Dạy học giải bài toán thực tiễn chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI THU HƯƠNG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHƯƠNG HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

BÙI THU HƯƠNG

DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHƯƠNG

HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2020

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

BÙI THU HƯƠNG

DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHƯƠNG

HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA

CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Chí Thành

HÀ NỘI – 2020

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn thạc sĩ, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô trong khoa Sư phạm, phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Giáo dục đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Lời cảm ơn đặc biệt, tác giả xin dành cho PGS.TS Nguyễn Chí Thành, người đã định hướng cho tác giả nghiên cứu đề tài, cung cấp những kiến thức

lý luận và thực tiễn, cùng những kinh nghiệm quý báu Đồng thời, thầy đã nhiệt tình hướng dẫn, động viên và khích lệ tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và thực hiện luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo tổ Toán, trường THPT Mỹ Đức A và THPT Mỹ Đức B, huyện Mỹ Đức, Thành phố Hà Nội đã nhiệt tình giúp đỡ, trao đổi và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình nghiên cứu và thực nghiệm đề tài

Dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Mô tả NL thành phần, tiêu chí, kỹ năng tương ứng với từng

NL thành phần 19Bảng 1.2 Thang đánh giá NL MHH áp dụng cho chương hàm số lũy

thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 20Bảng 1.3 Thống kê các kiểu nhiệm vụ 32Bảng 1.4 Thống kê số lượng nội dung lí thuyết, bài tập chương hàm số

lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit SGK Toán 12 nâng cao 33Bảng 1.5 Mức độ quan tâm đến việc phát triển năng lực MHH của học

sinh trong dạy học Toán 37Bảng 1.6 Điều tra về khai thác và sử dụng tình huống thực tiễn của 37Bảng 3.1 Tần số, tần suất, phần trăm tích lũy điểm trước thực nghiệm

tại trường THPT Mỹ Đức B 63Bảng 3.2 Tần số, tần suất, phần trăm tích lũy điểm trước thực nghiệm

tại trường THPT Mỹ Đức A 64Bảng 3.3 Thống kê mô tả kết quả kiểm tra trước thực nghiệm của lớp

thực nghiệm, lớp đối chứng bằng các đại lượng số 64Bảng 3.4 Phân tích độ khác biệt của điểm bài kiểm tra trước thực

nghiệm giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm tại trường THPT Mỹ Đức A 65Bảng 3.5 Tần số, tần suất, phần trăm tích lũy sau thực nghiệm tại

trường THPT Mỹ Đức B 67Bảng 3.6 Tần số, tần suất, phần trăm tích lũy sau thực nghiệm tại

trường THPT Mỹ Đức A 68Bảng 3.7 Thống kê mô tả kết quả kiểm tra sau thực nghiệm của lớp

thực nghiệm, lớp đối chứng bằng các đại lượng số 68Bảng 3.8 Phân tích độ khác biệt của điểm bài kiểm tra sau thực nghiệm

giữa các lớp đối chứng và lớp thực nghiệm 69

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ VÀ BIỂU ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Mô hình cấu trúc năng lực thực hiện 9

Sơ đồ 1.2 Quy trình MHH 7 bước của Blum [1] 11

Sơ đồ 1.3 Quy trình MHH theo PISA 12

Sơ đồ 1.4 Quy trình giải bài toán thực tiễn của Coulange 24

Biểu đồ 3.1 Đường tích lũy biểu diễn kết quả trước thực nghiệm tại trường THPT Mỹ Đức B 66 Biểu đồ 3.2 Đường tích lũy biểu diễn kết quả trước thực nghiệm tại trường THPT Mỹ Đức A 66

Biểu đồ 3.3 Đường tích lũy biểu diễn kết quả sau thực nghiệm tại trường THPT Mỹ Đức B 70

Biểu đồ 3.4 Đường tích lũy biểu diễn kết quả sau thực nghiệm tại trường THPT Mỹ Đức A 70

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ VÀ BIỂU ĐỒ iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3

5 Giả thuyết nghiên cứu 3

6 Phạm vi nghiên cứu 3

7 Phương pháp nghiên cứu 3

8 Đóng góp của đề tài 4

9 Cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu 5

1.2 Khái niệm năng lực và phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông 7

1.2.1 Khái niệm năng lực 7

1.2.2 Cấu trúc năng lực 8

1.2.3 Phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông 9

1.3 Năng lực mô hình hóa 10

1.3.1 Mô hình 10

1.3.2 Mô hình hóa 10

1.3.3 Năng lực mô hình hóa 13

1.3.4 Cấu trúc năng lực mô hình hóa 14

1.3.5 Phát triển năng lực mô hình hóa 17

1.3.6 Đánh giá năng lực mô hình hóa 17

1.4 Dạy học mô hình hóa 22

1.5 Bài toán toán học và bài tập toán học 22

1.5.1 Khái niệm bài toán, bài tập 22

1.5.2 Khái niệm bài toán thực tiễn 23

1.5.3 Quy trình giải bài toán thực tiễn 24

1.6 Liên hệ giữa giải bài toán thực tiễn và năng lực mô hình hóa toán học 28

1.7 Năng lực mô hình hóa trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 28

1.8 Phân tích chương trình, sách giáo khoa hiện hành chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 30

1.8.1 Phân tích chương trình Toán 12 hiện hành chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 30

1.8.2 Phân tích sách giáo khoa Toán 12 nâng cao hiện hành chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 31

1.9 Thực trạng dạy học giải bài toán thực tiễn gắn với phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh trong dạy học toán trường trung học phổ thông 36

1.9.1 Mục đích điều tra 36

1.9.2 Nội dung và phương pháp điều tra 36

1.9.3 Kết quả điều tra 36

Kết luận chương 1 39

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHƯƠNG HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA 41

2.1 Các định hướng cho việc xây dựng các biện pháp sư phạm 41

2.2 Một số biện pháp dạy học giải bài toán thực tiễn chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit theo định hướng phát triển năng lực mô

hình hóa 43

2.2.1 Biện pháp 1 Gợi động cơ trong quy trình mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh khi dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 43

2.2.2 Biện pháp 2 Rèn luyện cho học sinh các năng lực thành phần của năng lực mô hình hóa toán học trong quá trình dạy học giải bài toán thực tiễn 48

2.2.3 Biện pháp 3 Xây dựng hệ thống các bài toán thực tiễn chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 55

Kết luận chương 2 60

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 61

3.1 Mục đích thực nghiệm 61

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 61

3.3 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 61

3.3.1 Tổ chức thực nghiệm 61

3.3.2 Nội dung thực nghiệm 62

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 67

3.5.1 Đánh giá định lượng 67

3.5.2 Đánh giá định tính 71

Kết luận chương 3 74

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nghị quyết số 29-NQ/TW của Ban Chấp hành Trung ương đã đánh dấu một bước quan trọng trong quá trình đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục

Việt Nam Nội dung trọng tâm được thể hiện trong nghị quyết này là “chuyển

nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực” [4] Tất cả các môn học trong nhà trường

đều có vai trò nhất định trong việc hình thành và phát triển NL đặc thù, riêng

đối với môn Toán có thể phát triển được các NL như: tư duy và lập luận toán

học; mô hình hóa toán học; giải quyết vấn đề toán học; giao tiếp toán học; sử dụng công cụ và phương tiện toán học [4] Trong số những NL này, MHHTH

là NL đã được nhiều quốc gia trên thế giới đề cập đến từ hai thập niên trước (như: Mĩ, Đức, Pháp, Anh, Trung Quốc, Nga,…) và là NL quan trọng của học sinh phổ thông trong những năm sắp tới tại Việt Nam

