duong Hung

WORD XINH

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12

2021-_Bài tập minh họaBài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường

 Theo phương trình chính tắc của đường thẳng dthì ta thấy dcó một vectơ

② Nếu có trình tham số của dạng: thì có 1 VTCP là

FB: Duong Hung

 Vì đường thẳng d song song với trục Oy nên vectơ chỉ phương của d cùng

phương với vectơ đơn vị j 0; 1; 0 Vậy đường thẳng d có một vectơ chỉ

¡ Một véc tơ chỉ phương của D là

 Vậy u  5; 2; 2   cũng là một VTCP của đường thẳng đã cho

_Bài tập minh họaBài tập rèn luyện:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  d : 3 12 14

FB: Duong Hung

Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm M2;3;4 Gọi A, B , C lần lượt là hình chiếu

vuông góc của M lên các trục Ox , Oy , Oz Viết phương trình mặt phẳng ABC 

Vì điểm thuộc mặt phẳng Oxy nên cao độ của điểm đó bằng 0 suy ra loại hai 

điểm N và P Mặt khác điểm nằm trên mặt phẳng  P nên chỉ có điểm Q có tọa

FB: Duong Hung

vectơ chỉ phương của d ?

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M a b ; ;1 thuộc mặt phẳng

 P : 2x y z   3 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

nào là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d

Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho phương trình mặt phẳng

 P :2x 3y4z  Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng5 0

FB: Duong Hung

WORD XINH

mức 7+

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 3 2 x y z  5 0

Điểm nào dưới đây thuộc  P ?

a    là một vec tơ chỉ phương

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P đi qua điểm

Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A0; 1; 2   và B2;2;2

Vectơ a nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

A a  2;1;0 B a  2;3;4 C a    2;1;0 D a  2;3;0

Lời giải

Ta có: AB 2;3;4

nên đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là a  2;3;4

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : 3x 2y2z 5 0

và  Q : 4x5y z   Các điểm , 1 0 A B phân biệt cùng thuộc giao tuyến của hai

mặt phẳng  P và  Q Khi đó AB cùng phương với véctơ nào sau đây?

FB: Duong Hung

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  nằm trong mặt

phẳng   :x y z   3 0 , đồng thời đi qua điểm M1;2;0 và cắt đường thẳng

Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho điểm N1;1; 2 

Gọi A,B ,C lần lượt là hình chiếu của N trên các trục tọa độ Ox , Oy , Oz Mặt phẳng ABC có phương trình là

2 2

M  M   

 , chọn A3;1;1d

và gọi B làhình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oyz  B0;1;1

Lại có

3 90; ;

2 2

BM   

Khi đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm sẽ cùng

phương với vectơ BM nên chọn đáp án

B.

FB: Duong Hung

 Gọi d là đường thẳng đi

qua M , cắt và vuông góc với  Vectơ chỉ phương của d là:

và A 1; 1;2 Đường thẳng  cắt d và  P lần lượt tại

M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN Một vectơ chỉ phươngcủa  là:

FB: Duong Hung

 P : 2x y 2z  Đường thẳng 1 0  đi qua E  2; 1; 2 , song song với  P đồng

thời tạo với d góc bé nhất Biết rằng  có một véctơ chỉ phương um n; ; 1 

Mặt phẳng  P có vec tơ pháp tuyến n  2; 1; 2 

và đường thẳng d có vec tơ chỉ

phương v  4; 4;3 

Vì  song song với mặt phẳng  P nên un 2m n   2 0 n2m2

Mặt khác ta có

  .cos ;

u v d

FB: Duong Hung

Làm theo cách này thì không cần đến dữ kiện: đường thẳng  đi qua E  2; 1; 2 

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

Giả sử M   ,1 N   sao cho MN là2

đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng  và 1  Tính MN2 

s t

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có phương trình

đường phân giác trong góc A là:

x y z

đường thẳng AB và điểm N1;1;0 thuộc đường thẳng AC Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC

FB: Duong Hung

D D

D

x y z

Câu 25: Cho 2 mặt cầu        

d là đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu trên, cắt đoạn thẳng nối

tâm hai mặt cầu và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất Nếu ua; 1; b

Vì d tiếp xúc với hai mặt cầu, đồng thời cắt đoạn thẳng nối hai tâm I I nên d 1 2

phải tiếp xúc với hai mặt cầu tại A d I I1 2

FB: Duong Hung

FB: Duong Hung

WORD XINH

mức 7+

2 242

x y z t

AA, bởi vậy:

x t

y t z

51

; hay

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M   2; 2;1 , A1;2; 3  và

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Gọi  P là mp đi qua M và vuông góc với d , khi đó  P chứa 

Mp  P qua M   2; 2;1 và có vectơ pháp tuyến n P  u d 2;2; 1 

nên có phươngtrình:

WORD XINH

FB: Duong Hung

x y z t

Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD , suy ra H là trung điểm

AA, bởi vậy:

x t

y t z

51

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

_Bài tập minh họaBài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

 Ta có:

22

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , trục Ox có phương trình tham số là

