Khái niệm Giả sử a là số thực dương khác 1.. Hàm số y=a x được gọi là hàm số mũ; hàm số y=loga x được gọi là hàm số logarit.. Một số giới hạn quan trọng Các hàm số x y=a và y=loga x li
Trang 1BÀI 3 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT PHẦN 1 – KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Khái niệm
Giả sử a là số thực dương khác 1 Hàm số y=a x được gọi là hàm số mũ; hàm số y=loga x
được gọi là hàm số logarit
2 Một số giới hạn quan trọng
Các hàm số x
y=a và y=loga x liên tục trên mỗi điểm mà nó xác định
Định lý:
0
0
ln 1
e 1
x x
x
x x
x
→
→
+
=
−
=
3 Đạo hàm của hàm số mũ – hàm số logarit
Định lý
a) Hàm số y=a x có đạo hàm tại mọi điểm x và ( )a x =a xln a Đặc biệt ( )ex =e x
b) Hàm số y=loga x có đạo hàm tại mọi điểm x 0, và ( ) 1
ln
a x
x a
= Đặc biệt
x
=
Hệ quả
a) Hàm hợp: ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )1 ( )
.ln
a
u x a
b) ( ) 1
x
=
4 Đồ thị Trường hợp a 1 Trường hợp 0 a 1
Trang 2Chương 2 – Mũ Logarit 23
5 Ghi nhớ
Hàm số x
y=a
TXĐ:
Đồng biến trên khi a 1, nghịch
biến trên khi 0 a 1
Đồ thị luôn đi qua điểm ( )0;1 , nằm
trên trục hoành và nhận trục hoành làm
tiệm cận ngang
Hàm số y=loga x
TXĐ: (0;+ )
Đồng biến trên (0; + ) khi a 1, nghịch biến trên (0; + ) khi
0 a 1
Có đồ thị đi qua điểm ( )1; 0 , nằm phía bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng
PHẦN 2 – BÀI TẬP CƠ BẢN
1 So sánh p và q, biết:
−
c)
2
;
1
0, 25
2
q
2
2 Tính các giới hạn sau:
a)
0
x
+
→
−
b)
0
−
3 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y=xe ;x b) ( ) 2
1 e ;x
y= x− c) y=x2 e4x+1;
d) y=ex−e ;−x e) y = ex+1; f) y=e x x2+1
y= x− x h) y= x2+1.lnx2 i) ln 1 ;
1
y x
x
=
+
4 Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên ?
3
x
y
=
2
e ;x
y = c) y=ex−e ;−x
x
e
x
−
=
Trang 35 Tìm các giới hạn sau:
0
ln 1 3
x
x x
→
+
0
ln 1
x
x x
→
+
6 Cho hàm số ( ) 1
1
f x
x
= + Chứng minh rằng ( ) 1 ef x( ).
xf x + =
7 Giả sử đồ thị ( )G của hàm số ( )2
ln 2
x
y = cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của ( )G
tại A cắt trục hoành tại điểm B Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn)
8 Kí hiệu M là một điểm thuộc đồ thị hàm số y=loga x Trong hai khẳng định: a và 1
0 khẳng định nào đúng trong mỗi trường hợp sau? Vì sao? a 1,
9 Hàm số nào trong các hàm số sau đây đồng biến trên ?
2
x
y
= B y=log2x C y =2 x D y=log0,5x
10 Tập xác định của hàm số ( 2 )
2
x y
−
=
A (5;+ ) B (−;5 ) C D \ 5
11 Điều kiện xác định của hàm số
9
1
log
1 2
y
x x
=
− +
là
A x −3 B x −1 C − −3 x 1 D 0 x 3
12 Tìm m để hàm số ( ) 2 ( )
2
y= m+ x + m+ x+ +m có tập xác định D =
A m −2 B m −2 C m −2 D m −2
13 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng (−10;10) để hàm số
2
1
y
=
− + + xác định trên khoảng (0;+ )?
Trang 4Chương 2 – Mũ Logarit 25
14 Cho hàm số
2
1
y
=
− − − + Tìm tất cả các giá trị thực của tham
số m để hàm số đã cho xác định với mọi x (1;+ )
A m −( ; 2 ) B m −( 1;1] C m −( ;1 ) D m −( ;1]
15 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
3
1
log
+ − xác định trên khoảng ( )2;3 ?
