4 DUONG TIEM CAN DH 2022

Tìm tập xác định của hàm số Tìm các giới hạn của khi x dần tới các biên của miền xác định và dựa vào định nghĩa của các đường tiệm cận để kết luận Chú ý: Đồ thị hàm số f chỉ có thể có ti

◈- Ghi nhớ ②

WORD XINH

Tìm tập xác định của hàm số

Tìm các giới hạn của khi x dần tới các biên của miền xác định và dựa vào định nghĩa của các đường tiệm cận để kết luận

Chú ý:

Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận ngang khi tập xác định của nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến x có thể tiến đến hoặc

Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận đứng khi tập xác định của nó có một trong các dạng sau: (a;b) ,[a;b) , (a;b], (a ; ) ; ( a) hoặc là hợp của các tập hợp này và tập xác định không có một trong các dạng sau: R , [c; ), ( c], [c;d]

Tiệm cận ngang đối với hàm phân thức:

Nếu bậc của P(x) bé hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành độ

Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm cận ngang là đường thẳng : trong đó A, B lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ lớn nhất của P(x) và Q(x)

Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang

Ⓒ Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.

Ⓓ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Lời giải Chọn C

, liên tục trên mỗi khoảng xác định

và có bảng biến thiên như hình vẽ

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Ⓐ Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

 PP nhanh trắc nghiệm

 Quan sát nhanh từ BBT, sử dụngđịnh nghĩa dễ thấy đồ thị có 2 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang

có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và

có bảng biến thiên như hình bên dưới Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả baonhiêu đường tiệm cận?

Lời giải

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận

có bảng biến thiên như hình bên

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y= f x( )

có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho bằng:

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vậy, tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 3

Câu 10:Cho hàm số y= f x( )

xác định và có đạo hàm trên ¡ \{ }±1

Hàm số có bảng biếnthiên như hình vẽ dưới đây Hỏi hàm số y= f x( )

có bao nhiêu tiệm cận?

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị có hai tiệm cận đứng là x=1,x= −1

và haitiệm cận ngang là y= −3;y=3

Câu 11:Cho hàm sốy= f x( )

có bảng biến thiên như hình vẽ

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 12:Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ.

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận

B Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x=2

C Tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng x=1

D Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho bằng

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy, tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 3

Câu 14:Cho hàm số y= f x( )

có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0)

và đồng biến trên khoảng (0;+ ∞)

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng −1

Hàm số có một điểm cực trị

có bảng biến thiên như hình bên dưới

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y= f x( )

x x

có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận (2

tiệm cận ngang và 1

tiệm cận đứng)

◈-Phương pháp: Sử dụng định nghĩa.

Đồ thị hàm đa thức khơng cĩ tiệm cận.

Hàm phân thức dạng

Đồ thị hàm số luơn cĩ 1 TCN là và 1 TCĐ

Tìm tiệm cận ngang của hàm phân thức

Nếu bậc tử bé hơn bậc mẫu cĩ TCN là Nếu bậc của tử bậc của mẫu thì đồ thị cĩ TCN

Nếu bậc của tử bậc của mẫu hoặc cĩ tập xác định là 1 khoảng hữu hạn hoặc thì khơng cĩ TCN

_Tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức

Hàm phân thức mà mẫu cĩ nghiệm nhưng khơng là nghiệm của tử thì đồ thị cĩ tiệm cận đứng ( với đk hàm số xác định trên khoảng ) Tìm nghiệm mẫu

Mẫu vơ nghiệm đồ thị hàm số khơng cĩ TCĐ.

Mẫu cĩ nghiệm

Thay vào tử, nếu thì ta kết luận là TCĐ.

Thay vào tử, nếu (tức là là nghiệm của cả tử và mẫu thì ta tính (dùng máy tính Casio để tính giới hạn).

Nếu thì ta kết luận là TCĐ.

Nếu thì ta kết luận khơng là TCĐ

Tìm số tiệm cận của những hàm số tường minh thường gặp▣ Dạng ②

WORD XINH

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Đồ thị hàm số

3 12

x y x

− +

=+

có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là

Ⓒ x= −2 và y=3

Ⓓ x=2 và y=1

.