Quá trình áp dụng toán học vào thực tiễn được thực hiện qua nhiều bước, trong đó bước MHHTH chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng vì các phương pháp toán học chỉ có thể được thực hiện trên các mô hình toán học

Rõ ràng, nếu một mô hình toán học của một vấn đề thực tế không thể được thiết lập, thì các vấn đề thực tế không thể được giải quyết Tuy nhiên, qua khảo sát giảng dạy toán ở trường THPT, sự quan tâm trong việc bồi dưỡng dạy kỹ năng học toán với nội dung thực tế cho học sinh của giáo viên vẫn còn hạn chế Giáo viên chủ yếu quan tâm đến việc học sinh tìm giải pháp cho các vấn đề thuần túy, mặc dù việc xây dựng các mô hình toán học cho các vấn đề thực tế là điều cần thiết Một trong những lý do dẫn đến tình trạng trên là giáo viên chưa tích cực xây dựng các hoạt động cụ thể tuần tự trong việc dạy mô hình toán học các vấn đề thực tế cho học sinh.Việc học nặng về thi cử hơn là phát triển năng lực toàn diện cho học sinh Lý do sâu xa hơn có thể là họ thiếu các tài liệu hướng dẫn để bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học

sinh Do đó, chúng tôi nhận thấy rằng cần có các nghiên cứu để đề xuất các biện pháp cụ thể để phát triển NL MHH cho học sinh

Chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit là một chương có nội dung quan trọng trong chương trình toán THPT Cụ thể, trong chương này, học sinh được học về 3 loại hàm số: hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ngoài các hàm số đã học trước đó Toàn bộ chương được học trong nửa cuối học kì 1, chương trình toán 12 Chương có đề cập đến nhiều BTTT,

là một trong các nội dung được hỏi nhiều trong các đề thi đại học những năm gần đây Tuy nhiên, học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết các bài toán dạng này

Đã có rất nhiều nghiên cứu về MHHTH, cả trong nước và nước ngoài nước, tuy nhiên trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ tôi muốn vận dụng các kết quả nghiên cứu đi trước vào phần dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số

mũ, hàm số logarit - Giải tích 12 Nội dung được ứng dụng trong thực tế như: trong lĩnh vực kinh tế (toán lãi suất), đời sống xã hội (toán tăng trưởng) hay trong khoa học kỹ thuật (tính toán mức độ phóng xạ )

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Dạy học giải bài toán

thực tiễn chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển NL MHH thông qua việc dạy học giải bài toán thực tiễn chương hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu lí luận về mô hình hóa toán học các BTTT

 Tìm hiểu chương trình giáo dục bộ môn toán ở bậc THPT, nội dung sách giáo khoa toán lớp 12; yêu cầu về MHHTH các BTTT trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình toán

THPT; xây dựng hệ thống bài tập có thể giúp học sinh phát triển NL MHH khi học nội dung hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

 Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực mô hình hóa thông qua việc dạy học giải các BTTT chương hàm lũy thừa, hàm số

Quá trình dạy học Toán ở trường THPT

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu hoạt động dạy học nhằm phát triển NLMHH các BTTT cho học sinh THPT trong dạy học chương hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

5 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu áp dụng được một số biện pháp sư phạm theo đề xuất trong luận văn vào dạy học các BTTT chương hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit thì sẽ góp phần phát triển NL MHH và tạo hứng thú học tập cho học sinh

6 Phạm vi nghiên cứu

Chương hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở môn toán lớp 12

7 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp các

tài liệu liên quan đến đề tài

- Phương pháp điều tra quan sát: Quan sát thực trạng dạy, học môn

toán nói chung và chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình toán 12 ở 2 trường THPT Tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo

ý kiến một số giáo viên dạy toán

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm giảng dạy ở một số

lớp để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài

- Phương pháp thống kê toán học: để xử lý các số liệu thu được từ

 Xây dựng các hướng dẫn dạy học một số nội dung cụ thể giúp giáo viên THPT dạy học giải BTTT theo hướng phát triển NL MHH

 Xây dựng hệ thống các BTTT trong chương hàm số lũy thừa, hàm

số mũ, hàm số logarit nhằm hỗ trợ phát triển NL MHH cho học sinh THPT làm tư liệu cho giáo viên tham khảo, vận dụng vào thực tiễn dạy học

9 Cấu trúc của luận văn

Luận văn bao gồm các phần: lời cảm ơn, mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và nội dung của luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề dạy học giải BTTT theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua các giải bài toán thực tiễn

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA quan tâm nghiên cứu từ những năm 2000 đã chỉ ra, mục tiêu quan trọng của chương trình toán học phổ thông đó là hình thành và phát triển cho học sinh khả năng vận dụng tri thức toán học để giải quyết những tình huống nảy sinh từ thực tiễn cuộc sống Chương trình PISA đánh giá 8 năng lực đặc trưng của toán học đó là: tư duy

và lập luận; suy luận và chứng minh toán học; giao tiếp toán học; mô hình hóa; nêu và giải quyết vấn đề; biểu diễn, sử dụng kí hiệu và ngôn ngữ toán học ; sử dụng công cụ tính toán

Trong các năng lực trên, NL MHH được nhiều quốc gia trên thế giới đề cập đến từ hai thập niên trước và giữ vị trí ngày càng quan trọng trong chương trình môn Toán phổ thông của nhiều nước như Hoa Kì, Anh, Trung Quốc, Singapore,…

Trong bài báo Mô hình hóa toán học các hiện tượng biến thiên trong

dạy học nhờ hình học động, Dự án nghiên cứu Mira của Annie Bessot,

Nguyễn Thị Nga (2011), Tạp chí Khoa học, Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, các tác giả đã cụ thể hóa hoạt động MHHTH trên những hiện tượng biến thiên trong thực tiễn nhờ công cụ hình học động Ở đó, những hiện tượng biến thiên được MHHTH dựa vào sự hỗ trợ của một số phần mềm hình học động như G Cabri

Tại Việt Nam, đã có một số công trình nghiên cứu vận dụng MHHTH vào dạy học toán ở các cấp, bậc học Có thể kể đến những công trình sau:

Ở bậc trung học phổ thông, một số luận án tiến sỹ Giáo dục đã đề cập đến những khía cạnh khác nhau của MHHTH:

Trong luận án tiến sỹ Ứng dụng phép tính vi phân (Phần đạo hàm) để

giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy học toán lớp 12 trung học phổ thông, Nguyễn Ngọc Anh (2000) khi khai thác nội dung

liên môn và thực tế vào nội dung ứng dụng đạo hàm ở lớp 12 đã xác định một

số hoạt động MHHTH cần tổ chức cho học sinh trong quá trình giải bài tập

Cũng theo hướng khai thác ứng dụng của toán học, nhằm nâng cao

năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh trung học cơ sở trong

dạy học Số học và Đại số ở trung học cơ sở, Bùi Huy Ngọc (2003) nghiên cứu dạy học Đại số THCS gắn với thực tiễn - trong đó có mô tả những hoạt động của học sinh liên quan đến MHHTH như diễn đạt bài toán thực tế về dạng toán học,