16 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ( 2 )
y= x − x− +m có tập xác định
là
17 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ( 2 )
y= − +x mx+ m+ xác định với mọi x ( )1; 2
3
4
4
3
m −
18 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị là hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số 3f x( ) 4f x( )
y = − là
19 Cho hàm số y lnx,
x
= mệnh đề nào sau đây là đúng?
x
x
x
x
+ =
20 Cho hàm số y=xcos ln( )x +sin ln( )x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
x y−xy− xy=
x y−xy+ y=
21 Cho hàm số ( ) 18
ln 1
x
f x
x
= + Tính S= f( )1 + f( )2 + + f( )18
19
Trang 522 Đạo hàm của hàm số ( ) 3 1
x
x
+ là
2 3
3 1
x x
f x = −
2 3
3 1
x x
f x =
2 3 ln 3
3 1
x x
f x = −
2 3 ln 3
3 1
x x
f x =
+
23 Đạo hàm của hàm số y=log2(− − là x 3)
A
(− −x 12 ln 2) . B (x +3 ln 21) . C (− −x 3 ln 2.) D (x +3 ln 2.)
24 Trên khoảng (0;+ ), đạo hàm của hàm số y=log3( )3x là
x
ln 3
y x
x
ln 3
y x
=
25 Tính đạo hàm của hàm số y=log2 x với x 0
ln 2
y
x
x
ln 2
y x
= D y =xln 2
26 Đạo hàm của hàm số ( ) 2 1
e x
f x = + là
x
x
x
+
2 1
1
x
x x
+
2 1 2
2
1
x
x x
+
2 1
2 e ln 2 1
x
x x
+
+
27 Gọi a, b lần lượt là số điểm cực đại và số điểm cực tiểu của hàm số ( 3 ) 2
y= x + x+ −
Tính 2a b−
28 Cho hàm số ( ) 2
ex x
f x = − Biết phương trình f( )x = có hai nghiệm 0 x x1, 2 Tính x x1 2
4
29 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
ln
y=x x trên đoạn 1; e
e
e
2e
−
Trang 6Chương 2 – Mũ Logarit 27
30 Cho hàm số ( ) ln
2
x
f x
x
= + Tổng f( )1 + f( )3 + f( )5 + + f(2021) bằng
2023
31 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số 3 3
3
x
x
y
m
−
−
−
=
− nghịch biến trên (−1;1 )
3
3
32 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( 2 )
y= x + − mx+ đồng biến trên
A Không tồn tại m B 1
2
2
−
33 Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y=e lnx x trên đoạn 1; e Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A 15M16 B M 10 C M 20 D M là số hữu tỉ
34 Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
ex
y=x + trên đoạn −2; 0 bằng
e
35 Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2
e x 4ex
f x = − +m trên đoạn
0; ln 4 bằng 6
36 Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( 2 ) 40
y= x + x− trên tập hợp các số tự nhiên là
163.e
8e
−
37 Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2
y= − + −mx+ đồng biến trên khoảng (−1;1)
A ; 1ln 2
2
− −
B (−; 0 C (− −; 2 ln 2 D ; 3ln 2
2
− −
38 Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số e 22
e
x
x
m y
m
− −
=
− đồng biến trên khoảng
1
ln ; 0 4
gần nhất với số nào sau đây:
Trang 739 Cho hàm số
( ) 3
e 1 e 1
4
2022
y
− − +
= Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )1; 2
3e 1
3e + 1 m 3e +1
3e 1
m +
40 Cho 1 x 64 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 2
8
x
41 Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( 2 )
y= x + −mx+ đồng biến trên là
A −1;1 B (− −; 1 ) C (−1;1 ) D (− −; 1
42 Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn −20; 20 để hàm số f x( ) (= x+1 ln) x+ −(2 m x) đồng biến trên khoảng ( 2)
0; e
43 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y ln 3( x 1) m 2
x
khoảng 1;
2
+
9
+
4
; 3
+
7
; 3
+
1
; 3
− +
( ) (3 2021) 0 ?
Nguồn: Chuyên Biên Hòa Hà Nam lần 2 – năm 2022
45 Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn
2
2
xy
x y P
x y
− +
=
− + đạt giá trị lớn nhất khi x=m y, = Giá trị của tổng m n n. + bằng
Nguồn: Sở Sơn La lần 2 - 2022