Ⓐ

10

x y

x t y z

x t y z

 Trục Ox đi qua O0;0;0 và nhận i 1;0;0 làm vectơ

chỉ phương nên có phương trình tham số là

00

x t y z

WORD XINH

FB: Duong Hung

nên phương trình chính tắc của

_Bài tập minh họaBài tập rèn luyện:

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho điểm A   1; 3;2 và mặt phẳng P x:  2y 3z 4 0 ,

Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình là

Đường thẳng qua A   1; 3;2 vuông góc với mặt phẳng  P x:  2y 3z 4 0 nên có

WORD XINH

FB: Duong Hung

Vì  có vectơ chỉ phương a  4; 6;2  nên  cũng nhận vectơ 1 2; 3;1

Đường thẳng đi qua điểm A3;0; 4  và có véc tơ chỉ phương u5;1; 2 



có phươngtrình

Chọn D

WORD XINH

FB: Duong Hung

qua M vtcpu

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P x: 2y 3z  Trong3 0

các véctơ sau véc tơ nào là véctơ pháp tuyến của  P ?

A n    1; 2;3 B n   1; 2;3 C n  1; 2; 3  D n  1;2;3

Lời giải Chọn

B.

WORD XINH

FB: Duong Hung

Câu 9: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M1;1;2 và vuông góc với mặt

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  ud nP 1; 2;3 

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A3; 2;1  và mặt phẳng

 P x y:  2z 5 0 Đường thẳng nào sau đây đi qua A và song song với mặtphẳng  P ?

Vì d đi qua điểm A3; 2;1  nên loại B,

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 4;0;1 và B   2;2;3

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

AB?

A 3x y z    1 0 B 6x 2y 2z1 0

C 3x y z   0 D 3x y z   6 0

Lời giải

Gọi  P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Véc tơ pháp tuyến của  P là n P AB  6;2; 2

 P đi qua trung điểm M của AB Tọa độ trung điểm M1;1;2

Vậy phương trình trung trực của đoạn thẳng AB là:  P : 3x y z   0

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A1;2; 3 , B  3;2;9 Mặt phẳng trung

trực của đoạn thẳng AB có phương trình là:

A 4x12z10 0 B D

C x 3z10 0 D x3z10 0

Lời giải Chọn C

Trung điểm của đoạn thẳng AB là I  1;2;3

Ngoài ra AB   4;0;12

.Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I  1;2;3, nhận n1;0; 3 



làm vecto pháp tuyến nên có phương trình 1x1 3z 3 0  x 3z10 0

Câu 13: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A3; 1; 2  và vuông góc với

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Đường thẳng d đi qua điểm A3; 1; 2  nhận vectơ pháp tuyến n  P 1;1; 3 

là vectơchỉ phương nên

Đường thẳng đi qua điểm M0;1; 1 

và song song với đường thẳng d có phương

Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là u    1;2; 1 

Đường thẳng đi qua điểm M0;1; 1 

và song song với đường thẳng d có phương

x y

x y

x

y t z

x t y z

Trục Oy qua O0;0;0 và có vectơ chỉ phương j 0;1;0



nên có phương trình0

1;1; 2

A  , biết  // P  và  cắt d

WORD XINH

FB: Duong Hung

Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;0; 3 ,  B3; 1;0  Viết phương

trên mặt phẳngOxy

WORD XINH

FB: Duong Hung

Lời giải Chọn C

Dễ thấy B3; 1;0   Oxy Gọi A là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng

Oxy, ta có A1;0;0 Đường thẳng d đi qua hai điểm , A B nên có véc-tơ chỉ

phương là  2; 1;0 

1 20

Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;0;1, B  1;2;1 Viết phương trình đường

phẳng OAB 

A

1:

nên tam giác OAB vuông tại O

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm I0;1;1; của đoạn AB

Ta có OA OB  ,     2; 2; 2 

Gọi u là véctơ chỉ phương của đường thẳng  thì u  1;1; 1 

11

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Lời giải Chọn A

Đường thẳng d có VTCP u 2;1;3



.Mặt phẳng  P có VTPT n  1; 2;1

mà I P  t1 I1;1;1

.Suy ra phương trình  có dạng:

Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  là giao tuyến của hai

mặt phẳng  P z   và : 1 0  Q x y z:    3 0 Gọi d là đường thẳng nằm trong

x y z

 Phương trình của đường thẳng d là

A

31

x t

y t z

x t

y t z

d'

d Q

P I

Đặt n P 0;0;1 và n Q 1;1;1 lần lượt là véctơ pháp tuyến của  P và  Q

Do     P  Q nên  có một véctơ chỉ phương u n n P, Q   1;1;0

WORD XINH

FB: Duong Hung

z y x

x t

d y t z

Măt phẳng Oyz có phương trình 0 x 

Gọi A là giao điểm của d và mặt phẳng Oyz suy ra  A0; 7; 5  

.Chọn M2; 3;1 d

Gọi H là hình chiếu của M lên Oyz suy ra  H0; 3;1 

Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng Oyz là đường thẳng d đi qua  H