Trực tiếp nghiên cứu về phát triển năng lực toán học hóa tình huống

thực tiễn, tác giả Phan Anh (2012) đã xây dựng một số biện pháp dạy học Đại

số và Giải tích lớp 11 THPT nhằm phát triển NL toán học hóa cho học sinh

THPT ở luận án này Đây cũng là một đề tài nghiên cứu khá gần gũi với vấn

đề phát triển NL MHHTH mà chúng tôi quan tâm

Từ một tiếp cận khác, tác giả Nguyễn Thị Tân An (2014) đặt ra và giải

quyết vấn đề sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định

lượng của học sinh lớp 10 Ở đó, tác giả tiếp cận phát triển NL hiểu biết định

lượng bằng công cụ toán học hóa - trong đó có MHHTH

Khi nghiên cứu Phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn Toán ở

trường phổ thông, tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đã trình bày về những

cách thức thực hiện MHHTH trong dạy học toán ở trường phổ thông Có thể xem đây là những cách thức quan trọng trong dạy học toán để thông qua đó phát triển NL MHHTH cho học sinh

Nhìn chung, các công trình này tập trung làm rõ một số vấn đề về lý luận và thực tiễn của MHHTH và vận dụng PP MHHTH vào môn toán phổ thông

Tuy nhiên, chưa có công trình nào thực tế nghiên cứu về phát triển NL MHHTH trong dạy học giải BTTT chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm

số logarit

1.2 Khái niệm năng lực và phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông

1.2.1 Khái niệm năng lực

NL là một thuộc tính tâm lý phức hợp, là sự hội tụ của nhiều yếu tố như tri thức, kỹ xảo, kỹ năng, kinh nghiệm, sự sẵn sàng hành động và trách nhiệm

Khái niệm NL gắn liền với khả năng hành động NL hành động là một loại NL, nhưng khi nói đến phát triển NL, mọi người cũng hiểu nó như phát triển NL hành động Do đó, trong môi trường sư phạm, NL cũng được hiểu là: khả năng thực hiện các hành động có trách nhiệm và hiệu quả, giải quyết các nhiệm vụ và vấn đề trong các tình huống khác nhau trong các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hoặc cá nhân dựa trên kiến thức, kỹ năng, kỹ năng và kinh nghiệm cũng như sẵn sàng hành động Trong chương trình giảng dạy định hướng phát triển NL, khái niệm NL được nói đến như là là: NL liên quan đến mục tiêu giảng dạy, mục tiêu giảng dạy được mô tả thông qua các NL cần thiết; Trong chương trình, các hoạt động học tập và hoạt động cơ bản được liên kết để hình thành NL; NL là sự kết nối giữa kiến thức, kiến thức, khả năng và mong muốn

Gần đây, các khi bàn đến mục tiêu phát triển và đánh giá NL trong giáo

dục, [3] xem NL là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kĩ năng, thái

độ và vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lý vào thực hiện thành công nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra của cuộc sống

Do đó, NL là một cấu trúc động, có tính mở, đa tầng bậc, đa thành tố, chứa đựng trong đó không chỉ kiến thức, kỹ năng mà còn cả niềm tin và giá trị, trách nhiệm xã hội, thể hiện ở sự sẵn sàng hành động trong điều kiện thực

tế, hoàn cảnh thay đổi

Tham khảo những công trình đã có về NL, trong luận văn này, chúng

tôi quan niệm: NL là hệ thống các thuộc tính của con người (kiến thức, kỹ

năng, thái độ và các phẩm chất khác) để thực hiện tốt công việc thuộc một loại hoạt động nào đó theo các tiêu chuẩn nhất định

1.2.2 Cấu trúc năng lực

NL chỉ có thể quan sát được thông qua hoạt động của mỗi cá nhân ở trong tình huống cụ thể NL tồn tại dưới 2 hình thức: NL chuyên biệt và NL

chung NL chung là NL cần thiết để mỗi cá nhân tham gia hiệu quả các hoạt

động khác nhau của đời sống xã hội NL này cần thiết cho tất cả mọi người

NL chuyên biệt (ví dụ: chơi đàn) chỉ cần thiết cho một số người hoặc ở một số

tình huống nhất định Các NL chuyên biệt không thể thay thế được NL chung

và ngược lại

NL được hình thành và phát triển trong suốt cuộc đời mỗi con người Nhà trường là một trong những môi trường tích cực cho việc phát triển NL mỗi cá nhân Vì sự phát triển NL thực chất làm thay đổi cấu trúc nhận thức và hành động cá nhân chứ không chỉ là tự bổ sung các kiến thức riêng rẽ Do đó,

NL có thể yếu đi hoặc mất đi nếu ta không tích cực rèn luyện thường xuyên

Hiện nay, người ta quan tâm nhiều đến phát triển NL hành động hay

NL thực hiện Theo [9], cấu trúc NL thực hiện bao gồm :

- NL chuyên môn: Là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn hay

đánh giá kết quả một cách độc lập, chuẩn xác Nó bao gồm khả năng tư duy logic, phân tích, tổng hợp và trừu tượng, khả năng xác định các mối quan hệ một cách có hệ thống và tổng hợp

- NL phương pháp: Là khả năng hành động có kế hoạch, định hướng

mục đích trong việc giải quyết các nhiệm vụ và các vấn đề Trung tâm của năng lực phương pháp là những phương thức nhận thức, đánh giá, xử lý, truyền thụ và giới thiệu

- NL xã hội: Đó là khả năng đạt được mục tiêu trong các tình huống xã

hội cũng như trong các nhiệm vụ khác nhau với sự phối hợp chặt chẽ giữa các thành viên khác Thấy được trách nhiệm của bản thân và người khác, tự tổ

chức; tự chịu trách nhiệm; Có khả năng thực hiện các hành động xã hội, khả năng cộng tác và giải quyết xung đột

- NL riêng (năng lực cá thể): Đó là khả năng xác định, suy nghĩ và

đánh giá các cơ hội phát triển cũng như những hạn chế của bản thân, phát triển tài năng cá nhân cũng như xây dựng một kế hoạch cho cuộc sống của chính bạn và hiện thực hóa kế hoạch đó; Quan điểm chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các hành vi ứng xử

NL chuyên môn, NL phương pháp, NL xã hội và NL riêng Bốn thành phần NL “gặp” nhau tạo thành NL thực hiện:

Sơ đồ 1.1 Mô hình cấu trúc năng lực thực hiện

1.2.3 Phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông

Với học sinh THPT, việc phát triển NL được đề cập khá nhiều trong những năm gần đây

NL của học sinh THPT do tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế

(OECD) đề nghị gồm: NL xã hội, NL linh hoạt sáng tạo, NL giải quyết vấn

đề, NL sử dụng các thiết bị một cách thông minh

NL của học sinh THPT của một số nước như Australia được yêu cầu

trong chương trình giáo dục bao gồm: NL đọc hiểu, NL giao tiếp, NL giải

quyết vấn đề; NL làm toán, NL ứng dụng công nghệ thông tin

Ở Việt Nam, trong chương trình GDPT tổng thể năm 2018 đã đưa ra 10

NL mà học sinh cần có là những NL chung cho tất cả các môn học và hoạt động giáo dục bao gồm: NL tự chủ và tự học, NL giao tiếp và hợp tác, NL giải quyết vấn đề và sáng tạo NL chuyên môn được hình thành và phát triển chủ

yếu thông qua các môn học, hoạt động giáo dục nhất định: NL ngôn ngữ, NL

tính toán, NL tìm hiểu tự nhiên và xã hội, NL thẩm mỹ, NL công nghệ, NL tin học, NL thể chất [5]

Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi chỉ đi sâu nghiên cứu về

NL MHH Là một trong những năng lực chuyên biệt đặc thù cho môn Toán

1.3 Năng lực mô hình hóa

có thể là màu sắc, chức năng với đối tượng mà mô hình đó biểu diễn [1]

Như vậy, mô hình được mô tả như một "vật" dùng thay thế mà qua đó

ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của sự vật (hoặc hệ thống sự vật) thực tế Tức là mô hình xem như là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc) nhằm một mục đích nào đó Cũng cần lưu ý rằng: Mô hình có thể ở dạng đồ vật cụ thể, nhưng cũng có thể ở dạng như hình ảnh, sơ đồ, thậm

chí được biểu đạt một cách trừu tượng hơn thông qua sự mô tả (chẳng hạn

như mô hình tài chính, mô hình kinh tế, mô hình chính trị)

Thông qua mô hình, ta có thể khám phá các thuộc tính của đối tượng

mà không cần đến (tất cả) sự vật thật Tuy nhiên việc này còn phụ thuộc vào ý

đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh cụ thể áp dụng của mô hình đó

1.3.2 Mô hình hóa

MHHTH là quá trình chuyển một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các MHTH, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, điều chỉnh mô hình nếu cách giải quyết không khả thi

MHHTH là một hoạt động phức hợp, đòi hỏi mỗi học sinh phải có nhiều NL khác nhau trong lĩnh vực toán học cũng như các kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế đang được xem xét Thông qua MHH, học sinh học cách sử dụng các biểu diễn khác nhau, lựa chọn và áp dụng các công cụ toán học và phương pháp phù hợp vào việc giải quyết vấn đề đặt ra

Quá trình này đòi hỏi học sinh cần có các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa Ở trường phổ thông, MHH diễn tả mối quan hệ giữa các yếu tố thực tiễn với nội dung kiến thức toán học trong SGK thông qua ngôn ngữ toán học như kí hiệu, đồ thị, hàm số, phương trình

MHH trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học như

kí hiệu, hình vẽ, hàm số, đồ thị, phương trình

Nhiều sơ đồ đã chỉ ra bản chất của hoạt động MHHTH, như là một hướng dẫn để thiết kế các nhiệm vụ MHH và thực hiện quy trình MHH trong dạy học

a Sơ đồ của Blum (2005): Quy trình của Blum được xem là cơ sở cho tất

cả các hoạt động MHH và những thay đổi của các quy trình MHH ngày nay

Sơ đồ 1.2 Quy trình MHH 7 bước của Blum [1]

Bước 1: Hiểu tình huống đặt ra, xây dựng một mô hình cho tình huống đó; Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa vào các biến phù hợp để được mô hình thực của tình huống;

Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang MHTH;

Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán; Bước 5: Thể hiện kết quả trong hoàn cảnh thực;

Bước 6: Xem xét kết quả đã phù hợp hay phải thực hiện chu trình lần 2; Bước 7: Trình bày cách giải quyết

b Sơ đồ theo PISA (2006) gồm 5 bước:

Sơ đồ 1.3 Quy trình MHH theo PISA

Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề đặt ra trong thực tế;

Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo các khái niệm toán học;

Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài toán mà thể hiện trung thực cho tình huống;

Bước 4: Giải quyết bài toán;

Bước 5: Xem xét lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế hay chưa, xác định những hạn chế của lời giải

Các tác giả đã công bố và đưa ra các mô tả khác nhau về quy trình MHH nhưng chung quy đều cho thấy bốn bước chính của quá trình MHH là:

toán học hóa, làm việc với toán, chuyển đổi và phản ánh Các yếu tố này mô

tả những hoạt động mà học sinh sẽ thực hiện trong suốt quá trình MHH, bắt đầu với một vấn đề thực tế, xuất phát từ thế giới thực với các dữ liệu thực

- Toán học hóa: là quá trình chuyển từ vấn đề thực sang vấn đề toán

bằng cách thiết lập một mô hình toán học Để thực hiện được, học sinh phải hiểu vấn đề, nghiên cứu thông tin đưa ra, loại bỏ các thông tin không cần thiết, đưa ra các giả thiết phù hợp và đơn giản hóa vấn đề để có thể giải quyết Học sinh phải đưa ra một mô hình toán học như hình vẽ, đồ thị, hàm số hoặc phương trình

- Giải toán: Ở bước này, học sinh phải lựa chọn, sử dụng công cụ và

phương pháp toán học phù hợp để giải quyết vấn đề Sản phẩm cuối cùng là một kết quả toán học

- Chuyển đổi: xem xét kết quả toán học tìm được trong ngữ cảnh thực

tế ban đầu

- Phản ánh: xem lại các giả thuyết và những hạn chế của mô hình, các

công cụ hay phương pháp toán học đã sử dụng Kết quả thu được là sự cải tiến trong mô hình cũng như lời giải hoặc tạo ra một chu trình mới nếu cần thiết

Như vậy, qua tham khảo các công trình nghiên cứu đã có trước đó, đối chiếu với thực tiễn dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit,

trong luận văn này, chúng tôi hiểu: MHH trong dạy học chương hàm số lũy thừa,

hàm số mũ, hàm số logarit là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học (hàm số

mũ, kí hiệu, công thức, phương trình mũ, bất phương trình mũ) MHH trong dạy

học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit xuất phát từ tình huống bài toán thực tiễn chuyển thành bài toán toán học và giải bài toán bằng công cụ toán học, sau đó quay lại trả lời cho yêu cầu ở BTTT

1.3.3 Năng lực mô hình hóa

NL MHHTH gắn liền với quá trình MHHTH - đã được một số tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu, về cơ bản gồm có 4 giai đoạn (đã trình bày ở mục 1.3.2 của luận văn)

Có nhiều nghiên cứu đưa ra quan niệm về NL MHH, có tác giả cho rằng “NL MHH bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình MHH nhằm đạt được mục tiêu xác định cũng như sẵn sàng đưa ra những hành động”, hay “ NL MHH là tổ hợp những thuộc tính của cá nhân người học như kiến thức, kĩ năng, thái độ và sự sẵn sàng tham gia vào hoạt động MHH nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả” Trong [15] đưa ra quan niệm NL

MHHTH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình MHH

nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra

Các định nghĩa tuy có khác nhau, nhưng đều chung một điểm ở chỗ

gắn NL MHH với việc thực hiện quá trình MHH nhằm giải quyết một vấn đề thực tế Trên cơ sở phân tích lý luận và tìm hiểu thực tiễn, trong phạm vi

nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi quan niệm:

NL MHHTH là khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống

thực tiễn NL này là cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tiễn”

Thuật ngữ “toán học hóa” được hiểu là sử dụng ngôn ngữ, công cụ toán học

chuyển vấn đề trong cuộc sống hàng ngày về dạng biểu diễn toán học

1.3.4 Cấu trúc năng lực mô hình hóa

Thuật ngữ “cấu trúc” được dùng ở đây để chỉ những NL thành phần của

NL MHH Với quan niệm về NL MHH như trên, các nhà nghiên cứu đều dựa vào các bước của quá trình MHH để xác định cấu trúc của NL MHH [7]

NL MHH liên quan đến “tiêu chí cần đạt trong quá trình MHH” Có nghiên cứu cho rằng các NL thành phần của NL MHH là:

- Hiểu vấn đề thực tế và xây dựng mô hình phỏng thực tế;

- Biết thiết lập mô hình toán học từ mô hình thực tế;

- Biết giải quyết vấn đề toán học trong mô hình toán học;

- Biết phiên dịch kết quả toán học xuất hiện trong tình huống thực tế thành giải pháp khả thi cho tình huống

Nhiều tác giả khác như Ikeda và Stephens (1998), Niss (2004), Maab (2006), Lingefjrad (2004) cũng đồng ý với nhận định trên và tìm cách chi tiết hóa những biểu hiện cụ thể của mỗi NL thành phần qua một tập hợp các kỹ năng cụ thể hơn như:

Nhận diện và đơn giản hóa các thông tin được cho; Xác định rõ mục tiêu; Đưa ra công thức giải quyết vấn đề; Xác định các biến, tham số, hằng số; Trình bày dưới dạng công thức toán học; Lựa chọn mô hình toán học; Biểu diễn

đồ thị; So sánh với tình huống thực tế; Kiểm soát quy trình MHH [7]

Theo [15], NL MHHTH gồm có những đặc trưng chủ yếu - thể hiện qua những bước thực hiện:

(1) Đơn giản giả thuyết;

(7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị;

(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

Trên cơ sở đồng thuận với cấu trúc NL MHHTH trong nghiên cứu [15], chúng tôi cụ thể hóa thành những dạng hoạt động của học sinh biểu hiện trong dạy học giải BTTT chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit như sau:

(1) Đơn giản giả thiết;

Ví dụ: Từ tình huống thực tiễn ở như thế ban đầu dưới dạng phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường, mang tính thực tế, học sinh biết diễn đạt rút gọn lại, chỉ quan tâm đến bản chất toán học ở đó:

Từ bài toán lãi suất, học sinh biết bỏ đi những yếu tố phụ (Ông A đi

gửi tiền ngân hàng, ngày ), chỉ giữ lại yếu tố bản chất toán học như “số tiền gửi là bao nhiêu?”, “gửi trong kì hạn bao lâu?”, “lãi suất trên 1 kì hạn”

Sau khi đã đơn giản những chi tiết phụ, không ảnh hưởng đến bản chất,

dữ kiện toán học thì học sinh sẽ tiếp tục thực hiện những bước MHHTH khác

(4) Xác định biến, tham số, hằng số

Ví dụ: Thay thế bằng kí hiệu toán học, chuyển về dạng bài toán quen thuộc: Chẳng hạn chọn ẩn (Gọi số tiền gửi sau n kì hạn là A n), biểu diễn các đại lượng dữ kiện khác qua ẩn

(5) Thiết lập mệnh đề toán học

Ví dụ: Tìm các mối quan hệ và thiết lập biểu thức toán học, hàm số, phương trình

(6) Lựa chọn mô hình toán học

Ví dụ: Lựa chọn công cụ toán học phù hợp để giải quyết bài toán đặt ra như tính giá trị của hàm số; lập và giải phương trình

1.3.5 Phát triển năng lực mô hình hóa

MHHTH giúp học sinh nhận biết được ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong đời sống; phát triển khả năng suy luận, phân tích, lập luận và giải quyết vấn đề toán học trong những hoàn cảnh, tình huống khác nhau; phát triển tư duy phản biện và khả năng liên hệ kiến thức toán học với các môn học khác Sử dụng phương pháp MHH trong dạy học toán sẽ góp phần đưa ý tưởng toán học gắn liền với thực tiễn vào trong lớp học

Từ đó, hình thành và bồi dưỡng cho học sinh không chỉ NL MHH, mà còn giúp các em biết vận dụng linh hoạt kiến thức toán học trong nhà trường

để giải quyết các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn cuộc sống

1.3.6 Đánh giá năng lực mô hình hóa

Việc đánh giá NL MHH dựa trên các cấp độ, theo từng cấp độ Từ những kết quả nghiên cứu trước đó, trong [15] đã cụ thể hóa thành 6 cấp độ (trong đó xem như ở cấp độ đầu tiên - cấp độ 0 thì học sinh chưa có khả năng

gì về MHHTH) của NL MHHTH của học sinh như sau:

- Cấp độ 0: Học sinh không hiểu gì về tình huống và không thể phác thảo hay viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề

- Cấp độ 1: Học sinh chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không đơn giản hay cấu trúc lại tình huống, hoặc không thể tìm thấy sự liên hệ với một ý tưởng toán học nào

- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh tìm được mô hình qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng chưa biết chuyển thành một vấn đề toán học Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được 2 kỹ năng MHH đầu tiên

- Cấp độ 3: Học sinh tìm ra được mô hình và phiên dịch nó thành vấn

đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thế giới toán học Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được các kỹ năng MHH từ 1 đến 4

- Cấp độ 4: Học sinh có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn,

làm việc mô hình toán học đã xác định và có kết quả cụ thể Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được các kỹ năng MHH từ 1 đến 7

- Cấp độ 5: Học sinh có thể trải nghiệm quá trình MHHTH và kiểm tra lại lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được đầy đủ 9 kỹ năng MHH ở trên

Dựa trên biểu hiện cụ thể của học sinh sau khi thực hiện quá trình MHH (một cách trực tiếp hoặc cả gián tiếp qua bài làm hoặc các phiếu khảo sát) ta có thể đánh giá tổng quát NL MHH của học sinh đang ở mức nào, có thể so sánh tương đối NL MHH của hai học sinh bất kì hay cho điểm đánh giá

cụ thể

Thang đánh giá này thuận tiện cho giáo viên trong thực hành, vì thường hình thức đánh giá nhiều nhất của giáo viên vẫn là đánh giá qua bài làm của học sinh Tuy nhiên, thang này còn khá chung chung, ở chỗ nó không làm rõ các kỹ năng thành phần và cách để đánh giá việc đạt hay không đạt mỗi một trong các kĩ năng của NL MHH Điều này là cần thiết vì nhiều quan niệm cho

rằng mỗi loại NL được xác định qua một tập hợp các kỹ năng tương ứng, cho

phép thực hiện hay giải quyết một tình huống vạch ra trong một bối cảnh cụ thể Định nghĩa NL nêu trong Chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 ban

hành bởi Bộ Giáo dục và cũng đều thừa nhận quan niệm này

Dựa vào yêu cầu cần đạt của NL MHH trong chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 và thang đánh giá ở trên, chúng tôi xây dựng một thang đánh giá chi tiết, thể hiện được từng mức độ đạt được của mỗi kỹ năng thành phần đó, cụ thể đối với quá trình dạy học giải BTTT chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit Chúng tôi đề xuất trong bảng dưới đây một mô tả tiêu chí đánh giá và biểu hiện cụ thể mỗi NL thành phần qua các chỉ số hành

vi và kỹ năng

Bảng 1.1 Mô tả NL thành phần, tiêu chí, kỹ năng tương ứng với từng NL

- Đơn giản giả thiết (phân biệt các thông tin có liên quan và không liên quan)

- Làm rõ mục tiêu (xác định được yêu cầu của đề bài)

- Hiểu tình huống, đưa ra giả định để đơn giản hóa tình huống, thể hiện tình huống

- Thiết lập vấn đề toán học

- Xác định biến, tham số, hằng số (kèm theo điều kiện)

- Thiết lập mệnh đề toán học (thiết lập được quan hệ giữa các biến, tham số, hằng số)