Lời giải Chọn A

 TCĐ

221

; TCN

331

TCĐ: nghiệm mẫu

Câu 2: Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

2

1

3 2

x y

1 0

x x

x x

x x

x y x

−

=+ Ⓓ

2

3 11

x y x

−

=

−

Lời giải Chọn C

WORD XINH

 Ⓓ TCĐ x= ±1

 Có thể dùng Casio kiển tra

Câu 4: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

x y

x

-=+

=+

33

x y x

−

=+

3

x y x

−

=

−

Lời giải

Đồ thị hàm phân thức

ax b y

cx d

+

=+ với ad bc− ≠0

luôn có tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang lần lượt là

d x c

= −

và

a y c

−

=

− thỏa mãn bài toán

Câu 3: Đồ thị hàm số

1 32

x y

x

−

=+

có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượtlà:

= −

và

a y c

=

Hàm số

1 32

x y

x

−

=+ được viết lại

2

x y x

− +

=+

Do đó đồ thị hàm số có có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x= −2

và y= −3

Câu 4: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

23

y x

=

− +

có phương trình là

x y

x y

−

=

− là

6 3

x y

6 3

x y

là tiệm cận đứng của đồ thị

y x

=

− Số tiệm cận của đồ thị hàm số là

x y

WORD XINH

Câu 9: Đồ thị hàm số

2 2

43

x y

-=+

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

4lim

;

2 2 0

4lim

Câu 10:Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2

22

x y x

+

=

− là

2

1 22

;

2 2

2

1 22

suy ra đường thẳng y=0

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

hàm số

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận

Câu 11:Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 2

4

3 4

x y

4

3 4

x y

4lim lim

3 4

x y

4lim lim

3 4

x y

4

3 4

x y

4

3 4

x y

−

=

− −

không có tiệm cận ngang

Câu 12:Số đường tiệm cận của đồ hàm số

2 23

x y x

+

=

−

WORD XINH

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận

Câu 13:Cho hàm số

22

x y x

=

−

có đồ thị là đường cong ( )C Khẳng định nào sau đâyđúng?

A ( )C có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang

B ( )C có hai tiệm cận đứng và không tiệm cận ngang

C ( )C có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang

D ( )C có hai tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang

Lời giải

Hàm số

22

x y x

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x= − 2;x= 2

Vậy ( )C có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang

Câu 14:Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

41

x y

x

−

=

− là

nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận ngang

Câu 15:Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 2

3 24

3 2lim

1 11

x x

+ −

=+ là

2 1

9 3lim

1

9 3lim

Vậy đồ thị hàm số

2

9 3

x y

x x

+ −

=+

có hai đường tiệm cận

Câu 19:Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2

2 1

3 2

x y

và

3 172

.Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là 3

Câu 20: Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2

3 21

x y x

+ −

=

− là

x y

x y

Thay 2 giá trị

14

x x

=



 = −



lên biểu thức trên tử là x−7

thấy đều làm cho tử không xác định, suy ra không có TCĐ

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận

Câu 22:Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 2

4

3 4

x y

Câu 23:Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng?

A

1

y x

=

12

y x

=-

11

x y x

+

=-

=

có tiệm cận đứng x=0

1lim lim

y x

=-

có tiệm cận đứng x=2

1lim lim

1

x y

x y x

+

=-

có tiệm cận đứng x=1

x x

+

=

có tập xác định là R nên không có tiệm cận đứng

Câu 24:Tìm m và n lần lượt là số tiệm cận đứng và số tiệm cận ngang của đồ thị hàm

số

2

4 2

x y

x x

+ −

=+

40; 1

4 2lim

x x

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 _Bài tập minh họa:

Câu 1. Tìm m

để đồ thị của hàm số

1

mx y

x m

−

=+

có đường tiệm cận đứng đi qua điểm

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để đồ thị hàm số

2

12

x y

x y mx

+

=

+ có hai tiệm cận ngang

Với m>0

:

Ta có:

 PP nhanh trắc nghiệm

 Loại ngược bằng cách thay

nhanh đáp án vào mẫu số để xác định 2 tiệm cận ngang.

WORD XINH

2

11

Lời giải Chọn B

Điều kiện:

mx − + >x

.