Câu 23: Trong không gian f x 

, phương trình nào dưới đây không phải là phương trình

đường thẳng đi qua hai điểm A4;2;0, B2;3;1

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Lời giải Chọn C

Vectơ chỉ phương của AB là AB  2;1;1

Xét đáp án C ta có: M1;4;2 không nằm trên đường thẳng AB

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;2;3 và hai mặt phẳng

 P : 2x3y , 0  Q : 3x4y Đường thẳng qua 0 A song song với hai mặt phẳng

 P ,  Q có phương trình tham số là

A

123

x y

x t y

x

y t z

Vì đường thẳng cần tìm song song với hai mặt phẳng  P và  Q nên

x y

x y

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

 đi qua điểm A1;2; 1 

nên phương trình đường thẳng  là

Vectơ chỉ phương của d là u  1;1; 1 

Gọi  là đường thẳng cần tìm và A d1, B d2 Suy ra:

A a

Thay A1;0;1 vào đường thẳng d ta thấy A d

Vậy phương trình đường thẳng

WORD XINH

FB: Duong Hung

WORD XINH

FB: Duong Hung

, từ đó suy ra d có một vecto chỉ phương là u d1; 4; 2  

và đi qua M2; 1; 0 nên có phương trình

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M5; 3; 2  và mặt phẳng

 P x:  2y z    Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm 1 0 M và vuônggóc  P

WORD XINH

FB: Duong Hung

d qua điểm M5; 3; 2  và vuông góc  P nhận u   1; 2;1 là vtcp có dạng5

3 22

a b

phẳng  P , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud 2;1;3

Phương trình tham số của đường thẳng

1 2:

u n u

.Phương trình chính tắc của đường thẳng

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường vuông góc chung

của hai đường thẳng

qua điểm A1;1;1 và có vectơ chỉ phương u   1; 2;2 Đường phân giác của góc

nhọn tạo bởi d và  có phương trình là

WORD XINH

FB: Duong Hung

mức 7+

A

1 71

Phương trình tham số đường thẳng

A

1 210

y t z

x

y t z

x t

y t z

y t z

Đường thẳng  qua điểm M1; 1; 2  và có vectơ chỉ phương: u  2; 1; 1

.Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến  k  0; 0; 1

Gọi  P là mặt phẳng chứa  và vuông góc mặt phẳng Oxy , thì   P qua M và

WORD XINH

FB: Duong Hung

x y d

0

x t

d y t z

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;2;3 và mặt phẳng

 P :2x y  4z   , đường thẳng d đi qua điểm 1 0 A, song song với mặt phẳng  P ,

đồng thời cắt trục Oz Viết phương trình tham số của đường thẳng d

A

1

2 63

WORD XINH

FB: Duong Hung

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A a ;0;0, B0; ;0b  , a b  , 0

Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm O , A, B là một đường thẳng cóphương trình là

A

22

a x b y

x y

Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm O , A, B là trục của đường tròn ngoại

tiếp tam giác OAB , mà A a ;0;0, B0; ;0b  nên tam giác OAB vuông tại O Do đó

đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy tại trung điểm

a x b y

WORD XINH

FB: Duong Hung

Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1;1;1, B  1;2;0, C2; 3;2  Tập hợp tất

cả các điểm M cách đều ba điểm A, B , C là một đường thẳng d Phương trìnhtham số của đường thẳng d là:

WORD XINH

FB: Duong Hung

M cách đều hai điểm A, B nên điểm M nằm trên mặt trung trực của AB

M cách đều hai điểm B , C nên điểm M nằm trên mặt trung trực của BC

Do đó tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A, B , C là giao tuyến của

hai mặt trung trực của AB và BC

Gọi  P ,  Q lần lượt là các mặt phẳng trung trực của AB và BC

3 10; ;

Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A3;0;0, B0;6;0, C0;0;6

Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trực tâm của tam

giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC 

WORD XINH

FB: Duong Hung

a b c

phẳng ABC có vecto chỉ phương  u181 AB AC,  2;1;1

WORD XINH

FB: Duong Hung

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A3; 2;4 , B5;3; 2 , C0; 4;2,

đường thẳng d cách đều ba điểm A , B , C có phương trình là

A

826352234273

Khi đó đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương

1

x

d y t z

1

x

d y t z

1

x

d y t z

Hay AB có véc-tơ chỉ phương k  0;0;1

Mặt phẳng ABCD có một véc-tơ pháp tuyến:  OA OB  ;   0;4;0 4 0;1;0 

x t y z

WORD XINH

FB: Duong Hung

Vì điểm D có hoành độ âm nên D  3;0;1

Vì tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm BD, nên I   1;0; 1 

Đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có véc-tơ pháp

tuyến là j 0;1;0



, nên phương trình đường thẳng d là:

1:

1

x

d y t z

qua điểm A1;2;3 và vecto chỉ phương u 0; 7; 1   



Đường phân giác của góc

nhọn tạo bởi d và  có phương trình là :

ngược hướng với vtcp u 1

Chuẩn hóa để tìm vtcp của đường phân giác:

5 52

là vtcp của đường phân giác tạm gọi là 'd Loại C và D

Dễ thầy d và  và 'd cùng đi qua điểm A1;2;3