- Lập luận toán học logic

- Chọn và sử dụng phương pháp, công cụ toán học phù hợp để giải quyết bài toán

- Lí giải và đưa ra lời giải sử dụng kiến thức thực tế

- Thông dịch kết quả toán học với tình huống thực tế ban đầu

- Chính xác hóa kết quả với tình huống thực tế và quá trình mô hình hóa toán học

- Thông báo, giải thích,

dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

- Xem xét lại các giả thuyết, đặt câu hỏi về

mô hình hoặc lời giải, xem lại các công cụ

và phương pháp toán học đã sử dụng

- Kiểm tra mô hình (tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán)

- Phản hồi lời giải thực tế, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình

- Phân tích một cách phê phán về hoạt động mô hình

- Mô tả các tiêu chuẩn để đánh giá các mô hình

Căn cứ vào các tiêu chí và biểu hiện NL thành phần như đã mô tả ở trên, chúng tôi đã đề xuất một thang đánh giá theo ba mức độ từ 1 đến 3

Trong thang này, chúng tôi gộp 2 NL thành phần: “phiên dịch kết quả toán

học” và “đánh giá kết quả, nếu cần thì chỉnh sửa mô hình” thành “phân tích

và kiểm định lại các kết quả thu được” Chúng tôi sẽ lồng thang 3 mức độ ấy

vào thang đánh giá năng lực MHH của học sinh trong quá trình DH giải BTTT chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Bảng 1.2 Thang đánh giá NL MHH áp dụng cho chương hàm số lũy thừa,

Nhận ra một

số thông tin cốt lõi liên quan đến tình huống nhưng không hiểu đúng thông tin nào

Nhận ra một

số thông tin cốt lõi liên quan đến tình huống nhưng chỉ hiểu đúng một hoặc hai thông tin

Nhận ra và hiểu đúng tất

cả thông tin cốt lõi liên quan đến tình huống

Làm rõ mục tiêu (Hiểu rõ yêu cầu của tình huống qua việc xác định được đối tượng cần tìm, đối tượng

đã cho và đối tượng chưa biết có liên quan đến đối tượng cần tìm, phát biểu lại vấn

đề, rõ ràng, dễ hiểu)

Không xác định được mục tiêu, cụ thể:

-Không xác định được liên

hệ giữa đối tượng đã cho

và đối tượng cần tìm

-Không phát biểu vấn đề

Xác định được một phần của mục tiêu, cụ thể:

-Xác định được liên hệ giữa đối tượng đã cho

và đối tượng cần tìm -Phát biểu vấn đề đúng nhưng khó hiểu

Xác định được chính xác, rõ ràng mục tiêu

-Xác định được mối liên quan giữa đối tượng đã cho

và đối tượng cần tìm -Phát biểu vấn

đề chính xác,

rõ ràng, dễ hiểu

Đưa ra giả định để đơn giản tình

Không có giả định nào

Nêu giả định không chính

Giả định đã nêu có liên

huống xác hoặc

không liên quan đến mô hình

quan đế mô hình Hiểu rõ các giả định

đồ

Vẽ biểu đồ chính xác và biểu diễn chính xác các đại lượng lên biểu đồ

Vẽ được tất cả các trường hợp hợp lí và biểu diễn chính xác các đại lượng lên biểu đồ

Xác định các biến, tham số, hằng số

Không có biến được liệt

kê

Liệt kê biến chưa đầy đủ hoặc thiếu điều kiện ràng buộc

Liệt kê đầy đủ kèm theo điều kiện ràng buộc

Thiết lập mệnh đề toán học hay quan

hệ giữa các biến

Không thiết lập được quan hệ giữa các biến

Thiết lập được một phần quan hệ giữa các biến

Thiết lập được đầy đủ quan hệ giữa các biến

Không tính được kết quả

từ mô hình đã

có

Tính được kết quả nhưng không chính xác

Tìm được kết quả chính xác

-Thông dịch kết quả với tình huống thực tiễn ban đầu -Kiểm tra và phản hồi lại lời giải thực tế, cải tiến

mô hình

Không trả lời được các đại lượng cần tìm trong tình huống thực tiễn ban đầu

Trả lời được tình huống thực tiễn nhưng chưa xét đến tính hợp lí trong thực tế

-Trả lời được đại lượng cần tìm trong tình huống thực tế -Thông báo, giải thích, cải tiến mô hình hoặc xây dựng

mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

1.4 Dạy học mô hình hóa

Dạy học MHH là quá trình giúp học sinh xây dựng mô hình toán học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn Do vậy, quy trình dạy học MHH được tiến hành theo các bước sau đây: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn

+ Xây dựng mô hình toán học

1.5 Bài toán toán học và bài tập toán học

1.5.1 Khái niệm bài toán, bài tập

Theo [21], phân biệt rõ hai khái niệm bài tập và bài toán là một nhiệm

vụ rất khó khăn và phức tạp Hiện nay có nhiều quan niệm khác nhau về các khái niệm này Có 3 quan niệm chủ yếu sau:

Quan niệm thứ nhất là xem bài tập là một trường hợp riêng của bài toán

Theo Từ điển Petit Robert cho rằng bài toán là “tất cả những câu hỏi

cần giải đáp về một kết quả chưa biết cần tìm bắt đầu từ những dữ kiện, hoặc

về phương pháp cần khám phá, mà theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả

đã biết

Bài toán là câu hỏi cần giải đáp bằng các phương pháp logic, hợp lí trong lĩnh vực khoa học Bài tập ở học đường, đó là tìm câu trả lời cho một câu hỏi đặt ra, bắt đầu từ các dữ kiện đã biết”

Quan niệm thứ hai xem bài toán là một trường hợp riêng của bài tập

Đối với J Bair, “Một bài toán (toán học) là một bài tập nghiên cứu, mà

đối với người muốn giải quyết nó, đó là một thách thức Nó đòi hỏi những năng lực mà khả năng hiểu và vận dụng những kiến thức vào những tình huống mới lạ”

Quan niệm thứ ba phân biệt hai khái niệm bài toán và bài tập

Trần Thúc Trình đã phân biệt hai khái niệm bài toán và bài tập như sau:

“ Để giải bài tập chỉ cần yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay

thuật toán đã học Nhưng đối với bài toán, để giải được, phải tìm tòi, giữa các kiến thức có thể sử dụng và việc vận dụng để xử lí tình huống còn có một khoảng cách, vì các kiến thức đó không trực tiếp dẫn đến phương tiện xử lí thích hơp Muốn sử dụng những điều đã biết, cần phải tổng hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với tình huống.”

