Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI với hệ số THỰC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC1.. Căn bậc hai của một phức Định nghĩa Cho số phức w... PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình.. Phương pháp giải  Nắm vững

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

1 Căn bậc hai của một phức

Định nghĩa

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn 2



một căn bậc hai của w

Tìm căn bậc hai của số phức w

 w là số thực.

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là i w và

i w

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là w và  w

 w a bi  a b,   , b0

Nếu z x iy  là căn bậc hai của w thì x iy 2  a bi

Do đó ta có hệ phương trình:

2 2

2x







y b

Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai

của w

2 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình 2

0

az bz c a b, ,c;a0

Ta có  b2 4ac

 Nếu  0 thì phương trình có nghiệm thực

2

 b x a

 Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân

biệt:

1

2

  

 b

x

  

 b x

a

 Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân

biệt:

1

2

  

 b i

x

2

  

 b i x

a

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai ax2bx c 0 a0 có hai nghiệm

Nhận xét:

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai

là 0 +) Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

1



luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt) với n nguyên dương.

phân biệt x , 1 x (thực hoặc phức) thì2

1 2

1 2









b

a c

P x x

a

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình Tính toán biểu thức nghiệm

1 Phương pháp giải

Cho phương trình:

2  0

az bz c a b, ,c;a0

 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực

 Áp dụng các phép toán trên tập số phức

để biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình 2

a) Giải phương trình trên tập số phức b) Tính z1  z2

Hướng dẫn giải

a) Ta có:   ' 1 54 2i 2

Phương trình có hai nghiệm là:

1 2 2

1  2  2 2 2 2

Suy ra z1  z2 2 2 2 2 4 2 

2 Bài tậ

Bài tập 1 Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z2 1 z z  ?

A 1 3

2

2



C 1 3

2



D 1 2

2

Bài tập 2 Phương trình z2az b 0 a b,   có nghiệm phức là 3 4 i Giá trị của a b bằng

Bài tập 3 Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 0 z26z34 0 Giá trị của

0 2

Bài tập 4 Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 z2 2z 5 0

Tọa độ điểm biểu diễn số phức

1

7 4 i

z trên mặt phẳng phức là

A P3; 2 B N1; 2  C Q3; 2  D M1;2

Bài tập 5 Gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 4z 5 0 Giá trị của biểu thức

z112019z212019 bằng

A 21009 B 21010 C 0 D 21010

Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng

1 Phương pháp giải

Định lí Vi-ét: Cho phương trình:

2  0

az bz c ; , ,ca b   ; a 0

có hai nghiệm phức z , 1 z thì 2 1 2

1 2

b

a c

z z

a



 







Ví dụ: Phương trình z2 4z24 0 có hai nghiệm phức z , 1 z nên2

1 2 4

z z  ; z z 1 2 24

Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: 1 2

b

a

2 Bài tập

Bài tập 1: Gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 2z  Giá trị của biểu thức5 0

2 2

1 2

z z bằng

Bài tập 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 2i ?

A z2 2z 3 0 B z2 2z 5 0

C z2 2z 5 0 D z22z 3 0

Bài tập 3: Kí hiệu z , 1 z là nghiệm phức của phương trình 2 2z24z  Tính giá trị biểu thức3 0

Pz z i z z

2

2

P 

Bài tập 4: Gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình2

2

z  z  Giá tị của P z 13z bằng23

Bài tập 5: Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 3z2 2z27 0 Giá trị của

1 2 2 1

z z z z bằng

Bài tập 6: Cho số thực a 2 và gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2 2z a  0

Mệnh đề nào sau đây sai?

A z1z2 là số thực B z1 z2 là số ảo

C 1 2

2 1

1 2

2 1

z  z là số thực

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

1 Phương pháp giải

 Nắm vững cách giải phương trình bậc

hai với hệ số thực trên tập số phức

 Nắm vững cách giải một số phương trình

quy về bậc hai, hệ phương trình đại số

bậc cao;…

Ví dụ: Giải phương trình: z4 z2 6 0 trên tập

số phức

Hướng dẫn giải

Đặt z2  , ta có phương trình:t

6 0

2

t

t





     

 Với t 3 ta có z2  3 z 3 Với t 2ta có z2  2 zi 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm

3

2 Bài tậpmẫu

Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2z4 3z2 2 0 là

Bài tập 2: Kí hiệu z , 1 z , 2 z , 3 z là bốn nghiệm phức của phương trình 4 z44z2 5 0 Giá trị của

z  z  z  z bằng

Bài tập 3: Gọi z , 1 z , 2 z , 3 z là các nghiệm phức của phương trình 4  2 2  2 

Giá trị của biểu thức S z12 z22 z32 z42 là

Bài tập 4: Gọi z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2

4

z z

z   Khi đó z1z2 bằng

Bài tập 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình z4az2  có bốn nghiệm 1 0 z , 1 z , 2 z , 3 z thỏa4 mãn  2   2   2   2 

A

1

19

2

a

a







 



B

1 19 2

a a







 



C

1 19 2

a a







 



D

1 19 2

a a







 



Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z201810iz201710iz11 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2z 2