Nhận thấy đồ thị hàm số đã cho có đúng bốn đường

tiệm cận khi đồ thị có đúng hai đường tiệm cận ngang và

hai đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng khi

khi đồ thị có đúng hai đường tiệm cận

ngang và hai đường tiệm cận đứng

6

m m

có tiệm cậnđứng

mx y x

-=+

có tiệmcận đứng:

ax y bx

+

=-

có tiệm cận đứng là x=2 và tiệm cận ngang

ax y bx

+

=-

có tiệm cận đứng là

2

x b

=

và tiệm cận ngang là

a y b

=

a b

Câu 4: Tìm m để đồ thị hàm số

2

24

mx y x

đồ thị có đúng 1 đường tiệm cận đứng ⇔

x y

x m

+

=+

có hai tiệmcận đứng

x y

x m

+

=+

có hai tiệm cận đứng khi phương trình

m m

a x y bx

+

=-

có tiệm cận đứng là x=2và tiệm cận ngang

là y=3 Giá trị của a b+ bằng

Lời giải

+ Điều kiện để đồ thị hàm số

12

a x y bx

+

=-

có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là

ax

y= +-

không có tiệm cận

Tập xác định của hàm số

12

ax y bx

+

=-

a y b

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Theo giả thiết ta có

a x y bx

+

=-

có

2

x b

mx y

+

=

−với tham sốm≠0

.Giao điểm của hai đường tiệm cận của

đồ thị hàm số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

mx y

WORD XINH

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3 2

2

3 2

mx y

A

214

m m

m m

m m

2

3 2

mx y

−

=

− +

có hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi x=1,x=2

không là nghiệm của phương trình :

B Không có m thỏa mãn

C

21

m m

Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng trong hai trường hợp:

( ) ( )

mx x

−

=

Có tất cả bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số có

đúng hai đường tiệm cận?

Lời giải

TH1:

10

3 25

+ Đồ thị hàm số

2 2

3 25

nên có 10 giá trị nguyên của

tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 15:Cho hàm số

2

36

x y

+

=

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm

số chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang?

x m

x y x

+

=

− Hàm số chỉ có tiệm cận đứng là x=3

và tiệm cận ngang0

WORD XINH

Câu 16:Đồ thị hàm số

2 2

x y

1 4lim lim

2 3

x y

Đề kiểm tra ôn tập:

và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x=1

B Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

C Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. D Hàm số không có đạo hàm tại x= −1

x y x

cx d

+

=+

có tiệm cận ngang là đường thẳng

a y c

=.

Câu 3: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1 4

x y

x y x

x y x

x y x

x y x

− +

=

− +

Lời giải Chọn A

x y x

+

=

−

Câu 5: Cho hàm số

1

x y x

+

=

− Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:

+

−

Vậy x=1

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 6: Đồ thị hàm số

12

+

=

−

x y

x

1lim lim

x

nên x=2

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x x

−

=

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận là các đường thẳng x=1

C Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận là các đường thẳng x= −1

;x= −3

và y=0

.

WORD XINH

D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=1

và tiệm cận ngang y=0

.Lời giải

2

x y

Điều kiện:

13

x x

≠



 ≠



−

=+

?

A

12

12

32

32

−

=+

m m

m m m

m m

WORD XINH

Câu 12: Cho hàm số

( )

có bảng biên thiên như sau:

Kết luận nào sau đây là đúng?

có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Ta có:

( ) ( )

2

x x

Lim f x Lim f x

có bảng biến thiên như sau.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đổ thị hàm số đã cho là

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Như vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 tiệm cận.

Câu 15: Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên ¡ \ 1{ }

và có bảng biến thiên như sau:

=

− là

11

x

x x

11

x

x x

là đường tiệm cận ngang

Câu 17: Đồ thị hàm số

2

11

x y x

x y

Câu 18: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị

A m<1

B

01

m m

044

m m

m m

2

y=

Lời giải

Tập xác định D=¡

Ta có:

1lim

2

x

m y

2

x

m y

2

30

01

là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị có ba tiệm cận đứng là: 2 3

2, ,

Câu 24: Cho hàm số

2 2

có đồ thị ( )C

(,

có một tiệm cận đứng nên phương trình

.

Câu 25: Cho hàm số

12