Trong nghiên cứu này chúng tôi sử dụng quan niệm coi bài tập là một trường hợp riêng của bài toán theo [21]

1.5.2 Khái niệm bài toán thực tiễn

BTTT là bài toán mà yêu cầu hay nhu cầu cần đạt được xuất phát từ trong thực tiễn cuộc sống hay trong phần giả thiết hay kết luận, cần làm sáng

tỏ những nội dung liên quan đến thực tiễn Thực tiễn ở đây không chỉ là các tình huống, sự việc trong đời sống mà còn là các tình huống nảy sinh trong các môn học khác như: Hóa học, Sinh học, Vật lí

BTTT là bài toán mà các biến, các dữ kiện, các yêu cầu, các câu hỏi, chứa đựng trong bài toán đều là các yếu tố thực tiễn,“thực” [21]

Trong dạy học Toán, BTTT có vai trò rất quan trọng, cụ thể:

- Thông qua giải BTTT, học sinh hiểu rõ hơn các khái niệm, tính chất; được củng cố kiến thức; mở rộng sự hiểu biết một cách sinh động, phong phú;

- BTTT làm rõ được mối liên hệ giữa các kiến thức toán học với các môn học khác, với thiên nhiên, môi trường, những vấn đề thiết thực trong cuộc sống;

- BTTT còn giúp học sinh bước đầu biết vận dụng kiến thức để lí giải

và cải tạo thực tiễn nhằm nâng cao chất lượng cuộc sống;

- Rèn luyện và phát triển cho học sinh NL nhận thức, NL phát hiện và giải quyết vấn đề;

- Rèn luyện cho học sinh tính kiên nhẫn, tự giác, chủ động, sáng tạo trong học tập và giải quyết các vấn đề thực tiễn;

- Vì các BTTT gắn liền với đời sống và với môi trường xung quanh nên giúp học sinh thấy rõ lợi ích của việc học môn Toán, từ đó tạo động cơ học tập tích cực, kích thích trí tò mò, sự quan sát, sự ham hiểu biết, làm tăng hứng thú học tập môn Toán, say mê nghiên cứu khoa học, có những định hướng nghề nghiệp trong tương lai

1.5.3 Quy trình giải bài toán thực tiễn

1.5.3.1 Quy trình giải bài toán thực tiễn

Quy trình giải một BTTT cũng không nằm ngoài quy trình giải một bài toán nói chung Tuy nhiên nó được thể hiện một cách chi tiết cụ thể hơn Theo [21], quy trình giải BTTT thường trải qua các bước sau đây:

- Chuyển BTTT về bài toán toán học,“biên dịch” các yếu tố thực tiễn

sang ngôn ngữ toán học và sắp xếp lại chúng, hay xây dựng một MHTH của thực tiễn

- Giải bài toán toán học

- Chuyển câu trả lời cho bài toán học về câu trả lời cho BTTT ban đầu

Mối quan hệ giữa các bài toán này với quy trình giải quyết BTTT có thể tóm lược trong lược đồ sau đây, được phỏng theo sơ đồ của L.Coulange (1997)

Sơ đồ 1.4 Quy trình giải bài toán thực tiễn của Coulange

Bước (1): Mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống, tình huống cần

giải quyết BTTT để đưa vào một bài toán phỏng thực tiễn bằng cách: Loại bỏ

những chi tiết không quan trọng làm cho BTTT trở nên dễ hiểu và dễ nắm bắt hơn Từ đó, xác định và rút ra được mối liên hệ, sự ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi của hệ thống

Bước (2): Chuyển từ một bài toán phỏng thực tiễn thành bài toán toán học

bằng cách sử dụng hệ thống biểu đạt, công cụ toán học

Như vậy, sau 2 bước đầu ta đã phát biểu được bài toán cần giải

Bước (3): Tìm và sử dụng các công cụ toán học để giải BTTH

Bước (4): Nhìn lại các thao tác đã làm ở bước (2) để chuyển ngược lại

từ câu trả lời của bài toán toán học sang câu trả lời cho BTPTT

Trong bước này cần phải xác định mức độ phù hợp với mô hình lí thuyết với vấn đề thực tiễn mà nó mô tả Để thực hiện bước này, có thể làm thực nghiệm hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia

Ở đây có 2 khả năng :

Khả năng 1 Các kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn Khi đó có thể

áp dụng nó vào việc giải quyết vấn đề thực tế đặt ra

Khả năng 2 Các kết quả tính toán không phù hợp với thực tiễn Nguyên nhân có thể do các kết quả tính toán trong bước 3 là chưa có đủ độ chính xác cần thiết Khi đó cần phải xem lại thực tiễn cũng như các chương trình tính toán trong bước này Hoặc nguyên nhân khác có thể là do mô hình xây dựng chưa phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tiễn Nếu vậy, cần phải

rà soát lại bước 1, trong việc xây dựng mô hình định tính có yếu tố hoặc quy luật nào bỏ xót không ? Cuối cùng, cần phải xem xét hoặc xây dựng lại mô hình toán học ở bước 2

Bước (5): Phân tích kết quả thu được từ BTPTT, nhìn lại những gì đã

làm ở bước (1) để chuyển từ câu trả của BTPTT sang câu trả lời cho bài toán thực tiễn

Từ những phân tích trên cho thấy, việc xây dựng MHTH của thực tiễn

là phương tiện trung gian cho phép giải các BTTT và ngược lại, giải các

BTTT là động cơ tiếp cận vấn đề MHH

1.5.3.2 Gợi động cơ trong giải bài toán thực tiễn

Gợi động cơ học tập là một trong bốn thành tố cơ sở của phương pháp

dạy học Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những

hoạt động và của đối tượng hoạt động Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu sư phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh chứ không phải là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức [13]

Động cơ học tập không có sẵn, cũng không thể áp đặt từ ngoài vào, mà phải được hình thành dần dần chính trong quá trình học sinh đi sâu vào chiếm lĩnh đối tượng học tập, dưới sự hướng dẫn, tổ chức của thầy Tức là, động cơ học tập được hình thành và phát triển trong từng tiết học, qua những việc làm với tinh thần trách nhiệm cao của cả giáo viên và học sinh

Để phát huy tác dụng kích thích, thúc đẩy hoạt động học tập, giáo viên cần phối hợp nhiều cách gợi động cơ khác nhau, tạo ra một sự phối hợp của nhiều cách gợi động cơ, các cách bổ sung lẫn nhau Cần phải gợi động cơ cho học sinh bằng cách xuất phát từ những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách nhiệm đối với xã hội Gợi động cơ phải thường xuyên suốt quá trình dạy học Vì vậy có thể xem xét và phân biệt gợi động cơ theo ba giai đoạn là gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc

+ Gợi động cơ mở đầu

Gợi động cơ mở đầu là gợi động cơ cho bước đặt vấn đề vào một nội

dung tri thức mới Như vậy, trong dạy học giải BTTT giáo viên cần thiết phải

gợi động cơ khi đặt vấn đề tìm hiểu bài toán đó, có thể là nội dung mở đầu cho một bài mới

+ Gợi động cơ trung gian

Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bước trung gian hoặc cho những hoạt động tiến hành trong những bước đó để đạt được mục tiêu [13] Gợi động cơ trung gian không phải chỉ cho những hoạt động hoặc chủ đề cụ thể

mà còn cho cả những hoạt động, những phương thức làm việc có tính chất lâu dài như khái quát hóa, quy lạ về quen Gợi động cơ trung gian có một ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn đề

Như vậy, trong dạy học giải BTTT, việc gợi động cơ trung gian có thể

và cần thiết được tiến hành vào lúc tổ chức cho học sinh tiến hành các hoạt động xây dựng công thức tổng quát để tìm lời giải bài toán

