Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI với hệ số THỰC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC1.. Căn bậc hai của một phức Định nghĩa Cho số phức w... PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình.. Tính toán biểu thức nghiệm 1

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

1 Căn bậc hai của một phức

Định nghĩa

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn 2



một căn bậc hai của w

Tìm căn bậc hai của số phức w

 w là số thực.

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là i w và

i w

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là w và  w

 w a bi  a b,   , b0

Nếu z x iy  là căn bậc hai của w thì x iy 2  a bi

Do đó ta có hệ phương trình:

2 2

2x







y b

Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai

của w

2 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình 2

0

az bz c a b, ,c;a0

Ta có  b2 4ac

 Nếu  0 thì phương trình có nghiệm thực

2

 b x a

 Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân

biệt:

1

2

  

 b

x

  

 b x

a

 Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân

biệt:

1

2

  

 b i

x

2

  

 b i x

a

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai ax2bx c 0 a0 có hai nghiệm

Nhận xét:

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai

là 0 +) Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

1



luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt) với n nguyên dương.

phân biệt x , 1 x (thực hoặc phức) thì2

1 2

1 2









b

a c

P x x

a

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình Tính toán biểu thức nghiệm

1 Phương pháp giải

Cho phương trình:

2  0

az bz c a b, ,c;a0

 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực

 Áp dụng các phép toán trên tập số phức

để biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình 2

a) Giải phương trình trên tập số phức b) Tính z1  z2

Hướng dẫn giải

a) Ta có:   ' 1 54 2i 2

Phương trình có hai nghiệm là:

1 2 2

z i ; z2  2 2i

1  2  2 2 2 2

Suy ra z1  z2 2 2 2 2 4 2 

2 Bài tậ

Bài tập 1 Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z2 1 z z  ?

A 1 3

2

2



C 1 3

2



D 1 2

2

 i

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có z2 1 z z 

2

i

Bài tập 2 Phương trình 2

0

z az b a b,   có nghiệm phức là 3 4 i Giá trị của a b bằng

Hướng dẫn giải

Chọn C

Cách 1: Do z 3 4i là nghiệm của phương trình z2az b 0 nên ta có:

Chú ý: Nếu z là0 nghiệm của phương trình bậc hai với hệ

3 4 i2a3 4 i  b 0 3a b  7  4a24i0

Do đó a b 19

Cách 2: Vì z1 3 4i là nghiệm của phương trình z2az b 0 nên

2  3 4

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có 1 2

1 2

 









   

19 25

3 4 3 4







a b b

số thực thì z cũng0

là nghiệm của phương trình

Bài tập 3 Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 0 z26z34 0 Giá trị của

0 2

Hướng dẫn giải

Chọn A

ra có  ' 25 5i Phương trình có hai nghiệm là 2 z 3 5i; z 3 5i

Do đó z0  3 5i z0 2 i   1 4i  17

Bài tập 4 Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 z2 2z 5 0

Tọa độ điểm biểu diễn số phức

1

7 4 i

z trên mặt phẳng phức là

A P3; 2 B N1; 2  C Q3; 2  D M1;2

Hướng dẫn giải

Chọn A

1 2

 



      



Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z1 1 2i Khi đó:

   

2 2 1

7 4 1 2

3 2

i

Vậy điểm biểu diễn của số phức là P3; 2

Bài tập 5 Gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2

z z Giá trị của biểu thức

z112019z212019 bằng

A 21009 B 21010 C 0 D 21010

Hướng dẫn giải

Chọn D

2

2

2

 



 



Khi đó ta có: z112019z212019  1 i20191 i2019

    21009     21009

1    2 1009 1   2 1009

 i i   i  i

 1009       1010  2 505 1010 1010

Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng

1 Phương pháp giải

Định lí Vi-ét: Cho phương trình:

2  0

az bz c ; , ,ca b   ; a 0

có hai nghiệm phức z , 1 z thì 2 1 2

1 2

b

a c

z z

a



 







Ví dụ: Phương trình z2 4z24 0 có hai nghiệm phức z , 1 z nên2

1 2 4

z z  ; z z 1 2 24

b

a

2 Bài tập

Bài tập 1: Gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 2z  Giá trị của biểu thức5 0

2 2

1 2

z z bằng

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi z , 1 z là nghiệm của phương trình 2 z2 2z 5 0

Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2

1 2

2

z z









Bài tập 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 2i ?

A z2 2z 3 0 B z2 2z 5 0

C z2 2z 5 0 D z22z 3 0

Hướng dẫn giải

Chọn C

Chúng ta có thể giải từng phương trình:

+) 2

z 12 2i2

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên

phương trình bậc hai có nghiệm 1 2i thì nghiệm còn lại là 1 2i

Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5

Vậy số phức 1 2i là nghiệm của phương trình z2 2z 5 0

+) z22z 5 0

 2 2

1 2

  

1 2

  

+) z2 2z 5 0

z 12 4i2

1 2

  

1 2

  

+) 2

z 12 2i2

Bài tập 3: Kí hiệu z , 1 z là nghiệm phức của phương trình 2 2z24z  Tính giá trị biểu thức3 0

Pz z i z z

2

2

P 

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 2z2 4z 3 0

Theo định lý Vi-ét ta có

1 2

1 2

2 3 2

z z

 











2

2

 

Bài tập 4: Gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình2

z  z  Giá tị của P z 13z bằng23

Hướng dẫn giải

Chọn A

Cách khác:

Ta có:

2

z 22 3i2

Theo định lý Vi-ét ta có 1 2

1 2

4

z z







 Suy ra 3 3    2 2

    2 

1 2 1 2 3 1 2

4 4 3.7 20

1

2

  

 

 



Do đó:

3 3

1  2

20



Bài tập 5: Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 3z2 2z27 0 Giá trị của

1 2 2 1

z z z z bằng

Hướng dẫn giải

Chọn A

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có 1 2

2 3

z z  và z z 1 2 9

Mà z1 z2  z z1 2  z z1 2  9 3

Do đó 1 2 2 1 1 2  1 2

2

3

Bài tập 6: Cho số thực a 2 và gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 2z a  0

Mệnh đề nào sau đây sai?

A z1z2 là số thực B z1 z2 là số ảo

C 1 2

2 1

1 2

2 1

z  z là số thực

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có z1 z2 b 2

a

   Đáp án A đúng

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp Gọi z1 x yi; ,x y   là

một nghiệm, nghiệm còn lại là z2  x yi

Suy ra z1 z2 2yi là số ảo Đáp án B đúng

 2

2 2

Vậy C là đáp án sai và D đúng

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

1 Phương pháp giải

 Nắm vững cách giải phương trình bậc

hai với hệ số thực trên tập số phức

 Nắm vững cách giải một số phương trình

quy về bậc hai, hệ phương trình đại số

bậc cao;…

Ví dụ: Giải phương trình: z4 z2 6 0 trên tập

số phức

Hướng dẫn giải

Đặt z2  , ta có phương trình:t

6 0

2

t

t





     

 Với t 3 ta có z2  3 z 3 Với t 2ta có z2  2 zi 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm

3

2 Bài tậpmẫu

Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2z4 3z2 2 0 là

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

2

2 2 2

2

2 2

2 2

z z z

 











 



Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng

Bài tập 2: Kí hiệu z , 1 z , 2 z , 3 z là bốn nghiệm phức của phương trình 4 z44z2 5 0 Giá trị của

z  z  z  z bằng

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

2

2

1 1 1

5 5

5

z z z

z





 

 



 



Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z  , 1 1 z  , 2 1 z3 i 5, z4 i 5

Bài tập 3: Gọi z , 1 z , 2 z , 3 z là các nghiệm phức của phương trình 4 z2z24z2z12 0 Giá trị của biểu thức S z12 z22 z32 z42 là

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: z2z24z2z12 0

Đặt t z 2 , ta có z 2 2

4 12 0

6

t

t





     



Suy ra:

1 2 2

4

1 2

2

z z

z

i z





 





  



2

S               

Bài tập 4: Gọi z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2

4

z z

z   Khi đó z1z2 bằng

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện: z 0

Ta có:

2

           

2

4 0

Vậy 1 2

1 1

Bài tập 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình z4az2  có bốn nghiệm 1 0 z , 1 z , 2 z , 3 z thỏa4 mãn  2   2   2   2 

A

1

19

2

a

a







 



B

1 19 2

a a







 



C

1 19 2

a a







 



D

1 19 2

a a







 



Hướng dẫn giải

Chọn B

Nhận xét: z2 4 z2  2i 2 z2i z   2i

Đặt f x z4az21, ta có:

 2   2   2   2  4   4      

16i4 4ai2 1 16  i4 4ai2 1 17 4a2

Theo giả thiết, ta có  2

1

2

a a

a







 



Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z201810iz201710iz11 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2z 2

Hướng dẫn giải

Chọn D

11 10 11 10

 

 

2

11 10

iz



Đặt tz t  ta có phương trình 0 2017 2

2

100 220 121

121 220 100

t



Nếu t 1 VT 1; VP 1

Nếu t 1 VT 1; VP 1

Nếu t 1 z 1