Giáo án giải tích lớp 12 chuyên đề 4 bài 3 phương trình bậc hai với hệ số thực

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức  Kĩ năng + Giải được phương trình bậc hai với hệ số th

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 4 BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức

 Kĩ năng

+ Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức và vận dụng vào giải được một

số bài toán liên quan + Vận dụng định lý Vi-ét vào giải một số bài toán chứa nhiều biểu thức đối xứng đối với hai nghiệm của phương trình

+ Biết cách giải các phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hệ số thực

+ Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết một số bài toán tổng hợp

TOANMATH.com Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Căn bậc hai của một phức

Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2w được gọi là một căn

bậc hai của w

Tìm căn bậc hai của số phức w

 w là số thực

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là i w và  i w

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là w và  w

 w a bi   a b, , b0

Nếu z x iy là căn bậc hai của w thì    2

Do đó ta có hệ phương trình:

2 2

2x



y b Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai của

w

2 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình az2bz c 0 a b, ,c;a0

Ta có  b24ac

 Nếu   thì phương trình có nghiệm thực 0

2

  b x a

 Nếu   thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 0

1

2

  

x

  

x

a

 Nếu   thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 0

1

2

x

x

a

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai ax2bx c 0 a0 có hai nghiệm phân

biệt x1, x2 (thực hoặc phức) thì

1 2

1 2

    







b

a c

P x x

a

Nhận xét:

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai

là 0 +) Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

1

0 n 1 n   1  0

luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt) với n nguyên dương

TOANMATH.com Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình Tính toán biểu thức nghiệm

Phương pháp giải

Cho phương trình:

2  0

az bz c a b, ,c;a0

 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực

 Áp dụng các phép toán trên tập số phức để

biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình z22z 5 0 a) Giải phương trình trên tập số phức b) Tính z1  z2

Hướng dẫn giải

      i Phương trình có hai nghiệm là:

1 2 2

z i; z2  2 2i

1  2  2 2 2 2

Suy ra z1  z2 2 2 2 2 4 2 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tất cả các nghiệm phức của phương trình z2 5 0 là

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Cho phương trình bậc hai ax2bx c 0 a b, ,c;a0

2 4

0

Phương trình có hai nghiệm

phức phân biệt

1

2

x

x

a

Phương trình có nghiệm thực duy nhất

2

  b x a

Phương trình có hai nghiệm thực

phân biệt

1

2

  

x

  

x

a

1 2

    







b

a c

P x x

a

TOANMATH.com Trang 4

Hướng dẫn giải

5

 

 



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là z1 5i và z2   5i

Chọn C

Ví dụ 2 Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2  z 1 0 Giá trị của biểu thức A z12 z 22

là

Hướng dẫn giải

  

  

Suy ra A z12 z221

Chọn B

Ví dụ 3 Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z2 1 z z?

2

2



2



2

Hướng dẫn giải

Ta có z2 1 z z

2

i

Chọn A

Ví dụ 4 Phương trình z2az b 0 a b,  có nghiệm phức là 3 4 i Giá trị của a b bằng

Hướng dẫn giải

Cách 1: Do z 3 4i là nghiệm của phương trình z2az b 0 nên ta có:

3 4 i a 3 4 i   b 0 3a b  7 4a24 i0

Chú ý: Nếu z0 là nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực thì z cũng là 0

TOANMATH.com Trang 5

Do đó a b 19

Cách 2: Vì z1 3 4i là nghiệm của phương trình z2az b 0 nên z2 3 4i

cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có 1 2

1 2





19 25



a b b

Chọn C

nghiệm của phương trình

Ví dụ 5 Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z26z34 0 Giá trị của

0 2

Hướng dẫn giải

    i Phương trình có hai nghiệm là z  3 5i ; z  3 5i

Do đó z0    3 5i z0    2 i 1 4i  17

Chọn A

Ví dụ 6 Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z22z 5 0

Tọa độ điểm biểu diễn số phức

1

7 4 i

z trên mặt phẳng phức là

Hướng dẫn giải

1 2

 





Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z1 1 2i Khi đó:

2 2 1

7 4 1 2

Vậy điểm biểu diễn của số phức là P 3;2

Chọn A

Ví dụ 7 Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z24z 5 0 Giá trị của biểu thức

11  21

TOANMATH.com Trang 6

Hướng dẫn giải

2

2

2

 





11  21  1  1

Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Nghiệm của phương trình z2  z 1 0 trên tập số phức là

 

 

Câu 2: Gọi z và 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 z22z10 0 Tính giá trị của biểu thức

Câu 3: Phương trình z22z10 0 có hai nghiệm là z1, z2 Giá trị của z1z bằng 2

Câu 4: Biết số phức z  3 4i là một nghiệm của phương trình z2az b 0, trong đó a, b là các số thực Giá trị của a b là 

Câu 5: Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2z26z 5 0 Hỏi điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức iz0?

A 1 1 3;

2 2

2 2

2 2

M Câu 6: Cho z là nghiệm phức của phương trình x2  x 1 0 Giá trị của biểu thức P z 42z3z là

2

2

Câu 7: Kí hiệu z0 là số phức có phần ảo âm của phương trình 9z26z37 0 Tọa độ của điểm biểu diễn số phức w iz 0 là

TOANMATH.com Trang 7

3

1

; 2 3

1 2;

3

1

; 2 3

Câu 8: Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z23z 5 0 Giá trị của z1  z bằng 2

Câu 9: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 z22z 5 0 Giá trị của z1 2 6i

bằng

Câu 10: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 9z26z 4 0 Giá trị của biểu thức

1 2

A 4

3

Câu 11: Ký hiệu z , 1 z là nghiệm của phương trình 2 z22z10 0 Giá trị của z z bằng 1 2

Câu 12: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z22z 5 0 Giá trị của biểu thức z12z z1 2 là

Bài tập nâng cao

Câu 13: Phương trình z23z  có hai nghiệm phức 4 0 z , 1 z Giá trị của 2 2

1 2

z z bằng

Câu 14: Gọi z , 1 z là các nghiệm phức của phương trình 2 z22z  Môđun của 3 0 3 4

1 2

z z bằng

Câu 15: Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 az2bz c 0 a b, ,c Giá trị của biểu 

A 4c

c a

4

c

c a

 Câu 16: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z22z  Trên mặt phẳng tọa độ, 5 0 điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức 2019

0

Câu 17: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z24z13 0 và A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1, z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy Diện tích tam giác OAB bằng