+ Gợi động cơ kết thúc

Trong khi giải quyết vấn đề hoặc khi bắt đầu học một nội dung nào đó nhiều khi học sinh đặt ra những câu hỏi: Học nội dung này để làm gì? Tại sao lại thực hiện hoạt động này? Những câu hỏi này thường không trả lời ngay hoặc không trả lời trọn vẹn được ngay Để có câu trả lời học sinh phải đợi mãi

về sau Khi đã kết thúc nội dung học hoặc khi đã thực hiện xong hoạt động,

để hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề mới đặt ra, giáo viên phải nhấn mạnh hiệu quả, ứng dụng của nội dung hoặc hoạt động đã học trước đó Tức là giáo viên gợi động cơ kết thúc và khi đó học sinh trả lời trọn vẹn câu hỏi ban đầu đặt ra Cũng như gợi động cơ mở đầu và gợi động cơ trung gian, gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, tự giác trong hoạt động học tập Mặc dù nó không có tác dụng kích thích đối với nội dung đã qua hoặc hoạt động đã thực hiện nhưng nó cũng góp phần thúc đẩy

hoạt động học tập Như vậy, trong dạy học học giải BTTT, giáo viên cần thiết

phải gợi động cơ kết thúc và có thể tiến hành gợi động cơ kết thúc khi hướng dẫn học sinh củng cố bài học, nhìn nhận, đánh giá lại cách lời giải bài toán vừa thực hiện, phương pháp vừa học, Ngoài những biện pháp gợi động cơ

học tập xuất phát từ nội dung dạy học, giáo viên còn có thể sử dụng các biện pháp gợi động cơ không gắn liền với nội dung bài học như động viên, khuyến

khích, cho điểm dựa trên tâm lí và đặc điểm của học sinh Giáo viên cần phối hợp linh hoạt các biện pháp gợi động cơ khác nhau căn cứ vào tầm quan trọng của hoạt động đang được thực hiện, khả năng gợi động cơ ở nội dung đó hoặc hoạt động đó, kiến thức có sẵn và thời gian cần thiết để lựa chọn, quyết định tập trung vào một số nội dung hoặc hoạt động nhất định nào đó

1.6 Liên hệ giữa giải bài toán thực tiễn và năng lực mô hình hóa toán học

NL MHH là một trong những NL đặc trưng trong dạy học Toán cần phát triển cho học sinh phổ thông Có nhiều cách khác nhau để phát triển NL MHH Trong nghiên cứu này, chúng tôi lựa chọn cách giải BTTT chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình Toán 12 hiện hành

Rõ ràng, từ quy trình giải BTTT đã được đưa ra trong mục 1.4.3, chúng tôi thấy rằng, để giải được 1 BTTT học sinh phải biết chuyển BTTT đó về bài toán toán học, tức là học sinh phải xây dựng được MHTH Qua đó sẽ hình thành và phát triển NLMHH

1.7 Năng lực mô hình hóa trong chương trình giáo dục phổ thông 2018

Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán ban hành tháng 12 năm

2018 đã đưa ra mục tiêu hình thành và phát triển cho học sinh 5 năng lực cốt

lõi bao gồm: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá

toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Cụ thể hơn đối với NL MHHTH, NL này được thể hiện qua 3 nội dung:

Thứ nhất, Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương

trình, bảng biểu, đồ thị) cho tình huống xuất hiện trong các bài toán thực tiễn

Đối với cấp tiểu học: Lựa chọn được các phép toán, công thức số học,

sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ để trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng của tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn đơn giản

Đối với cấp trung học cơ sở: Sử dụng được các mô hình toán học (gồm

công thức toán học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phương trình, hình biểu diễn) để

mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp

Đối với cấp trung học phổ thông: Thiết lập được mô hình toán học

(gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn

Thứ hai, Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình toán

học được thiết lập

Đối với cấp tiểu học: Giải quyết được những bài toán xuất hiện từ sự

lựa chọn trên

Đối với cả cấp trung học cơ sở và cấp trung học phổ thông: Giải quyết

được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

Cuối cùng, Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế

và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Đối với cấp tiểu học: Nêu được câu trả lời cho tình huống xuất hiện

trong bài toán thực tiễn

Đối với cấp trung học cơ sở: Thể hiện được lời giải toán học vào ngữ

cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải

Đối với cấp trung học phổ thông: Lí giải được tính đúng đắn của lời

giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, ) để đưa đến những bài toán giải được [5]

Như vậy, có thể thấy NL MHH trong chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 đã chú trọng đến năng lực MHH Đặc biệt với cấp THPT, NL MHH thể hiện ở cấp độ cao hơn so với các cấp tiểu học và trung học cơ sở NL

MHH đối với học sinh THPT được thể hiện từ việc học sinh phải thiết lập

được mô hình toán học, giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình

được thiết lập cho đến lí giải được tính đúng đắn của lời giải

1.8 Phân tích chương trình, sách giáo khoa hiện hành chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

1.8.1 Phân tích chương trình Toán 12 hiện hành chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Đối với chương trình Toán 12 cơ bản hiện hành, nội dung chương hàm

số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit được trình bày theo trình tự: nêu định nghĩa, công thức tính đạo hàm, sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Học xong chương, yêu cầu đối với học sinh là:

+ Nắm được khái niệm, tính chất, biết cách khảo sát sự biến thiên và vẽ

đồ thị các hàm số lũy thừa, mũ, logarit

+ Biết cách giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit cơ bản + Biết cách giải một số phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản [ 12]

Như vậy, chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trình toán 12 cơ bản, ngoài các vấn đề lý thuyết được đưa ra thì yêu cầu đối với học sinh chỉ là giải các bài toán toán học Luận văn chỉ tập trung nghiên cứu các vấn đề liên quan đến giải BTTT trong chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit Chúng được trình bày chủ yếu trong SGK toán 12 nâng cao

Vì vậy, chúng tôi chọn phân tích chương trình, SGK Toán 12 nâng cao để làm

rõ hơn các vấn đề nghiên cứu

Chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình Toán 12 nâng cao cung cấp những kiến thức cơ bản về hàm số lũy thừa, hàm

số mũ, hàm số logarit Đây là nội dung khá quen thuộc trong chương trình toán THPT Điều khác biệt là nội dung nó bao gồm cả việc xây dựng các công thức đạo hàm và ứng dụng để khảo sát các hàm số này Trong khi đó, các yêu cầu về kỹ năng giải phương trình mũ, logarit được giảm nhẹ [19]

Cụ thể như:

+ Không xét phương trình và bất phương trình chứa tham số, phương trình

và bất phương trình có cả ẩn dưới cơ số và ẩn trên mũ hoặc dưới dấu logarit

+ Chỉ yêu cầu học sinh nắm được các phương pháp giải và giải được các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có dạng nêu trong bài học Không xét các phương trình và bất phương trình đòi hỏi biến đổi các biểu thức lũy thừa và logarit quá phức tạp [19]

Mục tiêu đặt ra của chương:

 Về kiến thức: Giúp học sinh

+ Hiểu được khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỷ, số

mũ thực; khái niệm logarit, các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

+ Nắm được các phép toán về lũy thừa và logarit, các công thức tính đạo hàm, các tính chất và đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa

+ Nắm được các phương pháp giải phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình mũ, logarit cơ bản

 Về kỹ năng: Giúp học sinh

“Biết vận dụng các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit để giải các bài toán đơn giản” [14]

Như vậy, có thể thấy chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit không nhắc đến việc dạy học giải BTTT để phát triển năng lực MHH cho học sinh mà chỉ là khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải BTTT Vậy nên việc phân tích SGK sẽ tập trung vào vấn đề lí thuyết, các ví dụ và các BTTT

Sau đây là phân tích SGK Toán 12 nâng cao chương trình hiện hành chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

1.8.2 Phân tích sách giáo khoa Toán 12 nâng cao hiện hành chương hàm

số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit nằm trong chương trình toán 12 hiện hành, ban nâng cao với thời lượng 25 tiết trên tổng số 90 tiết học, cụ thể như sau: